1、第三章 函数的概念与性质 3 3. .1 1 函数的概念及其表示函数的概念及其表示 3.1.23.1.2 函数的表示法函数的表示法 第第2 2课时课时 分段函数分段函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能 画出分段函数的图象(重点，难点) 2能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问 题(重点、难点) 3通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含 义，提高学生数学建模、数学运算的能力(重点) 1.通过分段函数求 值问题培养数学运 算素养 2利用分段函数 解决实际问题，培 养数学建模素养 栏目导航栏目导航 栏目
2、导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 分段函数 如果函数yf(x)，xA，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着 不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数 思考：分段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 1下列给出的式子是分段函数的是( ) f(x) x21，1x5， 2x，x1. f(x) x1，xR， x2，x2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 f(x) 2x3，1x5， x2，x1. f(x) x23，x1， 则f(f(4)_. 0 f(4)4
3、31，f( 1)110， f(f(4)f(1)0. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 【例1】 已知函数f(x) x1，x2， x22x，2x2， 2x1，x2. (1)求f(5)，f( 3)，f f 5 2 的值； (2)若f(a)3，求实数a的值 分段函数的求值问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 解 (1)由5(，2， 3(2,2)，5 2(，2， 知 f(5)514， f( 3)( 3)22( 3)32 3. f 5 2 5 21 3 2， 而23 22，不合题意，舍去 当2a2时，a2
4、2a3， 即a22a30. (a1)(a3)0， 解得a1或a3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 1(2,2)，3(2,2)， a1符合题意 当a2时，2a13，即a2符合题意 综上可得，当f(a)3时，a1或a2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 1分段函数求函数值的方法： (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间 (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现f(f(x0)的形式 时，应从内到外依次求值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 2已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论 (2)然后代入不同的解析式中 (3)通过解方程求出字母的值
5、 (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内 提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义 区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 1函数 f(x) x3，x10， ffx5，x10， 则 f(7)_. 8 函数 f(x) x3，x10， ffx5，x10， f(7)f(f(12)f(9)f(f(14) f(11)8. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 【例2】 如图所示，已知底角为45 的等腰梯形 ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 2 cm，当垂直于 底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有 公
6、共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积 y关于x的函数解析式，并画出大致图象 思路点拨 可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线 段CD三类分别求解 分段函数的解析式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 解 过点A，D分别作AGBC，DHBC，垂足分别是G，H. 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45 ，AB2 2 cm， 所以BGAGDHHC2 cm， 又BC7 cm，所以ADGH3 cm. (1)当点F在BG上，即x0,2时，y1 2x 2； (2)当点F在GH上，即x(2,5时，yxx2 2 22x2； 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航
7、19 (3)当点F在HC上，即x(5,7时，yS五边形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF1 2 (73)21 2(7x) 21 2(x7) 210. 综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为 y 1 2x 2，x0，2， 2x2，x2，5， 1 2x7 210，x5，7. 图象如图所示 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 1当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函 数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画 2通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养 学生的建模素养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 2某市“招手即停”公共汽车的票
8、价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计 算) 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之 间的函数解析式，并画出函数的图象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 解 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20 由题意得函数的解析式如下： y 2，0 x5， 3，5x10， 4，10 x15， 5，15x20. 函数图象如图所示： 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 探究问题 1函数f(x)|x2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？ 提示：能f(x) x2，x2，
9、2x，x2. 函数f(x)的图象如图所示 分段函数的图象及应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 2结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？ 提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意 义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 【例3】 已知函数f(x)1|x|x 2 (2x2) (1)用分段函数的形式表示f(x)； (2)画出f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域 思路点拨 (1)分2x0和0 x2两种情况讨论，去掉绝对值可 把f(x)写成分段函数的形式； (2)利用(1)的结论可画
10、出图象； (3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值 域 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 解 (1)当0 x2时，f(x)1xx 2 1， 当2x0时， f(x)1xx 2 1x， f(x) 1，0 x2， 1x，2x0. (2)函数f(x)的图象如图所示 (3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 把本例条件改为“f(x)|x|2”，再求本例的3个问题 解 (1)f(x)|x|2 x2，x0， x2，x1 是 分段函数( ) 答案 (1) (2) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 2设函数f(x)
11、 x21，x1， 2 x，x1， 则f(f(3)( ) A.1 5 B3 C.2 3 D. 13 9 D f(3)2 31， f(f(3) 2 3 2113 9 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 3函数yf(x)的 图象如图所示，则其 解析式为_ f(x) 2x，0 x1， 2，1x2， 3，x2 当0 x1时，设 f(x)kx，又过点(1,2)，故k2，f(x)2x； 当1x2时，f(x)2；当x2时，f(x)3. 综上f(x) 2x，0 x1， 2，1x1或x1 或 x1 时，f(x)1， 所以 f(x)的值域为0,1 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
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