1、第五章 三角函数 5.45.4 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 5.4.15.4.1 正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函 数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画 出正弦函数、余弦函数的图象的方法(重点) 2正、余弦函数图象的简单应用(难点) 3正、余弦函数图象的区别与联系(易混点) 1. 通过做正弦、余弦函 数的图象，培养直观想 象素养 2借助图象的综合应 用，提升数学运算素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新
2、 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1正弦曲线 正弦函数ysin x，xR的图象叫正弦曲线 2正弦函数图象的画法 (1)几何法： 利用单位圆画出ysin x，x0,2的图象； 将图象向左、右平行移动(每次 个单位长度) 2 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 (2)五点法： 画出正弦曲线在0,2上的图象的五个关键点 ， 2，1 ， ， 3 2 ，1 ， ，用光滑的曲线连接； 将所得图象向左、右平行移动(每次 个单位长度) 3余弦曲线 余弦函数 ycos x，xR 的图象叫余弦曲线 (0,0) (，0) (2，0) 2 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 4余弦函数图象的画法
3、 (1)要得到 ycos x 的图象，只需把 ysin x 的图象向左平移 2个单位 长度即可 (2)用“五点法”画余弦曲线 ycos x 在0,2上的图象时，所取的五 个关键点分别为 ， 2，0 ， ， 3 2 ，0 ， ， 再用光滑的曲线连接 (0,1) (，1) (2，1) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 思考：ycos x(xR)的图象可由ysin x(xR)的图象平移得到的原 因是什么？ 提示：因为cos xsin x 2 ，所以ysin x(xR)的图象向左平移 2个 单位可得ycos x(xR)的图象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 1用五点法画y3sin x，
4、x0,2的图象时，下列哪个点不 是关键点( ) A. 6， 3 2 B. 2，3 C(，0) D(2，0) A 五个关键点的横坐标依次 是0， 2， 3 2 ，2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 2 函数ycos x与函数ycos x 的图象( ) A关于直线 x1 对称 B关于原点对称 C关于 x 轴对称 D关于 y 轴对称 C 由解析式可知ycos x的图 象过点(a，b)，则ycos x的图象 必过点(a，b)，由此推断两个函数 的图象关于x轴对称 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 3 请补充完整下面用“五点法”作 出 ysin x(0 x2)的图象时的列 表 x 0
5、2 3 2 2 sin x 1 0 0 _；_； _. 0 1 用“五点法” 作ysin x(0 x2)的图象 的五个关键点为(0,0)， 2，1 ，(，0)， 3 2 ，1 ， (2，0)故为，为0，为 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 4函数ycos x，x0,2的图象 与直线y1 2的交点有_个 2 由图象可知：函数y cos x，x0,2的图象与直线y 1 2有两个交点 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 【例1】 (1)下列叙述正确的是( ) ysin x，x0,2的图象关于点P(
6、，0)成中心对称； ycos x，x0,2的图象关于直线x成轴对称； 正、余弦函数的图象不超过直线y1和y1所夹的范围 A0 B1个 C2个 D3个 正弦函数、余弦函数图象的初步认识 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 (2)函数ysin|x|的图象是( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 (1)D (2)B (1)分别画出函数ysin x，x0,2和ycos x， x0,2的图象，由图象(略)观察可知均正确 (2)ysin|x| sin x，x0， sin x，x0， 结合选项可知选B. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 1解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画
7、出正、余弦曲 线 2正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通 过相互平移得到 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 3正、余弦曲线的对称性 对称中心 对称轴 ysin x(xR) (k，0)，kZ xk 2，kZ ycos x(xR) k 2，0 ，kZ xk，kZ 提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为1或1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 1关于三角函数的图象，有下列说法： ysin x1.1的图象与x轴有无限多个公共点； ycos(x)与ycos |x|的图象相同； y|sin x|与ysin(x)的图象关于x轴对称； ycos x与ycos(x)的
8、图象关于y轴对称 其中正确的序号是_ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 对，ycos(x)cos x，ycos |x|cos x，故其图象相 同； 对，ycos(x)cos x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知 均不正确 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 【例 2】 用“五点法”作出下列函数的简图 (1)y1sin x(0 x2)； (2)y1cos x(0 x2) 思路点拨 列表：让x的值依次取0， 2， 3 2 ，2描点 用平滑曲线连接 用“五点法”作三角函数的图象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 解 (1)取值列表如下： x 0 2 3 2 2 sin x
9、0 1 0 1 0 1sin x 1 0 1 2 1 描点连线，如图所示. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 (2)取值列表如下： x 0 2 3 2 2 cos x 1 0 1 0 1 1cos x 0 1 2 1 0 描点连线，如图所示 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 用“五点法”画函数yAsin xb(A0)或yAcos xb(A0)在 0,2上简图的步骤 (1)列表： x 0 2 3 2 2 sin x (或cos x) 0(或1) 1(或0) 0(或1) 1 (或0) 0(或1) y b (或Ab) Ab (或b) b (或Ab) Ab (或b) b (或Ab) 栏
10、目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 (2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)， 2，y2 ，(， y3)， 3 2 ，y4，(2，y5)，这里的yi(i1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算 得到的 (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦 函数yAsin xb(yAcos xb)(A0)的图象 提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单 位长度 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 2用“五点法”画出函数y1 2sin x，x0,2的图象 解 取值列表如下： x 0 2 3 2 2 sin x 0 1 0 1 0 1 2sin
11、 x 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来(如图) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 探究问题 1方程sin xx的实根个数有多少个？ 提示：在同一坐标系内分别作出ysin x，yx图象(略)可知在 x0,1内，sin x1时不会相交，所以方程只有一个实 根为0. 2函数f(x) xcos x在0，)内有多少个零点？ 提示：令f(x)0，所以 xcos x，分别作出y x，ycos x的图象 (略)，可知两函数只有一个交点，所以f(x)在0，)内只有一个零点 正弦(余弦)函数图象的应用 栏目导航栏目导航 栏
12、目导航栏目导航 28 【例 3】 (1)函数 y 2sin x1的定义域为_ (2)在同一坐标系中，作函数 ysin x 和 ylg x 的图象，根据图象判 断出方程 sin xlg x 的解的个数 思路点拨 (1)列出不等式画出函数图象写出解集 (2)画出ysin x和ylg x的图象找准关键点10，1 判断两个函数图象 的公共点个数 判断方程sin xlg x 的解的个数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 (1) x 62kx 5 6 2k，kZ 由2sin x10得sin x1 2， 画出ysin x的图象和直线y1 2. 可知sin x1 2的解集为 x 62kx 5 6 2k
13、，kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 (2)解 建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数ysin x， xR的图象 描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到ylg x的图象，如图所 示 由图象可知方程sin xlg x的解有3个 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 1本例(1)中的“sin x”改为“cos x”，应如何解答？ 解 由2cos x10得cos x1 2，画出ycos x的图象和直线y 1 2. 观察图象可知cos x1 2的解集是 x 2k 3x2k 3，kZ . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 2本例(1)中函数改为ylg sin
14、 x1 2 32sin x，应如何解答？ 解要使原函数解析式有意义， 必须满足1 2sin x 3 2 . 首先作出 ysin x 在0,2上的图象，如图所示， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 作直线 y1 2， 根据特殊角的正弦值， 可知该直线与 ysin x，x0 2的交点横坐标为 6和 5 6 ； 作直线 y 3 2 ，该直线与 ysin x， x0 2的交点横坐标为 3和 2 3 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 观察图象可知，在0,2上，当 6x 3或 2 3 x5 6 时，不等式1 2sin x 3 2 成立， 所以1 2sin x 3 2 的解集为 x 62
15、kx 32k 或 2 3 2kx5 6 2k，kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 1用三角函数的图象解sin xa(或cos xa)的方法 (1)作出ya，ysin x(或ycos x)的图象 (2)确定sin xa(或cos xa)的x值 (3)确定sin xa(或cos xa)的解集 2利用三角函数线解sin xa(或cos xa)的方法 (1)找出使sin xa(或cos xa)的两个x值的终边所在的位置 (2)根据变化趋势，确定不等式的解集 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 1作正、余弦函数的图象可以借助单位圆，用几何法作出，也可以 用“五点法”作出简图 2“五点
16、法”是一种作图思想或策略，它不只限于画正弦函数、余 弦函数的简图，也可用于画复合型正、余弦函数的简图 3由三角函数图象求三角不等式的解集，是另一种数形结合的思想 方法，它常化归为三角函数图象位于某直线上方(或下方)的问题结合图 象就可以写出其规律. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 1思考辨析 (1)正弦函数ysin x的图象在x2k，2k2(kZ)上的图象形状 相同，只是位置不同( ) (2)正弦函数ysin x(xR)的图象关于x轴对称( ) (3)余弦函数ycos x(xR)的图象关于原点成中心对
17、称( ) 提示 由ysin x(xR)图象可知(1)正确，(2)错误； 由ycos x(xR)图象可知(3)错误 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 2函数ysin x，x0，的 图象与直线y0.99的交点有( ) A1个 B2个 C3个 D4个 B 观察图象(略)易知：有两个 交点 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 3不等式组 sin x0， 2x5 的解 集是_ (，5 当 2x 时 0sin x1， 当 x5 时 sin x0， 所以原不等式的解集为(，5 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 4用“五点法”画出y2cos x3(0 x2)的简图 解 列表： x 0 2 3 2 2 2cos x 2 0 2 0 2 2cos x3 1 3 5 3 1 描点、连线得出函数y2cos x3(0 x2)的图象： 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 42 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
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