1、第二节第二节 参数方程参数方程 【知识重温】【知识重温】 一、必记 4 个知识点 1参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上_的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函 数： xft， ygt. 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x，y)都在_， 那么方程叫做这条曲线的参数方程，t 叫做参变数，简称_.相对于参数方程而言，直 接给出点的坐标间关系的方程叫做_. 2直线的参数方程 过定点 P0(x0，y0)且倾斜角为 的直线的参数方程为_(t 为参数)，则 参数 t 的几何意义是_. 3圆的参数方程 圆心为(a，b)，半径为 r，以圆心为顶点且与 x 轴同向的射线，
2、按逆时针方向旋转到圆上 一点所在半径成的角 为参数的圆的参数方程为_0,2) 4椭圆的参数方程 以 椭 圆 的 离 心 角为 参 数 ， 椭 圆 x2 a2 y2 b2 1(a b 0) 的 参 数 方 程 为 _0,2) 二、必明 1 个易误点 在曲线方程之间的互化时，要做到互化准确，不重不漏，保持转化前后的等价 性. 考点一 参数方程与普通方程的互化 自主练透型 1把下列参数方程化为普通方程 (1) x11 2t， y5 3 2 t (t 为参数) (2) xsin ， ycos2 ( 为参数，0,2) 2如图，以过原点的直线的倾斜角 为参数求圆 x2y2x0 的参数方程 悟 技法 消去参
3、数的三种方法： (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数 将参数方程化为普通方程时， 要注意防止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小， 必须根据参 数的取值范围，确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围. 考点二 参数方程的应用互动讲练型 例 1 2018 全国卷在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 x2cos ， y4sin ( 为参 数)，直线 l 的参数方程为 x1tcos ， y2tsin (t 为参数) (1)求 C 和 l
4、的直角坐标方程； (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率 悟 技法 (1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公 式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等 (2)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点 M0的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1，M2，所对应的参数方程为 t1，t2. 弦长 l|t1t2|； 弦 M1M2的中点t1t20； |M0M1|M0M2|t1t2|. 变式练(着眼于举一反三) 12021 石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试已知曲线 C 的
5、参数方程为 xcos ysin ( 为参数)，A(2,0)，P 为曲线 C 上的一个动点 (1)求动点 P 对应的参数从 3变动到 2 3 时，线段 AP 所扫过的图形的面积； (2)若直线 AP 与曲线 C 的另一个交点为 Q，是否存在点 P，使得 P 为线段 AQ 的中点？若 存在，求出点 P 的直角坐标；若不存在，请说明理由 考点三 极坐标方程与参数方程的综合问题 互动讲练型 例 2 2020 全国卷在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 xcoskt， ysinkt (t 为参 数)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4cos 16si
6、n 30. (1)当 k1 时，C1是什么曲线？ (2)当 k4 时，求 C1与 C2的公共点的直角坐标 悟 技法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角 坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 变式练(着眼于举一反三) 22021 惠州市高三调研考试在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 xt y3t (t 为参数)在以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2的极坐标方程为 4cos . (1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； (2)若 C1与 C2相交于 A，B 两点，求OAB 的面积 第
7、二节第二节 参数方程参数方程 【知识重温】【知识重温】 任意一点 这条曲线上 参数 普通方程 xx0tcos ， yy0tsin 有向线段 P0P 的数量 xarcos ， ybrsin xacos ， ybsin 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：(1)由已知得 t2x2，代入 y5 3 2 t 中得 y5 3 2 (2x2) 即它的普通方程为 3xy5 30. (2)因为 sin2cos21，所以 x2y1， 即 y1x2.又因为|sin |1， 所以其普通方程为 y1x2(|x|1) 2解析：圆的半径为1 2， 记圆心为 C 1 2，0 ，连接 CP， 则PCx2， 故 xP1
8、2 1 2cos 2cos 2， yP1 2sin 2sin cos ， 所以圆的参数方程为 xcos2， ysin cos ( 为参数) 考点二 例 1 解析：(1)曲线 C 的直角坐标方程为x 2 4 y2 161. 当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 ytan x2tan ， 当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 x1. (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80. 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1，t2，则 t1 t20. 又由得 t1t242
9、cos sin 13cos2 ，故 2cos sin 0，于是直线 l 的斜率 ktan 2. 变式练 1解析：(1)设 3时对应的点为 M， 2 3 时对应的点为 N，O 为坐标原点， 线段 AP 扫过的图形的面积SAMNS弓形SOMNS弓形S扇形OMN1 21 2 3 6. (2)设 P(cos ，sin )， P 为线段 AQ 的中点，Q(2cos 2,2sin )， Q 在曲线 C 上，曲线 C 的普通方程为 x2y21， (2cos 2)2(2sin )21， 8cos 7，cos 7 8. 此时点 P 的直角坐标为 7 8， 15 8 . 考点三 例 2 解析：(1)当 k1 时，
10、C1： xcos t， ysin t， 消去参数 t 得 x2y21，故曲线 C1是圆心 为坐标原点，半径为 1 的圆 (2)当 k4 时，C1： xcos4t， ysin4t， 消去参数 t 得 C1的普通方程为 x y1. C2的直角坐标方程为 4x16y30. 由 x y1， 4x16y30 解得 x1 4， y1 4. 故 C1与 C2的公共点的直角坐标为 1 4， 1 4 . 变式练 2解析：(1)消去参数可得 C1的普通方程为 xy30. 由 4cos ，得 24cos ， 又 2x2y2，cos x， 所以 C2的直角坐标方程为 x2y24x0. (2)解法一 C2的标准方程为(
11、x2)2y24，表示圆心为 C2(2,0)，半径 r2 的圆 圆心 C2到直线 xy30 的距离 d1 2 2 ， 故|AB|2r2d21 14. 原点 O 到直线 xy30 的距离 d 3 2 3 2 2 ， 所以 SOAB1 2|AB|d 1 2 14 3 2 2 3 7 2 . 所以OAB 的面积为3 7 2 . 解法二 设 A，B 两点的横坐标分别为 x1，x2. 联立得 xy30 x2y24x0 ，消去 y 得 2x210 x90， 所以 x1x25，x1x29 2， 所以|AB| 112|x1x2|112 x1x224x1x2 14. 原点 O 到直线 xy30 的距离 d 3 2 3 2 2 ， 所以 SOAB1 2|AB|d 1 2 14 3 2 2 3 7 2 . 所以OAB 的面积为3 7 2 .
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