1、第七节第七节 抛物线抛物线 【知识重温】【知识重温】 一、必记 2 个知识点 1抛物线定义、标准方程及几何性质 定义(几 何条件) 平面上， 到定直线与到该定直线外一定点的距离_的点的轨迹叫 做抛物线 标准方程 y22px (p0) _ _ _ _ _ _ 图形 对称轴 x 轴 _ y 轴 _ 顶点坐标 O(0,0) O(0,0) O(0,0) O(0,0) 焦点坐标 F(p 2，0) _ _ _ 离心率 e e1 e1 _ e1 准线方程 _ xp 2 yp 2 _ 焦半径 公式 |PF| x0p 2 |PF| x0p 2 |PF| _ |PF| _ 范围 x0 yR x0 yR _ xR
2、_ xR 2.抛物线焦点弦的几个常用结论 设 AB 是过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2p 2 4，y1y2p 2. (2)弦长|AB|x1x2p 2p sin2( 为弦 AB 的倾斜角) (3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切 (4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于 2p. 二、必明 2 个易误点 1抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点 的轨迹是过定点且与直线垂直的直线 2抛物线标准方程中参数 p 易忽视，只有 p0，才能证明其几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离，否则无几何意
3、义 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( ) (2)抛物线 y24x 的焦点到准线的距离是 4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( ) (4)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 a 4，0 ，准线 方程是 xa 4.( ) 二、教材改编 2过点 P(2,3)的抛物线的标准方程是( ) Ay29 2x 或 x 24 3y By29 2x 或 x 24 3y Cy29 2x 或 x 24 3y Dy29 2
4、x 或 x 24 3y 3抛物线 y28x 上到其焦点 F 距离为 5 的点 P 有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D4 个 三、易错易混 4已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程 是( ) Ay2 2 2x By2 2x Cy2 4x Dy2 4 2x 5设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直 线 l 的斜率的取值范围是_ 四、走进高考 62020 全国卷已知 A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p( ) A2
5、 B3 C6 D9 考点一 抛物线的定义和标准方程 自主练透型 1 2020 北京卷设抛物线的顶点为 O， 焦点为 F， 准线为 l， P 是抛物线上异于 O 的一点， 过 P 作 PQl 于 Q.则线段 FQ 的垂直平分线( ) A经过点 O B经过点 P C平行于直线 OP D垂直于直线 OP 22021 湖北鄂州调研过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作斜率为 3的直线，与抛物线在 第一象限内交于点 A，若|AF|4，则 p( ) A2 B1 C. 3 D4 32021 成都高三摸底考试已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0，2)，则此 抛物线的标准方程为_ 42021 郑州一中
6、高三摸底考试从抛物线 y1 4x 2上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|5.设抛物线的焦点为 F，则MPF 的面积为_ 悟悟 技法技法 应用抛物线定义的 2 个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化 (2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x，y)到焦点 F 的距离|PF|x|p 2或|PF|y| p 2. 考点二 抛物线的几何性质互动讲练型 例 1 (1)2021 合肥市第二次质量检测已知抛物线 y22px(p0)上一点 M 到焦点 F 的距 离等于 2p，则直线 MF 的斜率为( ) A 3 B 1 C 3 4 D 3 3 (2)2021 福州
7、市高三毕业班适应性练习卷抛物线 C：y22x 的焦点为 F，点 P 为 C 上的 动点，点 M 为 C 的准线上的动点，当FPM 为等边三角形时，其周长为( ) A. 2 B2 C3 2 D6 悟 技法 1.求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法， 因为未知数只有 p， 所以只需一个条件确定 p 值即可 (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量 2确定及应用抛物线性质的技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程 (2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解. 变式练(着眼于举一反三)
8、 12021 山西晋城一模已知 P 是抛物线 C：y22px(p0)上的一点，F 是抛物线 C 的焦 点，O 为坐标原点若|PF|2，PFO 3，则抛物线 C 的方程为( ) Ay26x By22x Cy2x Dy24x 22021 东北四市模拟若点 P 为抛物线 y2x2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF|的 最小值为_ 考点三 直线与抛物线的位置关系 互动讲练型 例 2 2019 全国卷已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为3 2的直线 l 与 C 的交点 为 A，B，与 x 轴的交点为 P. (1)若|AF|BF|4，求 l 的方程； (2)若AP 3PB，求|AB|. 悟
9、技法 解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法 1直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的 关系 2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可 直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式 3涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不 求”“整体代入”等解法 提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解. 变式练(着眼于举一反三) 3已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的 点，A 到抛物线准线的距离等于 5，过
10、A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M. (1)求抛物线的方程； (2)若过 M 作 MNFA，垂足为 N，求点 N 的坐标 第七节第七节 抛物线抛物线 【知识重温】【知识重温】 相等 y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) x 轴 y 轴 F(p 2，0) F(0， p 2) F(0， p 2) e1 xp 2 y p 2 y0 p 2 y0 p 2 y0 y0 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) 2解析：设抛物线的标准方程为 y2kx 或 x2my，代入点 P(2,3)，解得 k9 2，m 4 3.y 29 2x 或
11、x 24 3y. 答案：A 3解析：抛物线 y28x 的准线方程为 x2，则抛物线顶点到准线的距离为 2，因为抛 物线到焦点的距离和到准线的距离相等，则根据抛物线的对称性可知抛物线 y28x 上到其焦 点 F 距离为 5 的点有 2 个 答案：C 4 解析： 由已知可知双曲线的焦点为( 2， 0)， ( 2， 0) 设抛物线方程为 y2 2px(p0)， 则p 2 2，所以 p2 2，所以抛物线方程为 y 2 4 2x，故选 D. 答案：D 5解析：Q(2,0)，当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线 l 的方程为 yk(x 2)， 代入抛物线方程， 消去 y 整理得 k2x2(4k
12、28)x4k20， 由 (4k28)24k2 4k264(1 k2)0，解得1k1. 答案：1,1 6解析：设焦点为 F，点 A 的坐标为(x0，y0)， 由抛物线定义得|AF|x0p 2， 点 A 到 y 轴距离为 9，x09， 9p 212， p6.故选 C. 答案：C 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：解法一 不妨设抛物线的方程为 y22px(p0)，P(x0，y0)(x00)，则 Q p 2，y0 ， F p 2，0 ，直线 FQ 的斜率为 y0 p ，从而线段 FQ 的垂直平分线的斜率为 p y0，又线段 FQ 的中点 为 0，y0 2 ，所以线段 FQ 的垂直平分线的方程为
13、 yy0 2 p y0(x0)，即 2px2y0yy 2 00，将点 P 的横坐标代入，得 2px02y0yy200，又 2px0y20，所以 yy0，所以点 P 在线段 FQ 的垂 直平分线上，故选 B. 解法二 连接 PF，由题意及抛物线的定义可知|PQ|FP|，则QPF 为等腰三角形，故 线段 FQ 的垂直平分线经过点 P.故选 B. 答案：B 2解析：过点 A 作 AB 垂直 x 轴于点 B，则在 RtABF 中，AFB 3，|AF|4，|BF| 1 2|AF|2，则 xA2 p 2，|AF|xA p 22p4，得 p2，故选 A. 答案：A 3解析：依题意可设抛物线的方程为 x22p
14、y(p0)，因为焦点坐标为(0，2)，所以 p 22，解得 p4.故所求抛物线的标准方程为 x 28y. 答案：x28y 4解析：由题意，得 x24y，则抛物线的准线方程为 y1.从抛物线上一点 P 引抛物 线准线的垂线，设 P(x0，y0)，则由抛物线的定义知|PM|y01，所以 y04，所以|x0|4，所 以 SMPF1 2|PM|x0| 1 25410. 答案：10 考点二 例 1 解析：(1)设 M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|xMp 22p，解得 xM 3p 2 ，代入 抛物线方程可得 yM 3p，则直线 MF 的斜率为 yM xMp 2 3p p 3，选项 A 正确 (2
15、) 解法一 作出图形如图所示，因为FPM 为等边三角形，所以 PM 垂直 C 的准线于 M， 易知|PM|4|OF|，因为|OF|1 2，所以|PM|2，所以FPM 的周长为 326，故选 D. 解法二 因为FPM 为等边三角形，|PF|PM|，所以 PM 垂直 C 的准线于 M，设 P m2 2 ，m ，则 M 1 2，m ，所以|PM| 1 2 m2 2 ，又 F 1 2，0 ，且|PM|MF|，所以 1 2 m2 2 1 2 1 2 2m2，解得 m23，所以|PM|2，所以FPM 的周长为 326，故选 D. 答案：(1)A (2)D 变式练 1解析： 过点 P 作 PQ 垂直于 x
16、轴，垂足为 Q.PFO 3，|PF|2，|PQ| 3，|QF|1，不妨 令点 P 坐标为 p 21， 3 ，将点 P 的坐标代入 y 22px，得 32p p 21 ，解得 p3(负值舍 去)，故抛物线 C 的方程为 y26x.故选 A. 答案：A 2解析：由题意知 x21 2y，则 F 0，1 8 ， 设 P(x0,2x20)， 则|PF|x20 2x201 8 2 4x401 2x 2 0 1 642x 2 01 8， 所以当 x200 时，|PF|min1 8. 答案：1 8 考点三 例 2 解析：设直线 l：y3 2xt，A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)由题设得 F 3 4，
17、0 ，故|AF|BF|x1x2 3 2，由题设可得 x1x2 5 2. 由 y3 2xt， y23x 可得 9x212(t1)x4t20，则 x1x212t1 9 . 从而12t1 9 5 2，得 t 7 8. 所以 l 的方程为 y3 2x 7 8. (2)由AP 3PB可得 y 13y2. 由 y3 2xt， y23x 可得 y22y2t0. 所以 y1y22.从而3y2y22，故 y21，y13. 代入 C 的方程得 x13，x21 3.故|AB| 4 13 3 . 变式练 3解析：(1)抛物线 y22px 的准线为 xp 2， 于是 4p 25，所以 p2. 所以抛物线方程为 y24x. (2)因为点 A 的坐标是(4,4)， 由题意得 B(0,4)，M(0,2) 又因为 F(1,0)，所以 kFA4 3. 因为 MNFA，所以 kMN3 4. 又 FA 的方程为 y4 3(x1)， MN 的方程为 y23 4x， 联立，解得 x8 5，y 4 5， 所以点 N 的坐标为 8 5， 4 5 .
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