1、第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.32.3 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式 第第1 1课时课时 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握一元二次不等式的解法(重 点). 2.能根据“三个二次”之间的关系 解决简单问题(难点). 通过一元二次不等式的学习，培养 数学运算素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1一元二次不等式的概念 只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一
2、 元二次不等式 一个 2 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 2一元二次不等式的一般形式 (1)ax2bxc0(a0) (2)ax2bxc0(a0) (3)ax2bxc0(a0) (4)ax2bxc0(a0) 思考1：不等式x2y20是一元二次不等式吗？ 提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知 不是一元二次不等式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 3一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的 解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的 解集 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 思考2：类比“方程x21的解集是1，1，解集
3、中的每一个元素 均可使等式成立”不等式x21的解集及其含义是什么？ 提示：不等式x21的解集为x|x1，该集合中每一个元素都 是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 4三个“二次”的关系 设 yax2bxc(a0)，方程 ax2bxc0 的判别式 b24ac 判别式 0 0 0 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 求方程 y0 的解 有两个不相等的实 数根 x1，x2(x1x2) 有两个相等的实 数根 x1x2 b 2a 没有 实数根 画函数 yax2bx c(a0)的图象 y0 _ _ _ 解不 等式 y0 或 y 0 的步 骤 得等的集
4、不式解 y0 _ _ _ x|xx1 或 xx2 x x b 2a R x|x1xx2 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 思考3：若一元二次不等式ax2x10的解集为R，则实数a应满足 什么条件？ 提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2x10的解 集为R，则 a0， 14a0的 解集为R. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 1不等式35x2x20的解集 为( ) A. x x3或x1 2 B. x 1 2x3 C. x x3或x1 2 DR C 35x2x202x25x 30(x3)(2x1)0 x3或x 1 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 2不等式
5、3x22x10的解集 为( ) A. x 1x1 3 B. x 1 3x1 C DR D 因为(2)24 3 14 1280，所以不等式3x22x 10的解集为R. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 3不等式x22x52x的解集 是_ x|x5 或 x2x，得 x24x50，因为 x24x 50 的两根为1,5， 故 x24x50 的解集为x|x5 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 4不等式3x25x40的解 集为_ 原不等式变形为3x25x 40.因为(5)2434 230，所以3x25x40无解 由函数y3x25x4的图象可 知，3x25x40； (2)4x218x81 4
6、 0； (3)2x23x20，所以方程2x27x30有两 个不等实根x13，x21 2.又二次函数y2x 27x3的图象开口向 上，所以原不等式的解集为 x x1 2或x0，因为942270； (2)x24x40； (3)x22x30. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 解 (1)0，方程2x23x20的根是x11 2，x22， 不等式2x23x20的解集为 x x2 . (2)0，方程x24x40的根是x1x22， 不等式x24x40的解集为 x|x2 . (3)原不等式可化为x22x30， 由于0，方程x22x30无解， 不等式x22x30的解集为R. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏
7、目导航 21 (4)原不等式可化为3x25x20，方程3x25x20的两根为x12 3，x21， 不等式3x25x20的解集为 x 2 3x1 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 【例2】 解关于x的不等式ax2(a1)x10. 思路点拨 对于二次项的系数a是否分a0，a0三类进行 讨论？当a0时，是否还要比较两根的大小？ 含参数的一元二次不等式的解法 解 当a0时，原不等式可化为x1. 当a0时，原不等式可化为(ax1)(x1)0. 当a0， 1 a1，x1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 当a0时，原不等式可化为 x1 a (x1)0. 若1 a1，则 1 ax1，即
8、0a1，则1x 1 a. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 综上所述， 当 a0 时， 原不等式的解集为 x x1 ； 当 a0 时， 原不等式的解集为x|x1；当 0a1 时，原不等式的解集为 x 1x1 时， 原不等式的解集为 x 1 ax1 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式 的解集，不能合并 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 2解关于x的不等式：ax222xax(a0) 解 原不等式移项得ax2(a2)x20， 化简为(x1)(ax2)0. a0，(x1) x2 a
9、 0. 当2a0时，2 ax1； 当a2时，x1； 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 当a2时，1x2 a. 综上所述， 当2a0时，解集为 x 2 ax1 ； 当a2时，解集为x|x1； 当a0、y0时自变量x组成的集合，亦即二次函数 yx22x3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合x|x3；同 理，满足y0时x的取值集合为x|1x0(a0)或ax2bx c0)是函数yax2bxc(a0)的一种特殊情况，它们之间是一种包 含关系，也就是当y0时，函数yax2bxc(a0)就转化为方程，当 y0或y0的解集分别是什么？观察 结果你发现什么问题？这又说明什么？ 提示：方程x22x30的解
10、集为1,3 不等式x22x30的解集为x|x3，观察发现不等式x22x 30解集的端点值恰好是方程x22x30的根 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 3设一元二次不等式ax2bxc0(a0)和ax2bxc0)的解集 分别为x|xx2，x|x1xx2(x10(a0)和ax2bxc0)的解 集分别为x|xx2，x|x1xx2(x10 的解集为x|2x3， 求 关于 x 的不等式 cx2bxa0 的解集 思路点拨 由给定不等式 的解集形式 确定a0及关于 a，b，c的方程组 用a表示b，c 代入所求 不等式 求解cx2bxa0 的解集为x|2x3可知，a0， 且 2 和 3 是方程 ax2b
11、xc0 的两根， 由根与系数的关系可知b a5， c a 6.由 a0 知 c0，b c 5 6 ，故不等式 cx2bxa0， 即 x25 6x 1 60，解得 x 1 2，所以不等式 cx 2bxa0的解集为x|2x3可知，a0，且2和3 是方程ax2bxc0的两根，所以ax2bxca(x2)(x3)ax25ax 6ab5a，c6a，故不等式cx2bxa0，即6ax25axa0 6a x1 3 x1 2 0的解 集 解 由根与系数的关系知b a5， c a6且a0. c0， 即x2b cx a c0，即x 25 6x 1 60. 解之得 x 1 2x0的解集 为x|2x3变为“关于x的不等式
12、ax2bxc0的解集是 x 1 3x2 .求不等式cx2bxa0的解集 解 法一：由ax2bxc0的解集为 x 1 3x2 知a0.又 1 3 2c a0，则c0. 又1 3，2为方程ax 2bxc0的两个根， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 b a 5 3， b a 5 3. 又c a 2 3，b 5 3a，c 2 3a， 不等式变为 2 3a x 2 5 3a xa0， 即2ax25ax3a0. 又a0，2x25x30， 所求不等式的解集为 x 3x1 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 法二：由已知得a0 且 1 3 2b a， 1 3 2c a知c0， 设方程c
13、x2bxa0的两根分别为x1，x2， 则x1x2b c，x1 x2 a c， 其中a c 1 1 3 2 3 2， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 b c b a c a 1 3 2 1 3 2 1 1 3 1 2 5 2， x1 1 1 3 3，x21 2. 不等式cx2bxa0的解集为 x 3x1 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 已知以 a，b，c 为参数的不等式如 ax2bxc0的解集，求解其他 不等式的解集时，一般遵循： 1根据解集来判断二次项系数的符号； 2根据根与系数的关系把 b， c 用 a 表示出来并代入所要解的不等式； 3约去 a，将不等式化为具体
14、的一元二次不等式求解. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 42 1解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系， 可以得到解一元二次不等式的一般步骤： 化不等式为标准形式：ax2bxc0(a0)或 ax2bxc0(a 0)； 求方程 ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数 yax2bx c 图象的简图； 由图象得出不等式的解集 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 43 (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解 当m0)， 一根(0)， 无根(0) (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1x2， x1x2，x1x2. 3
15、由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与 x 轴的交点 坐标. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 45 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 46 1思考辨析 (1)mx25x0，则一元二次不等式ax210无解( ) (3)若一元二次方程ax2bxc0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次 不等式ax2bxc0的解集为x|x1x0的解集为R.( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 47 提示 (1)错误当m0时，是一元一次不等式；当m0时，是一 元二次不等式 (2)错误因为a0，所以不等式ax210恒成立，即原不等式的解集 为R. (3
16、)错误当a0时，ax2bxc0的解集为x|x1xx2，否则不成 立 (4)正确因为(2)2120的解集为 R. 答案 (1) (2) (3) (4) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 48 2设a1，则关于x的不等式 a(xa) x1 a 0的解集为_ x x1 a 因为a1， 所以a(xa) x1 a 0.又aa，所以x 1 a或 xa. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 49 3已知关于x的不等式ax2bxc0的解集是 x x1 2 ， 则ax2bxc0的解集为_ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 50 x 1 2x2 由题意，2，1 2是方程ax 2bxc0的两个根且 a0，即为2x25x20， 解得1 2x0的解集为 x 1 2x2(x1) 解 (1)原不等式可化为x27x120，因为方程x27x120的 两根为x13，x24， 所以原不等式的解集为x|3x4 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 52 (2)原不等式可以化为x22x20， 因为判别式4840，方程x22x20无实根，而抛物线y x22x2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 53 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
浙公网安备33030202001339号