1、第四节第四节 用样本估计总体用样本估计总体 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1频率分布直方图 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种一种是用样本的_估计总体的分 布另一种是用样本的_估计总体的数字特征 (2)在频率分布直方图中，纵轴表示_，数据落在各小组内的频率用各小长方形 的_表示各小长方形的面积总和_. (3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图随着 _的增加，作图时所分的_增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近 于一条光滑的曲线，统计中称之为_，它能够更加精细地反映出总体在各 个范围内取值的_. (4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的
2、效果较好，它不但可以保留所有信息，而且 可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便 2众数，中位数，平均数 (1)众数：在一组数据中，出现次数_的数据叫做这组数据的众数 (2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在_位置的一个数据(或最中间两 个数据的平均数)叫做这组数据的_. (3)平均数：样本数据的算术平均数即 x _.在频率分布直方图中，中位数 左边和右边的直方图的面积应该_. 3样本方差，标准差 标准差 s 1 nx1 x 2x 2 x 2x n x 2， 其中 xn是样本数据的第 n 项，n 是样本容量， x 是_.标准差是反映总体波动大 小的特征数，样本方差是标准差的平方通常用样
3、本方差估计总体方差，当样本容量 _总体容量时，样本方差越接近总体方差 二、必明 1 个易误点 不要把直方图错认为条形图，两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频 数或频率，直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率/组距，连续随机变量在某一点上是没 有频率的 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率( ) (2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为 1.( ) (3)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次( ) (4)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
4、( ) (5)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大( ) 二、教材改编 2四名同学各掷骰子 5 次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果， 可以判断出一定没有出现点数 6 的是( ) A平均数为 3，中位数为 2 B中位数为 3，众数为 2 C平均数为 2，方差为 2.4 D中位数为 3，方差为 2.8 3已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_ 三、易错易混 4把样本容量为 20 的数据分组，分组区间与频数如下：10,20)，2；20,30)，3；30,40)， 4；40,50)，5；50,60)，4；60,70，2，则在区间10,50)上
5、的数据的频率是( ) A0.05 B0.25 C0.5 D0.7 5 若数据 x1， x2， x3， ， xn的平均数 x 5， 方差 s22， 则数据 3x 11,3x21,3x31， ， 3xn1 的平均数和方差分别为_ 四、走进高考 62019 全国卷演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成 绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A中位数 B平均数 C方差 D极差 考点一 样本的数字特征自主练透型 12018 江苏卷 已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶
6、图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的 平均数为_ 22021 甘肃、青海、宁夏联考从某小学随机抽取 100 名学生，将他们的身高(单位：厘 米)分布情况汇总如下： 身高 (100,110 (110,120 (120,130 (130,140 (140,150 频数 5 35 30 20 10 由此表估计这 100 名小学生身高的中位数为(结果保留 4 位有效数字)( ) A119.3 B119.7 C123.3 D126.7 32021 惠州市调研考试试题某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了 100 个产品为 样本若样本数据 x1，x2，x100的方差为 8，则数据 2x11,2x21
7、，2x1001 的方差为 ( ) A8 B15 C16 D32 悟 技法 众数、中位数、平均数及方差的意义及计算公式 (1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述，平均数、中位数、众数 描述数据集中趋势，方差和标准差描述波动的大小 (2)平均数、方差的公式推广 若数据 x1，x2，xn的平均数为 x ，那么 mx1a，mx2a，mx3a，mxna 的 平均数是 m x a. 数据 x1，x2，xn的方差为 s2. ()数据 x1a，x2a，xna 的方差也为 s2； ()数据 ax1，ax2，axn的方差为 a2s2. (3)方差的简化计算公式 s21 n(x 2 1x 2
8、2x 2 n)n x 2或写成 s21 n(x 2 1x 2 2x 2 n) x 2，即方差等于原数据平方 的平均数减去平均数的平方. 考点二 茎叶图自主练透型 42021 广东广雅中学、江西南昌二中联考某市重点中学奥数培训班共有 14 人，分为 两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数 是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 mn 的值是( ) A10 B11 C12 D13 52021 陕西商洛质检在一次 53.5 千米的自行车个人赛中，25 名参赛选手成绩(单位： 分钟)的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为 125 号，再用系统抽样
9、的方法 从中选取 5 人，已知选手甲的成绩为 85 分钟，若甲被选取，则被选取的其余 4 名选手的成绩 的平均数为( ) A95 B96 C97 D98 悟 技法 茎叶图的应用 (1)茎叶图中的“茎”上的数字代表十位上的数字，“叶”上的数字代表个位上的数字(若没有 则表示该数据不存在)； (2)解题时，可把茎叶图中的数字按大小顺序转化为总体的个体数字再求解. 考点三 频率分布直方图互动讲练型 例 1 2020 天津卷从一批零件中抽取 80 个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分 为 9 组：5.31,5.33)，5.33，5.35)，5.45,5.47)，5.47,5.49，并整理得到如下
10、频率分布直 方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间5.43,5.47)内的个数为( ) A10 B18 C20 D36 悟 技法 1.绘制频率分布直方图时的 2 个注意点 (1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为 1 来检验该表是否正确 (2)频率分布直方图的纵坐标是频率 组距，而不是频率 2由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握的 2 个关系式 (1)频率 组距组距频率 (2) 频数 样本容量频率，此关系式的变形为 频数 频率样本容量，样本容量频率频数. 变式练(着眼于举一反三) 12021 长沙市统一模拟考试某学校对本校高三 500 名学生的视力进行了一次调查，随 机抽取了
11、100 名学生的体检表，得到的频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图后四组 的频数成等差数列，则估计本校高三这 500 名学生中视力在 4.8 以上(含 4.8)的人数为( ) A185 B180 C195 D200 考点四 扇形图与折线图互动讲练型 例 2 (1)2018 全国卷某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍， 实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农 村的经济收入构成比例，得到如下饼状图： 则下面结论中不正确的是( ) A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新
12、农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 (2)2021 山东济宁模拟如图为某市国庆节 7 天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小 明同学根据折线图对这 7 天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断，其中判断 正确的是( ) A日成交量的中位数是 26 B日成交量超过日平均成交量的有 2 天 C认购量与日期正相关 D10 月 7 日认购量的增幅大于 10 月 7 日成交量的增幅 悟 技法 (1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系 (2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的数据， 因此非常适用于显示在相等 时间间隔下数据的变化
13、趋势. 变式练(着眼于举一反三) 22021 开封市第一次模拟考试某省普通高中学业水平考试成绩由高分到低分按人数所 占比例依次分为 A，B，C，D，E 五个等级，A 等级 15%，B 等级 30%，C 等级 30%，D，E 等级共 25%.其中 E 等级为不合格，原则上比例不超过 5%.该省某校高二年级学生都参加学业 水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示若该校高 二年级共有 1 000 名学生，则估计该年级拿到 C 等级及以上级别的学生人数为( ) A45 B660 C880 D900 3某市气象部门根据 2018 年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(
14、单位：) 数据，绘制如下折线图： 那么，下列叙述不正确的是( ) A各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关 B全年中，2 月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大 C全年中各月最低气温平均值不高于 10 的月份有 5 个 D从 2018 年 7 月至 12 月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势 第四节第四节 用样本估计总体用样本估计总体 【知识重温】【知识重温】 频率分布 数字特征 频率 组距 面积 等于 1 样本容量 组数 总体密度曲线 百分比 最多 最中间 中位数 1 n(x1x2xn) 相等 平均数 接近 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3
15、) (4) (5) 2答案：C 3解析：5 个数的平均数 x 4.74.85.15.45.5 5 5.1，所以它们的方差 s21 5(4.7 5.1)2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1. 答案：0.1 4解析：由题意知，在区间10,50)上的数据的频数是 234514，故其频率为14 20 0.7. 答案：D 5 解 析 ： x1， x2， x3， ， xn的 平 均 数 为 5 ， x1x2x3xn n 5 ， 3x13x23x33xn n 135116，x1，x2，x3，xn的方差为 2，3x11,3x2 1,3x31，3xn1 的方差是 32
16、218. 答案：16,18 6解析：记 9 个原始评分分别为 a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)， 易知 e 为 7 个有效评分与 9 个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选 A. 答案：A 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：这 5 位裁判打出的分数分别是 89,89,90,91,91，因此这 5 位裁判打出的分数的平 均数为8989909191 5 90. 答案：90 2解析：本题考查中位数，体现了数学运算的核心素养由题意知身高在(100,110， (110,120，(120,130的频率依次为 0.05,0.35,0.3，前两组频率和为 0.4，
17、组距为 10，设中位数 为 x，则(x120)0.3 100.1，解得 x123.3.故选 C. 答案：C 3解析：样本数据 x1，x2，x100的方差为 8，则数据 2x11,2x21，2x1001 的 方差为 22832，故选 D. 答案：D 考点二 4解析：甲组学生成绩的平均数是 88， 由茎叶图可知 788684889590m92887，m3， 乙组学生成绩的中位数是 89，n9， mn12.故选 C. 答案：C 5解析：由系统抽样法及已知条件可知被选中的其他 4 人的成绩分别是 88,94,99,107， 故平均数为889499107 4 97，故选 C. 答案：C 考点三 例 1
18、解析：由题知5.43,5.45)与5.45,5.47)所对应的小矩形的高分别为 6.25,5.00，所以 5.43,5.47)的频率为(6.255.00)0.020.225，所以直径落在区间5.43,5.47)内的个数为 800.22518，故选 B. 答案：B 变式练 1解析：由题意得频率分布直方图前三组的频率依次为 0.03,0.07,0.27，所以前三组的频 数依次为 3,7,27，则后四组的频数和为 90，又后四组的频数成等差数列，所以后四组的频数 依次为 27,24,21,18，所以视力在 4.8 以上(含 4.8)的频率为 39%，故本校高三这 500 名学生中 视力在 4.8 以
19、上(含 4.8)的人数约为 50039%195.选 C. 答案：C 考点四 例 2 解析：(1)设新农村建设前，农村的经济收入为 a，则新农村建设后，农村的经济收 入为 2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表： 新农村 建设前 新农村 建设后 新农村建设 后变化情况 结论 种植收入 60%a 37%2a74%a 增加 A 错 其他收入 4%a 5%2a10%a 增加了一倍以上 B 对 养殖收入 30%a 30%2a60%a 增加了一倍 C 对 养殖收入 第三产 业收入 (30%6%)a 36%a (30%28%) 2a116%a 超过经济收 入 2a 的一半 D 对 故选 A. (2)7
20、天假期楼房的成交量从小到大依次为 8,13,16,26,32,38,166，所以日成交量的中位数为 26，所以 A 正确；日平均成交量为81316263238166 7 42.7，只有一天日成交量超 过日平均成交量，所以 B 错误；由折线图的起伏变化可知，认购量与日期不是正相关，所以 C 错误； 10 月 7 日认购量的增幅为276112 112 100%146.4%， 10 月 7 日成交量的增幅为16638 38 336.8%，显然 10 月 7 日认购量的增幅小于 10 月 7 日成交量的增幅，所以 D 错误，故选 A. 答案：(1)A (2)A 变式练 2解析：由题中两图可知 C 等级所占比例为 12 10 20%24%，所以 C 等级及以上级别所 占比例为 20%24%46%90%，所以 C 等级及以上级别的学生人数为 1 00090%900. 故选 D. 答案：D 3解析：对于 A，根据折线图可以发现除 2 月份外，各月最低气温平均值越高，最高气 温平均值也越高，总体呈正相关，A 正确；对于 B，通过折线图观察，2 月份的两个点距离最 大，B 正确；对于 C，各月最低气温平均值不高于 10 的有 1 月，2 月，3 月，11 月，12 月， 共有 5 个月，C 正确；对于 D，观察折线图可知，7 月份到 8 月份气温在上升，D 错误 答案：D
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