1、2020-2021 学年河南省南阳学年河南省南阳市市高三（上）高三（上）12 月月考数学（理）试卷月月考数学（理）试卷 一、选择题一、选择题 1. 已知集合 = *|2 1 0+，则集合() =( ) A.(0,1- B.,1,+) C.(,1- ,1,+) D.(,1- (0,+) 2. 已知 ，若复数 = ;2 1: 为纯虚数，则|1 + | = ( ) A.10 B.10 C.5 D.5 3. 已知 = .1 2/ ;1 3， = .3 5/ ;1 3， = log3 2 3 2，则，的大小关系为( ) A. B. C. D. 0， ， 2 + 6 0， 则2:2 的最小值为( ) A.
2、1 B.3 C.4 D.6 5. 已知直线1: 2 + 1 = 0，2: ( 1) 1 = 0，则“ = 2”是“1/2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 函数() = 2 sin的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等边三角形三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，点是线段的中 点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是( ) A.2 B.3 C.7 4 D.9 4 8. 已知点是直角三角形的直角顶点，(2,2)，(4,)，(2 + 2,2)，则 外接圆的方程是 ( ) A.2+ ( 3)2= 5 B.2
3、+ ( + 3)2= 5 C.( 3)2+ 2= 5 D.( + 3)2+ 2= 5 9. 如图所示，在正四面体 中，是棱的中点，是棱上一动点， + 的最小值为7，则 该正四面体的外接球的体积是( ) A.6 B.6 C.36 32 D.3 2 10. 已知函数() = |+ |( )在区间,0,1-上单调递增，则实数的取值范围是( ) A.(1,1) B.(1,+) C.,1,1- D.(0,+) 11. 已知点，均在表面积为81的球面上，其中 平面， = 30， = 3，则 三棱锥 的体积的最大值为( ) A.81 8 B.243 32 C.81 32 D.81 12. 已知() = 2,
4、 0, 1 2, 0, 则(3)的值为_. 已知平面向量 与 的夹角为 3，且| | = 1，| + 2 | = 23，则| | =_. 已知函数() = 3+ 2+ (, )的图象如图所示，它与直线 = 0在原点处相切，此切线与函数 图象所围区域（图中阴影部分）的面积为27 4 ，则的值为_. 已知函数() = ( 1 )，则使() (2 1)成立的的取值范围为_. 三、解答题三、解答题 在 中， ，的对边分别为，若cos = (2 )cos. (1)求的大小； (2)若 = 7， + = 4，求，的值. 已知向量 = (cos, 1 2)， = (3sin,cos2)， R，设函数() =
5、 (1)求()的最小正周期； (2)求函数()的单调递减区间； (3)求()在,0, 2-上的最大值和最小值 如图，在底面是菱形的四棱锥 中， 平面， = 60， = = 2，点，分别 为，的中点，设直线与平面交于点 (1)已知平面 平面 = ，求证： /； (2)求直线与平面所成角的正切值 若数列*+中，1= 1 3，3 :1 = ( + 1) (1)证明： 是等比数列，并求*+的通项公式； (2)若*+的前项和为，求的值 如图， 在四棱锥 中， 底面， 底面是直角梯形， = = 90 , ， = = 2，点在上，且 = 2 (1)点在上， = 2，求证： 平面； (2)若直线与平面所成的角
6、为45，求二面角 的余弦值 已知函数() = (2 2) ln + 2+ 2. (1)当 = 1时，求()在(1,(1)处的切线方程； (2)设函数() = () 2，函数()有且仅有一个零点. ()求的值； ()若;2 ，() 恒成立，求的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1. 【答案】 D 【考点】 交、并、补集的混合运算 一元二次不等式的解法 【解析】 解不等式求出集合，根据补集与并集的定义写出集合() 即可 【解答】 解：集合 = |2 1 0+ = *| 1 0+， 则集合 = *| 1或 1+， 所以集合() = *| 1或 0+ = (,1-
7、(0,+) 故选. 2. 【答案】 D 【考点】 复数的模 复数的基本概念 【解析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，由题意求出值，则答案可求 【解答】 解： = ;2 1: = (;2)(1;) (1:)(1;) = (;2);(:2) 2 为纯虚数， 2 = 0, + 2 0, 解得： = 2， |1 + | = |1 + 2| = 5 故选 3. 【答案】 B 【考点】 指数式、对数式的综合比较 【解析】 【解答】 解： = ; 1 3是单调递减函数，0 1 2 1. = log3 2 3 2 = 1， 0， ， 2 + 6 0， 作出可行域如图， 联立 = ， 2 + 6 = 0，解得
8、(2,2)， 2:2 = 2 + :2 ，其几何意义为可行域内的动点与定点(0,2) 连线的斜率加2. = 2;(;2) 2;0 = 2，所以2:2 的最小值为4. 故选. 5. 【答案】 C 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】 主要考查充分条件与必要条件的判断、两直线平行的条件,考查推理论证能力 【解答】 解：当 = 2时，两直线方程分别为2 2 + 1 = 0， 1 = 0，则两直线平行. 若直线1/2，则( 1) = 2，且 1，解得 = 2. 所以“ = 2”是“1/2”的充要条件. 故选. 6. 【答案】 A 【考点】 函数的单调性与导数的关系 函数奇偶性的性质
9、函数奇偶性的判断 【解析】 本题考查正数图象、考查函数的奇偶性、单调性、考查利用导数判断函数的单调性，属于基础题由 () = 2 sin，判定()为偶函数，再利用导数研究()在(0,+)上的单调性即可求解 【解答】 解： () = ()2 () sin() = 2 sin = ()， 函数()为偶函数， 故排除. () = 2 sin = ( sin)， 令() = sin，则() = ()，() = 1 cos， 0时，() = 1 cos 0恒成立， () = sin在(0,+)单调递增，且() (0) = 0， 函数() = ()在(0,+)单调递增，故排除. 满足偶函数且在(0,+)上
10、单调递增的函数，图象为 故选 7. 【答案】 D 【考点】 点、线、面间的距离计算 勾股定理 【解析】 设正 的中心为1，连结1、1、1、根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理， 结合题中数据算出而经过点的球的截面，当截面与垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的 面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值 【解答】 解：设等边 的中心为1，连接1，1，1，如图所示， 1是等边 的中心，三点都在球面上， 1 平面，结合1 平面，可得1 1， 球的半径 = 2，球心到平面的距离为1，得1 = 1， 1中，1 = 2 12= 3 又 为的中点， 等边 中，1 = 1 2
11、1 = 3 2 1中， = 12+ 12= 3 4 + 1 = 7 2 过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小， 当截面与垂直时，截面圆的面积有最小值 此时截面圆的半径 = 2 12=22 ( 7 2 )2= 3 2， 可得截面面积为2= 9 4 故选. 8. 【答案】 D 【考点】 圆的标准方程 【解析】 根据点是直角三角形的直角顶点， 求出， ， 的坐标求得圆心的坐标和圆的半径， 则圆的方程可得 【解答】 解：由题意，|2= |2+ |2， 即(2 + 6)2+ (2 )2= (2 + 4)2+ (2 )2+ 4， 得 = 2， 则(4,2)，(4,2)，(2,2)， 圆的半径为
12、2 = (;4:2)2:(;2;2)2 2 = 5，圆心为(3,0)， 圆的方程为( + 3)2+ 2= 5. 故选. 9. 【答案】 A 【考点】 球的表面积和体积 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：将侧面 和 展开成平面图形， 如图所示： 设正四面体的棱长为， 则 + 的最小值为 =2+ 2 4 2 2 cos120 = 7 2 = 7， 所以 = 2， 在棱锥 中，设底面三角形的中心为， 外接球的球心为，为的中点， 如图所示， 则 = 3 2 = 3， 所以 = 2 3 = 2 33， = 2 2= 2 36， 设外接球的半径 = = ,则 = 2 36 ， 在 中，由勾股定理得，
13、2= (2 36 ) 2 + (2 33) 2， 解得， = 6 2 ， 所以外接球的体积为 = 4 3 3 = 6. 故选. 10. 【答案】 C 【考点】 利用导数研究函数的单调性 已知函数的单调性求参数问题 【解析】 求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对进行讨论 【解答】 解：当 0时，() = |+ | = + ， 则() = = 2; ，且() 0恒成立， 由() 0，解得2 ，即 1 2ln，此时函数单调递增； 由() 0，解得2 ，即 1 2ln，此时函数单调递减. 若()在区间,0,1-上单调递增，则1 2ln 0， 解得0 1，即 (0,1-； 当
14、 = 0时，() = |+ | = 在区间,0,1-上单调递增，满足条件； 当 0，求导得 () = (;2) 3 . 令() 0，解得：0 0，解得： 2，()在(2,+)上单调递增， ()在 = 2时取最小值，最小值为(2) = 2 4 . 要使 2 = 有两个正根，即使 = ()与 = 有两个交点， 故实数的范围是. 2 4 ,+/ . 故选 二、填空题二、填空题 【答案】 2 【考点】 函数的求值 【解析】 先求出(3) = 1，则(3) = (1)代入分段函数的第一个式子可求得函数值 【解答】 解：由题意可得(3) = log1 33 = 1， (3) = (1) = 20= 2.
15、故答案为：2. 【答案】 2 【考点】 平面向量数量积的运算 向量的模 【解析】 利用| + 2 |2 2 + 4 + 4 2 = 12，根据向量数量积的运算，化简得出关于| |的方程，求解即可 【解答】 解： | + 2 | = 23， | + 2 |2= 12，即 2 + 4 + 4 2 = 12， | |2 + 4| | 1 cos60 + 4 12= 12， 化简得| |2 + 2| | 8 = 0， 解得| | = 2. 故答案为：2. 【答案】 3 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 定积分 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由题知() = 3+ 2+ (, )， 则()
16、 = 32+ 2 + . 函数与直线 = 0在原点处相切， () = 0，即 = 0， () = 2( + )， 有27 4 = ; 0 ,0 (3+ 2)- = ( 4 4 + 3 3 )| 0 = 4 12， 解得 = 3 又 0， = 3 故答案为：3. 【答案】 (1 3 ,1) 【考点】 函数单调性的性质 函数奇偶性的性质 其他不等式的解法 【解析】 ）由已知可知()为偶函数，然后结合 0时，()单调递增，当 0时，()单调递增， 故根据偶函数的对称性可知，当 (2 1)， | |2 1|， 两边同时平方可得，32 4 + 1 0， 解得1 3 0， () 0， ()在(0,+)上是
17、减函数. 又 (1) = (1) = 0， 当0 0；当 1时，() 0， ()在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减， ()max= (1) = 1， 当函数()有且仅有一个零点时， = 1； ()当 = 1时，() = (2 2) ln + 2 ， 若;2 ，() ，只需证明()max ， () = ( 1)(3 + 2ln). 令() = 0得 = 1或 = ; 3 2. 又 ;2 ， 函数()在(;2,; 3 2)上单调递增，在(; 3 2,1)上单调递减，在(1,)上单调递增. 又(; 3 2) = 1 2 ;3 + 2; 3 2，() = 22 3. (; 3 2) = 1
18、 2 ;3 + 2; 3 2 2; 3 2 2 2( 3 2) = ()， (; 3 2) ()， 22 3. 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】 （1）当 = 1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求()在（1,(1)）处的切线方程； (2)()令() = () 2 = 0，可得 = 1;(;2)ln ，令() = 1;(;2)ln ，证明()在(0,1)上单调递增， 在(1,+)上单调递减，可得()max= (1) = 1，即可求的值； ()若;2 0， () 0， ()在(0,+)上是减函数. 又 (
19、1) = (1) = 0， 当0 0；当 1时，() 0， ()在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减， ()max= (1) = 1， 当函数()有且仅有一个零点时， = 1； ()当 = 1时，() = (2 2) ln + 2 ， 若;2 ，() ，只需证明()max ， () = ( 1)(3 + 2ln). 令() = 0得 = 1或 = ; 3 2. 又 ;2 ， 函数()在(;2,; 3 2)上单调递增，在(; 3 2,1)上单调递减，在(1,)上单调递增. 又(; 3 2) = 1 2 ;3 + 2; 3 2，() = 22 3. (; 3 2) = 1 2 ;3 + 2; 3 2 2; 3 2 2 2( 3 2) = ()， (; 3 2) ()， 22 3.
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