1、第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.22.2 基本不等式基本不等式 第第1 1课时课时 基本不等式基本不等式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解基本不等式的证明过程(重 点) 2能利用基本不等式证明简单的不 等式及比较代数式的大小. 1.通过不等式的证明，培养逻辑推 理素养 2借助基本不等式形式求简单的最 值问题，提升数学运算素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1重要不等式 a，bR，有 a2b2 ，当且仅当 时，等号成立 2基本不等式 (1)有关概念
2、：当 a，b 均为正数时，把ab 2 叫做正数 a，b 的算术平均 数，把 ab叫做正数 a，b 的几何平均数 (2)不等式：当 a，b 是任意正实数时，a，b 的几何平均数不大于它们 的算术平均数，即 abab 2 ，当且仅当 时，等号成立 2ab ab ab 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 1不等式a212a中等号成立 的条件是( ) Aa 1 Ba1 Ca1 Da0 B 当a212a，即(a1)20 即a1时，“”成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 2已知a，b(0,1)，且ab， 下列各式中最大的是( ) Aa2b2 B2 ab C2ab Dab D a，b(0,1)
3、，a2a， b2b， a2b2ab，又a2b2 2ab(ab)， 2aba2b2ab. 又ab2 ab(ab)，a b最大 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 3已知ab1，a0，b0，则a b的最小值为( ) A1 B2 C4 D8 B a0，b0，a b2 ab2，当且仅当ab1时取 等号，故ab的最小值为2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 4当a，bR时，下列不等关系 成立的是_ ab 2 ab；ab2 ab； a2b22ab；a2b22ab. 根据x 2y2 2 xy，ab 2 ab成立的条件判断，知 错，只有正确 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 合合 作作 探探
4、 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 【例 1】 给出下面四个推导过程： a、b 为正实数，b a a b2 b a a b2； aR，a0，4 aa2 4 a a4； x、yR，xy0，x y y x x y y x 2 x y y x 2. 其中正确的推导为( ) A B C D 对基本不等式的理解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 B a、b为正实数，b a、 a b为正实数，符合基本不等式的条 件，故的推导正确 aR，a0，不符合基本不等式的条件， 4 aa2 4 a a4是错误的 由xy0，得x y、 y x均为负数，但在推导过程中将整体 x y
5、 y x提出负号 后， x y 、 y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故正确 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 1基本不等式 abab 2 (a0，b0)反映了两个正数的和与积之 间的关系 2对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条 件是 a、b 都是正数(2)“当且仅当”的含义：当 ab 时， abab 2 的 等号成立，即 abab 2 ab；仅当 ab 时，ab 2 ab的等号成立， 即ab 2 abab. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 1下列不等式的推导过程正确的是_ 若x1，则x1 x2 x 1 x2. 若x0，则x4 x x 4 x
6、2x 4 x 4. 若a，bR，则b a a b2 b a a b2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x1 x时即x1时， x1 x2等号成立，因为x1，所以x 1 x2，中忽视了利用基本不等 式时每一项必须为正数这一条件 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 【例 2】 (1)已知 a，bR ，则下列各式中不一定成立的是( ) Aab2 ab B.b a a b2 C.a 2b2 ab 2 ab D. 2ab ab ab (2)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 pa2b2c2与 qabbc ca 的大小关系是_ 利用基本不等式比较大小
7、 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 (1)D (2)a2b2c2abbcac (1)由ab 2 ab得ab2 ab， A成立； b a a b2 b a a b2，B成立； a 2b2 ab 2ab ab2 ab，C成立； 2ab ab 2ab 2 ab ab，D不一定成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 (2)a、b、c互不相等， a2b22ab，b2c22ac，a2c22ac. 2(a2b2c2)2(abbcac) 即a2b2c2abbcac. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 1在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条 件 2运用基本不等式比较大小
8、时应注意成立的条件，即ab2 ab成 立的条件是a0，b0，等号成立的条件是ab；a2b22ab成立的条件 是a，bR，等号成立的条件是ab. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 2如果0ab1，P ab 2 ，Q ab，M ab，那么 P，Q，M的大小顺序是( ) APQM BMPQ CQMP DMQP B 显然ab 2 ab，又因为 ab 2 ab，(由abab 2 4 也 就是ab 4 1可得)，所以 ab ab 2 ab.故MPQ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且abc1，求证：1 a 1 b 1 c9. 思路点拨 看到1
9、a 1 b 1 c9，想到将“1”换成“abc”，裂项 构造基本不等式的形式，用基本不等式证明 利用基本不等式证明不等式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 证明 a，b，cR，且abc1， 1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c 3b a c a a b c b a c b c 3 b a a b c a a c c b b c 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 32 b a a b2 c a a c2 c b b c 3222 9. 当且仅当abc时取等号， 1 a 1 b 1 c9. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 本例条件不变，求证： 1 a
10、1 1 b1 1 c1 8. 证明 a，b，cR， 且abc1， 1 a1 bc a 0，1 b1 ac b 0，1 c1 ab c 0， 1 a1 1 b1 1 c1 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 bc a ac b ab c 2 bc 2 ac 2 ab abc 8， 当且仅当abc时取等号， 1 a1 1 b1 1 c1 8. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 1条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑， 比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用 基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系 2先局部运用基本不等式
11、，再利用不等式的性质(注意限制条件)， 通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技 能，也是证明不等式时的一种常用方法 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 3已知a，b，cR，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2. 证明 由基本不等式可得 a4b4(a2)2(b2)22a2b2， 同理，b4c42b2c2， c4a42a2c2， (a4b4)(b4c4)(c4a4)2a2b22b2c22a2c2， 从而a4b4c4a2b2b2c2c2a2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 4已知a1，b0，1 a 3 b1，求证：a2b2 67. 证明 由1 a
12、3 b1，得b 3a a1(a1)， 则a2ba 6a a1a 6a16 a1 a 6 a16(a1) 6 a17 2 67， 当a1 6 a1时，即a1 6时，取等号 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 1应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a0，b0 时，才会有 abab 2 .对于“当且仅当时，成立”这句话 要从两个方面理解：一方面，当ab时，ab 2 ab；另一方面：当ab 2 ab时，也有ab. 2应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、 “拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结 构. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 当当
13、堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 1思考辨析 (1)对任意a，bR，a2b22ab，ab2 ab均成立( ) (2)若a0，则a1 a2 a 1 a2.( ) (3)若a0，b0，则ab ab 2 2.( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 提示 (1)任意a，bR，有a2b22ab成立，当a，b都为正数时， 不等式ab2 ab成立 (2)只有当a0时，根据基本不等式，才有不等式a1 a2 a 1 a2成 立 (3)因为 abab 2 ，所以ab ab 2 2. 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 2设ab0，则下列不等式中 一定成立的是( ) Aab0 B0a b1 C. abab C ab0，由基本不等式知 ab0，b0，证明：b 2 a a 2 b ab. 证明 a0，b0， b 2 a a2b，a 2 b b2a， b 2 a a 2 b ab. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
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