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    2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:10.1 随机事件的概率

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    2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:10.1 随机事件的概率

    1、第一节第一节 随机事件的概率随机事件的概率 【知识重温】【知识重温】 一、必记 4 个知识点 1随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下,_的事件,叫做相对于条件 S 的必然事件,简称必然事件 (2)在条件 S 下,_的事件,叫做相对于条件 S 的不可能事件,简称不可能 事件 (3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件,简称确定事件 (4)在条件 S 下,_的事件,叫做相对于条件 S 的随机事件, 简称随机事件 2频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出 现的次数 nA为事件 A 出现的频数, 称事件 A

    2、出现的比例_为事件 A 出现的频率 (2)对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的_fn(A)稳 定在某个_上,把这个_记作 P(A),称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率 3事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生, 这时称事件 B_事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) _(或 AB) 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当 A 发生或事件 B 发生,称此事件为事件 A 与事件 B 的 10 _(或和事件) AB(或 AB) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当_ 且_发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的

    3、交事件 AB(或 AB) 互斥事件 若 AB 为不可能事件,则事件 A 与事件 B 互斥 AB 对立事件 若 AB 为不可能事件,AB 为必然条件,那么称事件 A 与事件 B 互为对 立事件 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:_. (2)必然事件的概率 P(E)_. (3)不可能事件的概率 P(F)_. (4)互斥事件概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(AB)_. 若事件 B 与事件 A 互为对立事件,则 P(A)_. 二、必明 3 个易误点 1正确区别互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件的特殊情况,但互斥事件 不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要

    4、不充分条件 2从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不 相交,事件 A 的对立事件A 所含的结果组成的集合,是全集中由事件 A 所含的结果组成的集 合的补集 3需准确理解题意,特留心“至多”,“至少”,“不少于”等语句的含 义 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)事件发生的频率与概率是相同的( ) (2)随机事件和随机试验是一回事( ) (3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生( ) (5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件( ) (6

    5、)两互斥事件的概率和为 1.( ) 二、教材改编 2某人打靶时连续射击两次,下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是 ( ) A至多一次中靶 B两次都中靶 C只有一次中靶 D两次都没有中靶 3从不包含大小王牌的 52 张扑克牌中随机抽取一张,设事件 A“抽到红心”,事件 B “抽到方片”,P(A)P(B)1 4,则 P(“抽到红花色”)_,P(“抽到黑花色”) _. 三、易错易混 4甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏,则平局的概率为_;甲赢的概率为 _ 5从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A抽到一等品,事件 B抽到二等品, 事件 C抽到三等品,且已知 P(A)0.65,P(B)0

    6、.2,P(C)0.1,则事件“抽到的产品不 是一等品”的概率为_ 四、走进高考 62019 江苏卷从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务,则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是_ 考点一 随机事件关系的判断自主练透型 1把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学,每人一本,则事件 A:“甲分得语文书”,事件 B:“乙分得数学书”,事件 C:“丙分得英语书”,则下列说 法正确的是( ) AA 与 B 是不可能事件 BABC 是必然事件 CA 与 B 不是互斥事件 DB 与 C 既是互斥事件也是对立事件 2在 5 张电话卡中,有 3 张移动卡和

    7、2 张联通卡,从中任取 2 张,若事件“2 张全是移 动卡”的概率是 3 10,那么概率是 7 10的事件是( ) A至多有一张移动卡 B恰有一张移动卡 C都不是移动卡 D至少有一张移动卡 3甲:A1,A2是互斥事件;乙:A1,A2是对立事件,那么( ) A甲是乙的充分不必要条件 B甲是乙的必要不充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 悟 技法 互斥、对立事件的判别方法 (1)在一次试验中,不可能同时发生的两个事件为互斥事件 (2)两个互斥事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件. 考点二 随机事件的频率与概率互动讲练型 例 1 2020 全国卷甲、乙

    8、、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者 与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的 两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束 经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为1 2. (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率 悟 技法 计算简单随机事件频率或概率的解题思路 (1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数 (2)由频率公式得所求,由频率估计概率. 变式练(着眼于举一反三) 1某河流上的一

    9、座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六 月份的降雨量 X(单位:毫米)有关据统计,当 X70 时,Y460;X 每增加 10,Y 增加 5.已 知近20年X的值为 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成频率分布表 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 1 20 4 20 2 20 (2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同, 并将频率视为概率, 求今年六月

    10、份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时的概率 考点三 互斥事件与对立事件的概率 互动讲练型 例 2 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超 市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示 一次购 物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件 及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物

    11、的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率) 听课笔记: 悟 技法 (1)求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系,以及把所求事件用已知概率的事件表示出 来 (2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一 些彼此互斥的事件的概率再求和;二是间接法,先求该事件的对立事件的概率,再由 P(A)1 P(A )求解当题目涉及“至多”、“至少”时,多考虑间接法. 变式练(着眼于举一反三) 2有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙,已知从城市甲到 城市乙只有两条公路,据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的 200 辆汽车所用时 间的频数

    12、分布情况如下表所示, 所用时间(天数) 10 11 12 13 通过公路 1 的频数 20 40 20 20 通过公路 2 的频数 10 40 40 10 假设汽车 A 只能在约定日期(某月某日)的前 11 天出发, 汽车 B 只能在约定日期的前 12 天 出发(将频率视为概率),为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙, 汽车 A 和汽车 B 选择的 最佳路径分别为( ) A公路 1 和公路 2 B公路 2 和公路 1 C公路 2 和公路 2 D公路 1 和公路 1 第十章第十章 概率概率 第一节第一节 随机事件的概率随机事件的概率 【知识重温】【知识重温】 一定会发生 一定不会发生 可能发生

    13、也可能不发生 fn(A)nA n 频率 常数 常数 包含 BA 并事件 事件 A 发生 事件 B 0P(A)1 1 0 P(A)P(B) 1P(B) 【小题热身】【小题热身】 1答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2解析:连续射击两次的结果有四种:第一次中靶第二次中靶;第一次中靶第二次 没中靶;第一次没中靶第二次中靶;第一次没有中靶第二次没有中靶,事件“至少一次 中靶”包含,所以事件“至少一次中靶”的对立事件是 D. 答案:D 3解析:因为 A 与 B 不会同时发生,所以 A 与 B 是互斥事件,则 P(“抽到红花色”) P(A)P(B)1 4 1 4 1 2,又事件“抽到黑

    14、花色”与“抽到红花色”是对立事件,则 P(“抽到黑 花色”)1P(“抽到红花色”)11 2 1 2. 答案:1 2 1 2 4解析:设平局(用表示)为事件 A,甲赢(用表示)为事件 B,乙赢(用表示)为事件 C,容易得到如图平局含 3 个基本事件(图中的),P(A)3 9 1 3,甲赢含 3 个基本事件(图中 的),P(B)3 9 1 3. 答案:1 3 1 3 5解析:事件 A抽到一等品,且 P(A)0.65,事件“抽到的产品不是一等品” 的概率为 P1P(A)10.650.35. 答案:0.35 6解析:从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学共有 C2510 种选法,其中选出的

    15、 2 名同学都是男同学的选法有C233种, 则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率P1 3 10 7 10. 答案: 7 10 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析:“A,B,C”都是随机事件,可能发生,也可能不发生,故 A、B 两项错误; “A,B”可能同时发生,故“A”与“B”不互斥,C 项正确;“B”与“C”既不互斥,也不 对立,D 项错误,故选 C. 答案:C 2 解析: “至多有一张移动卡”包含“一张移动卡, 一张联通卡”, “两张全是联通卡” 两个事件,它是“2 张全是移动卡”的对立事件 答案:A 3解析:两个事件是对立事件,则它们一定互斥,反之不成立,故甲是乙的必要不充分

    16、条件 答案:B 考点二 例 1 解析:(1)甲连胜四场的概率为 1 16. (2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛 比赛四场结束,共有三种情况: 甲连胜四场的概率为 1 16; 乙连胜四场的概率为 1 16; 丙上场后连胜三场的概率为1 8. 所以需要进行第五场比赛的概率为 1 1 16 1 16 1 8 3 4. (3)丙最终获胜,有两种情况: 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为1 8; 比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有 三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为 1 16, 1 8, 1 8. 因此丙最终获胜的概率为1

    17、8 1 16 1 8 1 8 7 16. 变式练 1解析:(1)在所给数据中,降雨量为 110 毫米的有 3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫米的有 3 个故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 1 20 3 20 4 20 7 20 3 20 2 20 (2)由已知可得 YX 2425, 故 P(“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”)P(Y530)P(X210)P(X70)P(X110)P(X220) 1 20 3 20 2 20 3 10. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时

    18、或超过 530 万千瓦时的概率为 3 10. 考点三 例 2 解析:(1)由已知得 25y1055,x3045,所以 x15,y20.该超市所有顾 客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体 容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估 计值为1151.5302252.520310 100 1.9(分钟) (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”,A1,A2,A3分别表示事 件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾 客一次购物的结算时间为

    19、2 分钟”,将频率视为概率得 P(A1) 15 100 3 20,P(A2) 30 100 3 10,P(A3) 25 100 1 4, 因为 AA1A2A3,且 A1,A2,A3是互斥事件, 所以 P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3) 3 20 3 10 1 4 7 10. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 7 10. 变式练 2解析:通过公路 1 的频率为 0.2,0.4,0.2,0.2;通过公路 2 的频率为 0.1,0.4,0.4,0.1,设 A1, A2分别表示汽车 A 在约定日期前 11 天出发,选择公路 1,2 将货物运往城市乙B1,B2分别表 示汽车 B 在约定日期前 12 天出发选择公路 1,2 将货物运往城市乙,则 P(A1)0.20.40.6, P(A2)0.10.40.5,P(B1)0.20.40.20.8,P(B2)0.10.40.40.9,所以汽车 A 的 最佳路径为选择公路 1,汽车 B 的最佳路径为选择公路 2. 答案:A


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