1、第五章 三角函数 5.15.1 任意角和弧度制任意角和弧度制 5.1.15.1.1 任意角任意角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解任意角的概念 2掌握终边相同角的含义及其表 示(重点、难点) 3掌握轴线角、象限角及区间角的 表示方法(难点、易混点) 1.通过终边相同角的计算，培养数 学运算素养 2借助任意角的终边位置的确定， 提升逻辑推理素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1角的概念 角可以看成平面内 绕着端点从一个位置 到另一个位置 所形成的图形 2角
2、的表示 如图，(1)始边：射线的 位置OA， (2)终边：射线的 位置OB， (3)顶点：射线的 O. 这时，图中的角可记为“角”或“”或简记为“” 一条射线 旋转 起始 终止 端点 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 3任意角的分类 (1)按旋转方向分 逆时针 顺时针 没有 做任何 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 (2)按角的终边位置分 前提：角的顶点与 重合，角的始边与 重合 分类： 原点 x 轴的非负半轴 象限角 坐标轴 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 4终边相同的角 所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S| _，kZ， 即任一与角 终边相同的角，都
3、可以表示成角 与整数个周角的和 思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360 的整数倍；相等的 角，终边相同 k 360 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 1下列说法正确的是( ) A三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B第四象限的角一定是负角 C60 角与600 角是终边相同的角 D将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 D A错误，90 角既不是第一象限角也不是第二象限角； B错误，280 角是第四象限角，但它不是负角； C错误，600 60 540 不是360 的倍数； D正确，分针转一
4、周为60分钟，转过的角度为360 ，将分针拨慢是 逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为360 1 660 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 250 角的始边与x轴的非负半 轴重合，把终边按顺时针方向旋转2 周，所得角是_ 670 由题意知，所得角是 50 2 360 670 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 3已知0 360 ，且与 600 角终边相同，则_， 它是第_象限角 240 三 因为600 360 240 ，所以240 角与600 角终边相 同，且0 240 360 ，故240 ， 它是第三象限角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 合合 作作 探探 究究
5、 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 【例1】 (1)给出下列说法： 锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；小于180 的角是钝角、直角或锐角；始边和终边重合的角是零角 其中正确说法的序号为_(把正确说法的序号都写上) (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出 下列各角，并指出它们是第几象限角 420 .855 .510 . 角的有关概念的判断 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 (1) 锐角是大于0 且小于90 的角，终边落在第一象限，是第 一象限角，所以正确； 350 角是第一象限角，但它是负角，所以错误； 0 角是小于180 的
6、角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所 以错误； 360 角的始边与终边重合，但它不是零角，所以错误 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 (2)解 作出各角的终边，如图所示： 由图可知： 420 是第一象限角 855 是第二象限角 510 是第三象限角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 1理解角的概念的关键与技巧： (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概 念 (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即 可 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 2象限角的判定方法： (1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限 (2)第一步
7、，将写成k 360 (kZ,0 360 )的形式； 第二步，判断的终边所在的象限； 第三步，根据的终边所在的象限，即可确定的终边所在的象限 提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正 负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小” 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 1已知集合 A第一象限角， B锐角，C小于 90 的角，则 下面关系正确的是( ) AABC BAC CACB DBCC D 由已知得B C，所以BC C，故D正确 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 2给出下列四个命题： 75 是第四象限角；225 是第三象 限角；475 是第二象限角； 315 是第一象限
8、角其中正确的命 题有( ) A1个 B2个 C3个 D4个 D 90 75 0 ，180 225 270 ， 360 90 475 360 180 ，360 315 270 .所 以这四个命题都是正确的 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 【例2】 (1)将885 化为k 360 (0 360 ，kZ)的形式是 _ (2)写出与1 910 终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 720 360 的元素写出来 思路点拨 (1)根据885 与k 360 ，kZ的关系确定k. (2)先写出与终边相同的角k 360 ，kZ，再由已知不等式确定k 的可能取值 终边相同的角的表示及应用 栏目导航栏
9、目导航 栏目导航栏目导航 21 (1)(3)360 195 885 1 080 195 (3) 360 195 . (2)解 与1 910 终边相同的角的集合为 |k 360 1 910 ，kZ 720 360 ，即720 k 360 1 910 360 (kZ)，311 36 k611 36(kZ)，故取k4,5,6. k4时，4360 1 910 470 ； k5时，5360 1 910 110 ； k6时，6360 1 910 250 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 1在 0 到 360 范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角 化成 k 360 的
10、形式(其中 0 360 ，kZ)，其中的 就是所求的角 (2)如果所给的角的绝对值不是很大， 可以通过如下方法完成： 当所给 角是负角时，采用连续加 360 的方式；当所给角是正角时，采用连续减 360 的方式，直到所得结果达到要求为止 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 2运用终边相同的角的注意点 所有与角终边相同的角，连同角在内可以用式子k 360 ，kZ 表示，在运用时需注意以下四点： (1)k是整数，这个条件不能漏掉 (2)是任意角 (3)k 360 与之间用“”连接，如k 360 30 应看成k 360 ( 30 )，kZ. (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同
11、，终边相同 的角有无数个，它们相差周角的整数倍 提醒：表示终边相同的角，kZ这一条件不能少 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 3下面与850 12终边相同 的角是( ) A230 12 B229 48 C129 48 D130 12 B 与850 12终边相同的角 可表示为850 12k 360 (k Z)，当 k3 时，850 121 080 229 48. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 4在360 360 之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断 各角所在的象限 790 ；20 . 解 790 2360 70 3360 290 ， 在360 360 之间与它终边相同的
12、角是70 和290 ，它们都是 第一象限的角 20 360 340 ， 在360 360 之间与它终边相同的角是20 和340 ，它们都是 第四象限的角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 探究问题 1若射线OA的位置是k 360 10 ，kZ，射线OA绕点O逆时针旋 转90 经过的区域为D，则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表 示？ 提示：终边落在区域D包括边界的角的集合可表示为|k 360 10 k 360 100 ，kZ 任意角终边位置的确定和表示 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 2若角与的终边关于x轴、y轴、原点、直线yx对称，则角与 分别具有怎样的关系？ 提
13、示：(1)关于 x 轴对称：若角 与 的终边关于 x 轴对称，则角 与 的关系是 k 360 ，kZ. (2)关于 y 轴对称：若角 与 的终边关于 y 轴对称，则角 与 的关 系是 180 k 360 ，kZ. (3)关于原点对称：若角 与 的终边关于原点对称，则角 与 的关 系是 180 k 360 ，kZ. (4)关于直线 yx 对称： 若角 与 的终边关于直线 yx 对称， 则角 与 的关系是 90 k 360 ，kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 【例3】 (1)若是第一象限角，则 2是( ) A第一象限角 B第一、四象限角 C第二象限角 D第二、四象限角 (2)已知，
14、如图所示 分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； 写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 思路点拨 (1) 由的范围写 出 2的范围 确定 2是第 几象限角 根据角终边的对称性确定 2是第几象限角 (2)观察图形确定终边落在OA，OB位置上的角 由小到大分别标出起始 和终止边界对应的角 加上360 的整数 倍，得所求集合 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 (1)D 因为是第一象限角，所以k 360 k 360 90 ，kZ， 所以k 180 2k 180 45 ，kZ， 所以 2是第一、三象限角， 又因为 2与 2的终边关于x轴对称，
15、 所以 2是第二、四象限角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 (2)解 终边落在OA位置上的角的集合为|90 45 k 360 ，kZ|135 k 360 ，kZ； 终边落在OB位置上的角的集合为|30 k 360 ，kZ 由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于 30 ，135 之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为| 30 k 360 135 k 360 ，kZ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 1若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在 阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？ 解 在 0 360 范围内，终边落在阴影部分(包括边界) 的
16、角为 60 105 与 240 285 ，所以所有满足题意的 角 为|k 360 60 k 360 105 ，kZ|k 360 240 k 360 285 ，kZ|2k 180 60 2k 180 105 ， kZ|(2k1) 180 60 (2k1) 180 105 ，kZ|n 180 60 n 180 105 ，nZ 故角 的取值集合为|n 180 60 n 180 105 ，nZ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 2若将本例(2)改为如图所示的图形，那么阴影部 分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？ 解 在0 360 范围内，阴影部分(包括边界)表 示的范围可表示为：1
17、50 225 ，则所有满足条件 的角为|k 360 150 k 360 225 ，kZ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 1表示区间角的三个步骤： 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360 360 范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360 ； 第三步：起始、终止边界对应角，再加上360 的整数倍，即得区 间角集合 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 2n或 n所在象限的判断方法： (1)用不等式表示出角n或 n的范围； (2)用旋转的观点确定角n或 n所在象限 例如：k 120 3k 120 30 ，kZ. 栏目
18、导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 由0 330 ，每次逆时针旋转120 可得 3终边的位置 提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 1角的旋转定义给出后，就将原来0 360 间的角扩展为任意的正 角、负角和零角，从而为角和实数之间建立对应关系奠定了基础 2明确象限角的概念，是判断一个角是第几象限角或轴线角的保 证 3理解终边相同角的含义，做到会用集合表示终边相同的角，会求 符合某种条件的角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 1思考辨析 (1)第二象
19、限角大于第一象限角( ) (2)第二象限角是钝角( ) (3)终边相同的角一定相等( ) (4)终边相同的角有无数个，它们相差360 的整数倍( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 提示 (1)错误如第二象限角100 小于第一象限角361 . (2)错误如第二象限角181 不是钝角 (3)错误终边相同的角可表示为k 360 ，kZ，即与不一 定相等 (4)都正确 答案 (1) (2) (3) (4) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 2下列各个角中与2 019 终边 相同的是( ) A149 B679 C319 D219 D 因为2 019 360 5 219 ，所以与2 0
20、19 终边相同的角是 219 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 42 3已知角的终边在如图阴影 表示的范围内(不包含边界)，那么角 的集合是_ |k 360 45 k 360 150 ，kZ 观察图形可知，角 的集合是|k 360 45 k 360 150 ，kZ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 43 4在0 到360 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们 是第几象限的角： (1)120 ；(2)640 . 解 (1)与120 终边相同的角的集合为M|120 k 360 ，kZ 当k1时，120 1360 240 ， 在0 到360 范围内，与120 终边相同的角是240 ，它是第三象限 的角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 44 (2)与640 终边相同的角的集合为M|640 k 360 ，kZ 当k1时，640 360 280 ， 在0 到360 范围内，与640 终边相同的角为280 ，它是第四象限的 角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 45 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
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