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    2021年人教版高中数学必修第一册课件:第5章5.1.1《任意角》(含答案)

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    2021年人教版高中数学必修第一册课件:第5章5.1.1《任意角》(含答案)

    1、第五章 三角函数 5.15.1 任意角和弧度制任意角和弧度制 5.1.15.1.1 任意角任意角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解任意角的概念 2掌握终边相同角的含义及其表 示(重点、难点) 3掌握轴线角、象限角及区间角的 表示方法(难点、易混点) 1.通过终边相同角的计算,培养数 学运算素养 2借助任意角的终边位置的确定, 提升逻辑推理素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1角的概念 角可以看成平面内 绕着端点从一个位置 到另一个位置 所形成的图形 2角

    2、的表示 如图,(1)始边:射线的 位置OA, (2)终边:射线的 位置OB, (3)顶点:射线的 O. 这时,图中的角可记为“角”或“”或简记为“” 一条射线 旋转 起始 终止 端点 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 3任意角的分类 (1)按旋转方向分 逆时针 顺时针 没有 做任何 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 (2)按角的终边位置分 前提:角的顶点与 重合,角的始边与 重合 分类: 原点 x 轴的非负半轴 象限角 坐标轴 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 4终边相同的角 所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合 S| _,kZ, 即任一与角 终边相同的角,都

    3、可以表示成角 与整数个周角的和 思考:终边相同的角相等吗?相等的角终边相同吗? 提示:终边相同的角不一定相等,它们相差360 的整数倍;相等的 角,终边相同 k 360 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 1下列说法正确的是( ) A三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B第四象限的角一定是负角 C60 角与600 角是终边相同的角 D将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角为60 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 D A错误,90 角既不是第一象限角也不是第二象限角; B错误,280 角是第四象限角,但它不是负角; C错误,600 60 540 不是360 的倍数; D正确,分针转一

    4、周为60分钟,转过的角度为360 ,将分针拨慢是 逆时针旋转,拨慢10分钟转过的角为360 1 660 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 250 角的始边与x轴的非负半 轴重合,把终边按顺时针方向旋转2 周,所得角是_ 670 由题意知,所得角是 50 2 360 670 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 3已知0 360 ,且与 600 角终边相同,则_, 它是第_象限角 240 三 因为600 360 240 ,所以240 角与600 角终边相 同,且0 240 360 ,故240 , 它是第三象限角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 合合 作作 探探 究究

    5、 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 【例1】 (1)给出下列说法: 锐角都是第一象限角;第一象限角一定不是负角;小于180 的角是钝角、直角或锐角;始边和终边重合的角是零角 其中正确说法的序号为_(把正确说法的序号都写上) (2)已知角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出 下列各角,并指出它们是第几象限角 420 .855 .510 . 角的有关概念的判断 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 (1) 锐角是大于0 且小于90 的角,终边落在第一象限,是第 一象限角,所以正确; 350 角是第一象限角,但它是负角,所以错误; 0 角是小于180 的

    6、角,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,所 以错误; 360 角的始边与终边重合,但它不是零角,所以错误 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 (2)解 作出各角的终边,如图所示: 由图可知: 420 是第一象限角 855 是第二象限角 510 是第三象限角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 1理解角的概念的关键与技巧: (1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概 念 (2)技巧:判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即 可 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 2象限角的判定方法: (1)在坐标系中画出相应的角,观察终边的位置,确定象限 (2)第一步

    7、,将写成k 360 (kZ,0 360 )的形式; 第二步,判断的终边所在的象限; 第三步,根据的终边所在的象限,即可确定的终边所在的象限 提醒:理解任意角这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正 负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小” 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 1已知集合 A第一象限角, B锐角,C小于 90 的角,则 下面关系正确的是( ) AABC BAC CACB DBCC D 由已知得B C,所以BC C,故D正确 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 2给出下列四个命题: 75 是第四象限角;225 是第三象 限角;475 是第二象限角; 315 是第一象限

    8、角其中正确的命 题有( ) A1个 B2个 C3个 D4个 D 90 75 0 ,180 225 270 , 360 90 475 360 180 ,360 315 270 .所 以这四个命题都是正确的 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 【例2】 (1)将885 化为k 360 (0 360 ,kZ)的形式是 _ (2)写出与1 910 终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式 720 360 的元素写出来 思路点拨 (1)根据885 与k 360 ,kZ的关系确定k. (2)先写出与终边相同的角k 360 ,kZ,再由已知不等式确定k 的可能取值 终边相同的角的表示及应用 栏目导航栏

    9、目导航 栏目导航栏目导航 21 (1)(3)360 195 885 1 080 195 (3) 360 195 . (2)解 与1 910 终边相同的角的集合为 |k 360 1 910 ,kZ 720 360 ,即720 k 360 1 910 360 (kZ),311 36 k611 36(kZ),故取k4,5,6. k4时,4360 1 910 470 ; k5时,5360 1 910 110 ; k6时,6360 1 910 250 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 1在 0 到 360 范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地,可以将所给的角 化成 k 360 的

    10、形式(其中 0 360 ,kZ),其中的 就是所求的角 (2)如果所给的角的绝对值不是很大, 可以通过如下方法完成: 当所给 角是负角时,采用连续加 360 的方式;当所给角是正角时,采用连续减 360 的方式,直到所得结果达到要求为止 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 2运用终边相同的角的注意点 所有与角终边相同的角,连同角在内可以用式子k 360 ,kZ 表示,在运用时需注意以下四点: (1)k是整数,这个条件不能漏掉 (2)是任意角 (3)k 360 与之间用“”连接,如k 360 30 应看成k 360 ( 30 ),kZ. (4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同

    11、,终边相同 的角有无数个,它们相差周角的整数倍 提醒:表示终边相同的角,kZ这一条件不能少 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 3下面与850 12终边相同 的角是( ) A230 12 B229 48 C129 48 D130 12 B 与850 12终边相同的角 可表示为850 12k 360 (k Z),当 k3 时,850 121 080 229 48. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 4在360 360 之间找出所有与下列各角终边相同的角,并判断 各角所在的象限 790 ;20 . 解 790 2360 70 3360 290 , 在360 360 之间与它终边相同的

    12、角是70 和290 ,它们都是 第一象限的角 20 360 340 , 在360 360 之间与它终边相同的角是20 和340 ,它们都是 第四象限的角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 探究问题 1若射线OA的位置是k 360 10 ,kZ,射线OA绕点O逆时针旋 转90 经过的区域为D,则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表 示? 提示:终边落在区域D包括边界的角的集合可表示为|k 360 10 k 360 100 ,kZ 任意角终边位置的确定和表示 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 2若角与的终边关于x轴、y轴、原点、直线yx对称,则角与 分别具有怎样的关系? 提

    13、示:(1)关于 x 轴对称:若角 与 的终边关于 x 轴对称,则角 与 的关系是 k 360 ,kZ. (2)关于 y 轴对称:若角 与 的终边关于 y 轴对称,则角 与 的关 系是 180 k 360 ,kZ. (3)关于原点对称:若角 与 的终边关于原点对称,则角 与 的关 系是 180 k 360 ,kZ. (4)关于直线 yx 对称: 若角 与 的终边关于直线 yx 对称, 则角 与 的关系是 90 k 360 ,kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 【例3】 (1)若是第一象限角,则 2是( ) A第一象限角 B第一、四象限角 C第二象限角 D第二、四象限角 (2)已知,

    14、如图所示 分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合; 写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 思路点拨 (1) 由的范围写 出 2的范围 确定 2是第 几象限角 根据角终边的对称性确定 2是第几象限角 (2)观察图形确定终边落在OA,OB位置上的角 由小到大分别标出起始 和终止边界对应的角 加上360 的整数 倍,得所求集合 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 (1)D 因为是第一象限角,所以k 360 k 360 90 ,kZ, 所以k 180 2k 180 45 ,kZ, 所以 2是第一、三象限角, 又因为 2与 2的终边关于x轴对称,

    15、 所以 2是第二、四象限角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 (2)解 终边落在OA位置上的角的集合为|90 45 k 360 ,kZ|135 k 360 ,kZ; 终边落在OB位置上的角的集合为|30 k 360 ,kZ 由题干图可知,阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于 30 ,135 之间的与之终边相同的角组成的集合,故该区域可表示为| 30 k 360 135 k 360 ,kZ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 1若将本例(2)改为如图所示的图形,那么终边落在 阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示? 解 在 0 360 范围内,终边落在阴影部分(包括边界) 的

    16、角为 60 105 与 240 285 ,所以所有满足题意的 角 为|k 360 60 k 360 105 ,kZ|k 360 240 k 360 285 ,kZ|2k 180 60 2k 180 105 , kZ|(2k1) 180 60 (2k1) 180 105 ,kZ|n 180 60 n 180 105 ,nZ 故角 的取值集合为|n 180 60 n 180 105 ,nZ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 2若将本例(2)改为如图所示的图形,那么阴影部 分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示? 解 在0 360 范围内,阴影部分(包括边界)表 示的范围可表示为:1

    17、50 225 ,则所有满足条件 的角为|k 360 150 k 360 225 ,kZ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 1表示区间角的三个步骤: 第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界; 第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360 360 范围内的角和,写出最简区间x|x,其中360 ; 第三步:起始、终止边界对应角,再加上360 的整数倍,即得区 间角集合 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 2n或 n所在象限的判断方法: (1)用不等式表示出角n或 n的范围; (2)用旋转的观点确定角n或 n所在象限 例如:k 120 3k 120 30 ,kZ. 栏目

    18、导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 由0 330 ,每次逆时针旋转120 可得 3终边的位置 提醒:表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 1角的旋转定义给出后,就将原来0 360 间的角扩展为任意的正 角、负角和零角,从而为角和实数之间建立对应关系奠定了基础 2明确象限角的概念,是判断一个角是第几象限角或轴线角的保 证 3理解终边相同角的含义,做到会用集合表示终边相同的角,会求 符合某种条件的角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 1思考辨析 (1)第二象

    19、限角大于第一象限角( ) (2)第二象限角是钝角( ) (3)终边相同的角一定相等( ) (4)终边相同的角有无数个,它们相差360 的整数倍( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 提示 (1)错误如第二象限角100 小于第一象限角361 . (2)错误如第二象限角181 不是钝角 (3)错误终边相同的角可表示为k 360 ,kZ,即与不一 定相等 (4)都正确 答案 (1) (2) (3) (4) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 2下列各个角中与2 019 终边 相同的是( ) A149 B679 C319 D219 D 因为2 019 360 5 219 ,所以与2 0

    20、19 终边相同的角是 219 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 42 3已知角的终边在如图阴影 表示的范围内(不包含边界),那么角 的集合是_ |k 360 45 k 360 150 ,kZ 观察图形可知,角 的集合是|k 360 45 k 360 150 ,kZ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 43 4在0 到360 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们 是第几象限的角: (1)120 ;(2)640 . 解 (1)与120 终边相同的角的集合为M|120 k 360 ,kZ 当k1时,120 1360 240 , 在0 到360 范围内,与120 终边相同的角是240 ,它是第三象限 的角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 44 (2)与640 终边相同的角的集合为M|640 k 360 ,kZ 当k1时,640 360 280 , 在0 到360 范围内,与640 终边相同的角为280 ,它是第四象限的 角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 45 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !


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