1、第三章 函数的概念与性质 3.23.2 函数的基本性质函数的基本性质 3.2.13.2.1 单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 第第1 1课时课时 函数的单调性函数的单调性 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解函数的单调性及其几何意义， 能运用 函数图象理解和研究函数的单调性(重点、 难点) 2 会用函数单调性的定义判断(或证明)一些 函数的单调性(难点) 3会求一些具体函数的单调区间(重点) 1.借助单调性的证明， 培养逻 辑推理素养 2利用求单调区间及应用单 调性解题， 培养直观想象和数 学运算素养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航
2、3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1增函数与减函数的定义 一般地， 设函数 f(x)的定义域为 I， 区间 DI： 如果x1， x2D， 当 x1x2时 条件 都有 都有 结论 那么就说函数 f(x)在区间 D 上 是 函数 那么就说函数 f(x)在区间 D 上 是 函数 f(x1)f(x2) f(x1)f(x2) 增 减 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 图示 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 思考 1：增(减)函数定义中的 x1，x2有什么特征？ 提示：定义中的 x1，x2有以下 3 个特征： (1)任意性，即“任意取 x1，
3、x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时 不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定 x1x2； (3)属于同一个单调区间 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 2函数的单调性与单调区间 如果函数 yf(x)在区间 D 上 ，那么就说函数 y f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的 单调递增或单调递减 单调区间 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 思考 2：函数 y1 x在定义域上是减函数吗？ 提示：不是y1 x在(，0)上递减，在(0，)上也递减，但不 能说 y1 x在(，0)(0，)上递减 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 1 函数 yf(x)的图
4、象如图所示， 其增区间是( ) A4,4 B4，31,4 C3,1 D3,4 C 由图可知， 函数 yf(x)的单 调递增区间为3,1，选 C. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 2下列函数中，在区间(0， )上是减函数的是( ) Ay1 x Byx Cyx2 Dy1x D 函数 y1x 在区间(0， )上是减函数， 其余函数在(0， ) 上均为增函数，故选 D. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 3函数 f(x)x22x3 的单调 减区间是_ (， 1 因为 f(x)x22x3 是图象开口向上的二次函数，其对称 轴为 x1，所以函数 f(x)的单调减区 间是(，1 栏目导航栏
5、目导航 栏目导航栏目导航 12 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 【例 1】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是 增函数还是减函数 (1)f(x)1 x；(2)f(x) 2x1，x1， 5x，x1； (3)f(x)x22|x|3. 求函数的单调区间 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 解 (1)函数 f(x)1 x的单调区间为(，0)，(0，)，其在 (，0)，(0，)上都是增函数 (2)当 x1 时，f(x)是增函数，当 x1 时，f(x)是减函数，所以 f(x)的 单调区间为(，1)，1，)，并且函数 f(x)在(，1
6、)上是减函数， 在1，)上是增函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 (3)因为 f(x)x22|x|3 x22x3，x0， x22x3，x0. 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数 f(x)的单调区间为(，1，(1,0)，0,1)，1，) f(x)在(，1，0,1)上是增函数，在(1,0)，1，)上是减函 数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单 调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解； (2)利用函数的图象，如本例(3) 提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间
7、不唯一，函数的单调 区间之间要用“，”隔开，如本例(3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 1(1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是增函数还是 减函数； (2)写出 y|x22x3|的单调区间 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 解 (1)函数在1,0，2,4上是减函数，在0,2，4,5上是增函数 (2)先画出 f(x) x22x3，x3， x22x3，1x3 的图象，如图 所以 y|x22x3|的单调减区间为(，1，1,3；单调增区间 为1,1，3，) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 【例 2】 证明函数 f(x)x1 x在(0,1)上是减函数 思路点拨
8、设元0 x1x2fx2 结论 减函数 函数单调性的判定与证明 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 证明 设 x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1) f(x2) x1 1 x1 x2 1 x2 (x1x2) 1 x1 1 x2 (x1x2)x 2x1 x1x2 (x1x2) 1 1 x1x2 x 1x21x1x2 x1x2 0 x1x21， x1x20,0 x1x21，则1x1x20，即 f(x1)f(x2)， f(x)x1 x在(0,1)上是减函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 利用定义证明函数单调性的步骤 1取值：设 x1，x2是该区间内的
9、任意两个值，且 x1x21， 则 f(x1)f(x2) 2 x11 2 x21 2x2x1 x11x21， 因为 x1x21， 所以 x2x10，x210， 所以 f(x1)f(b)，则 a，b 满足什 么关系如果函数 f(x)是减函数呢？ 提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)f(b)时，ab； 若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)f(b)时，af(5x6)， 则实数 x 的取值范围为_ 思 路 点 拨 (1) 分析fx的对称轴与区间的关系 数形结合 建立关于a的不等式 求a的范围 (2)f2x3f5x6 f(x)在(，)上是增函数 建立关于x的不等式
10、 求x的范围 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 (1)(，4 (2)(，1) (1)f(x)x22(a1)x3 的开口 向下，要使 f(x)在(，3上是增函数， 只需(a1)3，即 a4. 实数 a 的取值范围为(，4 (2)f(x)在(，)上是增函数，且 f(2x3)f(5x6)， 2x35x6，即 x0， 5x60， 2x33 2. x 的取值范围为 3 2， . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 函数单调性的应用 1函数单调性定义的“双向性”： 利用定义可以判断、 证明函数的单 调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围. 2若一个函数在区间a，b上是单
11、调的，则此函数在这一单调区间内 的任意子集上也是单调的. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 1定义单调性时应强调 x1，x2在其定义域内的任意性，其本质是把 区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较 2证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的 运用，直到符号判定水到渠成才可 3. 已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转 化意识， 如 f(x)在 D 上递增，则 f(x1)f(x2)x1f(3)( ) (4)若函数 yf(x)在定义域上有 f(1)x21，则 y1y2 x1 x11 x2 x21 x1x2 x11x21. x1x21，x1x20，x110，x210， x1x2 x11x210，即 y1y20，y1y2， y x x1在(1，)上是增函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
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