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    2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:9.3 圆的方程

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    2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:9.3 圆的方程

    1、第三节第三节 圆的方程圆的方程 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1圆的标准方程 (xa)2(yb)2r2,方程表示圆心为_,半径为_的圆 2圆的一般方程 对于方程 x2y2DxEyF0 (1)当 D2E24F0 时,表示圆心为_,半径为_ 的圆; (2)当 D2E24F0 时,表示一个点_; (3)当 D2E24F0 时,它不表示任何图形 3点与圆的位置关系 圆的标准方程(xa)2(yb)2r2,圆心 A(a,b),半径 r,若点 M(x0,y0)在圆上,则(x0 a)2(y0b)2_; 若点 M(x0,y0)在圆外,则(x0a)2(y0b)2_; 若点 M(x0,y0)在圆

    2、内,则(x0a)2(y0b)2_. 二、必明 1 个易误点 对于方程 x2y2DxEyF0 表示圆时易忽视 D2E24F0 这一成立条件 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径( ) (2)方程 x2y2a2表示半径为 a 的圆( ) (3)方程 x2y24mx2y5m0 表示圆( ) 二、教材改编 2过点 A(1,1),B(1,1),且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是( ) A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24 C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24 3ABC 的三个顶点分别为

    3、 A(1,5),B(2,2),C(5,5),则其外接圆的方程为 _ 三、易错易混 4若方程 x2y2mx2y30 表示圆,则 m 的取值范围是( ) A(, 2)( 2,) B(,2 2)(2 2,) C(, 3)( 3,) D(,2 3)(2 3,) 5若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部,则实数 a 的取值范围是( ) A1a1 B0a1 或 a0,解得 m2 2. 答案:B 5解析:因为点(1,1)在圆内,所以(1a)2(1a)24,即1a1,故选 A. 答案:A 6解析:由题意可知,圆心为(1,4),所以圆心到直线的距离 d|a41| a212 1,解得 a 4 3,故选

    4、A. 答案:A 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析:因为点 C 与点(2,0)关于点(1,0)对称,故由中点坐标公式可得 C(0,0),所以所求 圆的标准方程为 x2y21. 答案:A 2解析:因为圆 C 经过(1,0),(3,0)两点,所以圆心在直线 x2 上,又圆与 y 轴相切,所 以半径 r2,设圆心坐标为(2,b),则(21)2b24,b23,b 3,选 D. 答案:D 3解析:由题意设圆心坐标为(a,a),则有|aa| 2 |aa4| 2 ,即|a|a2|, 解得 a1.故圆心坐标为(1,1),半径 r 2 2 2,所以圆 C 的标准方程为(x1) 2(y1)2 2.故选 B.

    5、 答案:B 考点二 例 1 解析:原方程可化为(x2)2y23,表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆.y x的几何意 义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设y xk,即 ykx. 当直线ykx与圆相切时(如图), 斜率k取最大值和最小值, 此时|2k0| k21 3, 解得k 3. 所以y x的最大值为 3,最小值为 3. 答案: 3 3 例 2 解析:(1)由已知可得线段 AB 是圆 x2y21 的直径,且|AB|2,APB90 . |PA|2|PB|2|AB|24, 由基本不等式可得 |PA|PB| 2 2|PA| 2|PB|2 2 2,当且仅当|PA|PB|时取等号,|PA| |PB|2

    6、 2. 即|PA|PB|的最大值是 2 2. (2)由题意知 PA (2x,y),PB(2x,y), 所以 PA PBx2y24. 由于点 P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程 x2(y3)21,故 x2(y3)21, 所以 PA PB(y3)21y246y12. 由圆的方程 x2(y3)21 知 2y4, 所以当 y4 时,PA PB的值最大,最大值为 12. 答案:(1)B (2)12 变式练 1解析: x2y22y0 可化为 x2(y1)21,则圆 C 为以(0,1)为圆心,1 为半径的圆如图,过 圆心 C 向直线 AB 作垂线交圆于点 P,连接 BP,AP,这时ABP 的面积最小,

    7、直线 AB 的方 程为x 4 y 31,即 3x4y120,圆心 C 到直线 AB 的距离 d 16 5 ,又|AB| 32425, 所以ABP 的面积的最小值为1 25 16 5 1 11 2 . 答案:B 2解析:由题意,得y1 x 表示过点 A(0,1)和圆(x2)2(y1)21 上的动点(x,y)的 直线的斜率当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值和最小值设切线方程 为 ykx1,即 kxy10,则|2k2| k211,解得 k 4 7 3 ,所以 zmax4 7 3 ,zmin4 7 3 . 答案:4 7 3 4 7 3 考点三 例 3 解析:(1)设 AP 的中点为 M(

    8、x,y), 由中点坐标公式可知, P 点坐标为(2x2,2y) 因为 P 点在圆 x2y24 上, 所以(2x2)2(2y)24. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21. (2)设 PQ 的中点为 N(x,y), 在 RtPBQ 中,|PN|BN|, 设 O 为坐标原点,连接 ON(图略),则 ONPQ, 所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2, 所以 x2y2(x1)2(y1)24. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10. 变式练 3解析:(1)设顶点 C(x,y),因为 ACBC,且 A,B,C 三点不共线,所以 x3 且 x 1. 又 kAC y x

    9、1,kBC y x3,且 kAC kBC1, 所以 y x1 y x31,化简得 x 2y22x30. 因此,直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(x3 且 x1) (2)设点 M(x,y),点 C(x0,y0),因为 B(3,0),M 是线段 BC 的中点,由中点坐标公式得 x x03 2 (x3 且 x1),yy00 2 ,于是有 x02x3,y02y. 由(1)知,点 C 在圆(x1)2y24(x3 且 x1)上运动, 将 x0,y0代入该方程得(2x4)2(2y)24, 即(x2)2y21. 因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(x3 且 x1) 悟悟 技法技法 变式练(着眼于举一反三) 3已知直角三角形 ABC 的斜边为 AB,且 A(1,0),B(3,0),求: (1)直角顶点 C 的轨迹方程; (2)直角边 BC 中点 M 的轨迹方程


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