2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（二十二） 新定义、新背景下的数列问题

1、微专题微专题(二十二二十二) 新定义新定义、新背景下的数列问题新背景下的数列问题 例 如果有穷数列 a1，a2，a3，am(m 为正整数)满足条件 a1am，a2am1， ama1，即 aiami1(i1,2，m)，我们称其为“对称数列”例如，数列 1,2,3,4,4,3,2,1 与数列 a，b，c，c，b，a 都是“对称数列” (1)设bn是 8 项的“对称数列”，其中 b1，b2，b3，b4是等差数列，且 b11，b513.依 次写出bn的每一项； (2)设cn是 2m1 项的“对称数列”，其中 cm1，cm2，c2m1是首项为 a，公比为 q 的等比数列，求cn的各项和 Sn. 解析：(

2、1)设数列bn的公差为 d，b4b13d13d. 又因为 b4b513，解得 d4， 所以数列bn为 1,5,9,13,13,9,5,1. (2)Snc1c2c2m1 2(cm1cm2c2m1)cm1 2a(1qq2qm)a 2a 1qm 1 1q a(q1) 而当 q1 时，Sn(2m1)a. Sn 2m1a q1 2a 1qm 1 1q a q1 . 名师点评 1本例是新定义型数列问题，在求等比数列cn前 n 项和时用到了分类讨论思想 2分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有： (1)已知 Sn与 an的关系，要分 n1，n2 两种情况； (2)项数的奇、偶数讨论； (3)等比数列的单调性的判断注意与 a1，q 的取值的讨论 变式练 若一个数列的第 m 项等于这个数列的前 m 项的乘积，则称该数列为“m 积数 列”，若正项等比数列an是一个“2 020 积数列”，且 a11，则当其前 n 项的积最大时 n 的 值为_ 微专题微专题(二十二二十二) 变式练 解析：由题意可知 a1a2a3 a2 020a2 020， 故 a1a2a3 a2 0191， 因为数列an是正项等比数列且 a11， 所以 a1 0101，公比 0q1 且 0a1 0081， 故数列an的前 n 项积最大时 n 的值为 1 009 或 1 010. 答案：1 009 或 1 010