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    2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:微专题(三) 抽象函数单调性的判断方法

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    2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:微专题(三) 抽象函数单调性的判断方法

    1、微专题微专题(三三) 抽象函数单调性的判断方法抽象函数单调性的判断方法 例 2021 西安模拟已知定义在 R 上的函数 f(x)满足: f(xy)f(x)f(y)1, 当 x0 时,f(x)1. (1)求 f(0)的值,并证明 f(x)在 R 上是单调增函数; (2)若 f(1)1,解关于 x 的不等式 f(x22x)f(1x)4. 解题视点:(1)对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义应该构造出 f(x2)f(x1)并与 0 比较大小 (2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点 要 构造出 f(M)x2, 则 x1x20,f(x1x2)1. 又 f(x1)f(

    2、x1x2)x2)f(x1x2)f(x2)1f(x2),所以,函数 f(x)在 R 上是单调增函数 (2)由 f(1)1,得 f(2)3,f(3)5. 由 f(x22x)f(1x)4 得 f(x2x1)f(3), 又函数 f(x)在 R 上是增函数,故 x2x13, 解之,得 x1, 故原不等式的解集为x|x1 答题模板:解函数不等式问题的一般步骤 第一步:确定函数 f(x)在给定区间上的单调性; 第二步:将函数不等式转化为 f(M)f(N)的形式; 第三步:运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”,转化成一般的不等式或不等 式组; 第四步:解不等式或不等式组确定解集; 第五步:反思回顾查看关键点,易错点及解题规范 答题启示:对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质 和相应的条件,对任意 x1,x2在所给区间内比较 f(x1)f(x2)与 0 的大小,或 f(x1),f(x2)同号时 比较fx1 fx2与 1 的大小有时根据需要,需作适当的变形:如 x1x2 x1 x2或 x1x2x1x2 等


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