1、第五节第五节 椭圆椭圆 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1椭圆的定义 条件 结论 1 结论 2 平面内的动点 M 与平面内的两个定点 F1， F2 M 点的 轨迹为 椭圆 _为椭圆的焦点 |MF1|MF2|2a (2a|F1F2|) _为椭圆的焦距 2.椭圆的简单几何性质(a2b2c2) 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 性 质 范围 axa byb bxb aya 对称性 对称轴：_ 对称中心：_ 顶点 A1_，A2_ B1_，B2_ A1_，A2_ B1_，B2_ 性 质 轴 长轴 A1A2的长为_ 短轴 B1B2的长
2、为_ 焦距 |F1F2|_ 离心率 ec a_ a，b，c 的关系 _ 3.椭圆中的 4 个常用结论 (1)设椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上任意一点 P(x，y)，则当 x0 时，|OP|有最小值 b，这时，P 在短轴端点处；当 x a 时，|OP|有最大值 a，这时，P 在长轴端点处 (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中 a 是斜边长，a2b2 c2. (3)已知过焦点 F1的弦 AB，则ABF2的周长为 4a. (4)若 P 为椭圆上任一点，F 为其焦点，则 ac|PF|ac. 二、必明 3 个易误点 1 椭圆的定义中易忽视 2a|F1F2|这一条件，
3、 当 2a|F1F2|其轨迹为线段 F1F2， 当 2ab0) 3注意椭圆的范围，在设椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上点的坐标为 P(x，y)时，则|x|a，这往 往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆( ) (2)椭圆上一点 P与两焦点F1， F2构成PF1F2的周长为 2a2c(其中 a为椭圆的长半轴长， c 为椭圆的半焦距)( ) (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆( ) (
4、4)方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆( ) (5)y 2 a2 x2 b21(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆( ) (6)x 2 a2 y2 b21(ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相等( ) 二、教材改编 2已知椭圆 x2 m2 y2 10m1 的焦点在 x 轴上，焦距为 4，则 m 等于( ) A8 B7 C6 D5 3过点 A(3，2)且与椭圆x 2 9 y2 41 有相同焦点的椭圆的方程为( ) A.x 2 15 y2 101 B. x2 25 y2 201 C.x 2 10 y2 151 D. x2 20 y2 151 三、易错易混 4若
5、方程 x2 5m y2 m31 表示椭圆，则 m 的取值范围是( ) A(3,5) B(5,3) C(3,1)(1,5) D(5,1)(1,3) 5已知椭圆x 2 5 y2 m1(m0)的离心率 e 10 5 ，则 m 的值为_ 四、走进高考 62019 全国卷已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为( ) A.x 2 2y 21 B.x 2 3 y2 21 C.x 2 4 y2 31 D. x2 5 y2 41 考点一 椭圆的定义及其标准方程 自主练透型 1 2021 安徽省示
6、范高中名校高三联考已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)， F1， F2为其左、 右焦点，|F1F2|2 2，B 为短轴的一个端点，三角形 BF1O(O 为坐标原点)的面积为 7，则椭 圆的长轴长为( ) A4 B8 C.1 33 2 D1 33 2 2021 大同市高三学情调研测试试题在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C 的中点为原点， 焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率为 2 2 ，过 F1的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16，那么 C 的方程为( ) A.x 2 36 y2 181 B. x2 16 y2 101 C.x 2 4 y2 21 D
7、. x2 16 y2 81 3 2021 深圳市普通高中高三年级统一考试已知动点 M 在以 F1， F2为焦点的椭圆 x2y 2 4 1 上，动点 N 在以 M 为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为( ) A2 B4 C8 D16 悟 技法 求椭圆标准方程的 2 种常用方法 定义法 根据椭圆的定义，确定 a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程 待定系 数法 若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a，b； 若焦点位置不明确，则需要分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况讨论，也可 设椭圆的方程为 Ax2By21(A0，B0，AB) 考点二 椭圆的几何性质分
8、层深化型 考向一：求离心率的值 例 1 2021 长沙市高三年级统一模拟考试设椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点 分别为 F1，F2，点 E(0，t)(0tb)，已知动点 P 在椭圆上，且点 P，E，F2不共线，若PEF2 的周长的最小值为 3b，则椭圆 C 的离心率为( ) A. 3 2 B. 2 2 C.1 2 D. 5 3 考向二：求离心率的范围 例 2 已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1(c,0)、F2(c,0)，P 是椭圆上一 点，|PF2|F1F2|2c，若PF2F1 3， ，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A. 0，1
9、 2 B. 0，1 3 C. 1 2，1 D. 1 3， 1 2 悟 技法 求椭圆离心率的三种方法 (1)直接求出 a，c 来求解 e.通过已知条件列方程组，解出 a，c 的值 (2)构造 a，c 的齐次式，解出 e.由已知条件得出关于 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于 离心率 e 的一元二次方程求解 (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率 提醒： 在解关于离心率 e 的二次方程时， 要注意利用椭圆的离心率 e(0,1)进行根的取舍， 否则将产生增根. 考向三：最值(或范围)问题 例 3 已知椭圆x 2 4 y2 b21(0b2)的左、 右焦点分别为 F1、 F2， 过 F1 的直线
10、l 交椭圆于 A， B 两点，若|BF2|AF2|的最大值为 5，则 b 的值是_ 悟 技法 求解最值、取值范围问题的技巧 (1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一 个图形 (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb,0eb0)的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点 为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，若 F2BAP，则该椭 圆的离心率是( ) A. 3 3 B. 2 3 C. 3 2 D. 2 2 拓展练(着眼于迁移应用) 42021 湖南长沙一中月考已知椭圆x 2 a2 y2 b
11、21(abc0)的左、右焦点分别为 F1，F2， 若以 F2为圆心，bc 为半径作圆 F2，过椭圆上一点 P 作此圆的一条切线，切点为 T，且|PT| 的最小值不小于 3 2 (ac)，则椭圆的离心率 e 的取值范围是_ 考点三 直线与椭圆的位置关系互动讲练型 例 4 2020 全国卷已知椭圆 C：x 2 25 y2 m21(0m0 时，直线与椭圆相交；当 0 时，直线与椭圆相切；当 0)，把点 A(3，2)代入得 9 5 4 1，解得 10 或 2(舍去)，故所求椭圆的方程为 x2 15 y2 101. 答案：A 4解析：由方程表示椭圆知 5m0， m30， 5mm3， 解得3m0)，则|A
12、F2|2x，|AB|3x，|BF1|3x，|AF1|4a(|AB|BF1|) 4a6x， 由椭圆的定义知|BF1|BF2|2a4x， 所以|AF1|2x.在BF1F2中， 由余弦定理得|BF1|2 |F2B|2|F1F2|22|F2B| |F1F2|cosBF2F1， 即 9x2x2224xcosBF2F1 ， 在AF1F2中， 由余弦定理得|AF1|2|AF2|2|F1F2|22|AF2| |F1F2|cosAF2F1，即 4x24x2228xcosAF2F1 ，由得 x 3 2 ，所以 2a4x2 3，a 3，b2a2c22.故椭圆的方程为x 2 3 y2 21. 故选 B. 答案：B 课
13、堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：由题意可知 c 2，SBF1O1 2bc 2 2 b 7，b 14，所以 a b2c24， 所以长轴长为 2a8，故选 B. 答案：B 2解析：设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，由 e 2c 2 a21 b2 a2 1 2，得 a 22b2，根据椭 圆的定义可知ABF2的周长为 4a，所以 4a16，即 a4，a216，b28，则椭圆的标准方 程为x 2 16 y2 81. 答案：D 3解析：由 x2y 2 41 可知 a2，b1，c 3，不妨令 F1(0， 3)，F2(0， 3)，则|MF2| |MN|NF2|，而|MF1|MN|，所
14、以当 N，M，F2三点共线时(M 在线段 NF2上)，|NF2|取得最 大值，此时|NF2|NM|MF2|MF1|MF2|2a4，选 B. 答案：B 考点二 例 1 解析： 如图， 连接 PF1， EF1， 则|EF1|EF2|.由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a， |PF2| 2a|PF1|.PEF2的周长为|PE|PF2|EF2|PE|2a|PF1|EF2|2a|EF2|PE| |PF1|2a|EF2|EF1|2a3b， 椭圆 C 的离心率 ec a 1 b a 2 14 9 5 3 ，故选 D. 答案：D 例 2 解析 ：根据题意 有 |PF1| 2a 2c， |PF2| |F1F2|
15、 2c ，则 cosPF2F1 4c24c22a2c2 24c2 c 2a22ac 2c2 1 2 2aca2 2c2 1 2 1 e 1 2 1 e 2，因为PF 2F1 3， ，所以 cosPF2F1 1，1 2 ，所以11 2 1 e 1 2 1 e 20.所以 32 e 1 e 20 1 e 1 2 1 e 20 1 e 22 e30 1 e3 1 e1 0 21 e3 1 3e0， 10m0， m210m， 解得 6mc)， |PF2|的最小值为 ac， 所以|PT| 的最小值为 ac2bc2.依题意， 有 ac2bc2 3 2 (ac)， 所以(ac)24(bc)2， 所以 ac2
16、(bc)，所以 ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以 5c22ac3a20，所以 5e22e30 .又 bc，所以 b2c2，所以 a2c2c2，所以 2e21 .由，得3 5e 2 2 . 答案： 3 5， 2 2 考点三 例 4 解析：(1)由题设可得 25m2 5 15 4 ，得 m225 16，所以 C 的方程为 x2 25 y2 25 16 1. (2)设 P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设 yQ0，由题意知 yP0. 由已知可得 B(5,0)，直线 BP 的方程为 y 1 yQ(x5)， 所以|BP|yP1y2Q，|BQ|1y2Q. 因为|BP|BQ|， 所以
17、 yP1，将 yP1 代入 C 的方程，解得 xP3 或3. 由直线 BP 的方程得 yQ2 或 8. 所以点 P，Q 的坐标分别为 P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(3,1)，Q2(6,8) |P1Q1| 10， 直线 P1Q1的方程为 y1 3x， 点 A(5,0)到直线 P1Q1的距离为 10 2 ， 故AP1Q1 的面积为1 2 10 2 105 2. |P2Q2| 130， 直线 P2Q2的方程为 y7 9x 10 3 ， 点 A 到直线 P2Q2的距离为 130 26 ， 故AP2Q2 的面积为1 2 130 26 1305 2. 综上，APQ 的面积为5 2. 变式练 5解析
18、：(1)设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 因为 c1，c a 1 2，所以 a2，b 3， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31. (2)由题意得直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx1， 则由 ykx1， x2 4 y2 31 得(34k2)x28kx80，且 0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AM 2MB 得 x12x2. 又 x1x2 8k 34k2， x1 x2 8 34k2， 所以 x2 8k 34k2 2x22 8 34k2 ， 消去 x2，得 8k 34k2 2 4 34k2.解得 k 21 4，k 1 2. 所以直线 l 的方程为 y 1 2x1，即 x2y20 或 x2y20.
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