1、第二节第二节 两条直线的位置关系与距离公式两条直线的位置关系与距离公式 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1平行与垂直 若直线 l1和 l2有斜截式方程 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则： (1)直线 l1l2的充要条件是_. (2)直线 l1l2的充要条件是_. 若 l1和 l2都没有斜率，则 l1与 l2平行或重合 若 l1和 l2中有一条没有斜率而另一条斜率为 0，则 l1l2. 2两直线相交 (1)交点：直线 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组 A1xB1yC10， A2xB2yC20 的解一一对应 (2)相交方程组
2、有_，交点坐标就是方程组的解 (3)平行方程组_. (4)重合方程组有_. 3三种距离 (1)两点间的距离 平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2| _. 特别地，原点(0,0)与任意一点 P(x，y)的距离|OP|_. (2)点到直线的距离 点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d_. (3)两条平行线的距离 两条平行线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离 d_. 二、必明 2 个易误点 1在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进 行判断，若无斜率，要单独考虑 2运用两平行直线间的距离公式时易忽
3、视两方程中的 x， y 的系数分别相等这一条件盲目 套用公式导致出错 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.( ) (2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交( ) (4)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为|kx0b| 1k2.( ) (5)两平行直线 2xy10,4x2y10 间的距离是 0.( ) 二、教材改编 2若直线 mx3y20 与直线(2m)x3y50 互相平行，则实数
4、 m 的值为( ) A2 B1 C1 D0 3若三条直线 y2x，xy3，mx2y50 相交于同一点，则 m 的值为_ 三、易错易混 4直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则 m 等于( ) A2 B3 C2 或3 D2 或3 5已知点 A(3,2)和 B(1,4)到直线 axy10 的距离相等，则 a 的值为_ 6过两直线 l1：x3y40 和 l2：2xy50 的交点和原点的直线方程为_ 考点一 两条直线的平行与垂直自主练透型 1已知两条直线 l1：(a1)x2y10，l2：xay30 平行，则 a 的值为_ 2“m3”是“直线 l1：2(m1)x(m3)y75m0 与直
5、线 l2：(m3)x2y50 垂直”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 32021 山东平度一中月考若直线 l1：axy10 与直线 l2：2x2y10 的倾斜角 相等，则实数 a( ) A1 B1 C2 D2 42021 安徽六安一中模拟直线 ax4y20 与直线 2x5yb0 垂直，垂足为(1， c)，则 abc( ) A2 B4 C6 D8 悟 技法 由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1xB1yC10(A21B210) l2：A2xB2yC20(A22B220) l1与 l2垂直 的充要条件 A1A2B1B20 l1与 l2
6、平行 的充分条件 A1 A2 B1 B2 C1 C2(A2B2C20) l1与 l2相交 的充分条件 A1 A2 B1 B2(A2B20) l1与 l2重合 的充分条件 A1 A2 B1 B2 C1 C2(A2B2C20) 考点二 距离公式及其应用互动讲练型 例 1 (1)若点 P 在直线 3xy50 上，且 P 到直线 xy10 的距离为 2，则点 P 的坐标为( ) A(1,2) B(2,1) C(1,2)或(2，1) D(2,1)或(1,2) (2)已知直线 l1：mx8yn0 与 l2：2xmy10 互相平行，且 l1，l2之间的距离为 5， 求直线 l1的方程 悟悟 技法技法 处理距
7、离问题的 3 种方法 (1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求，注意直线方程为一般式 (2)动点到两定点的距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定 点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便 (3)两平行直线间的距离 利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 利用两平行线间的距离公式 提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使 x，y 的系 数分别相等. 变式练(着眼于举一反三) 1若直线 l 经过点(1，2)，且原点到直线 l 的距离为 1，则直线 l 的方程为( ) A3x4y50 Bx1
8、C3x4y50 或 y1 D3x4y50 或 x1 2若 P，Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点，则|PQ|的最小值为 ( ) A.9 5 B. 18 5 C.29 10 D. 29 5 考点三 对称问题分层深化型 考向一：点关于点对称 例 2 过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段 被点 P 平分，则直线 l 的方程为_ 考向二：点关于线对称 例 3 已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)，则点 A 关于直线 l 的对称点 A的 坐标为_ 考向三：线关于线对称 例 4 直线 2xy30 关于直线 xy20
9、 对称的直线方程是( ) Ax2y30 Bx2y30 Cx2y10 Dx2y10 悟 技法 1.中心对称问题的 2 个类型及求解方法 (1)点关于点对称： 若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 x2ax1，y2by1， 进而求解 (2)直线关于点的对称，主要求解方法是： 在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点 式求出直线方程； 求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 2轴对称问题的 2 个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称： 若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线
10、l：AxByC0 对称，由方程组 可得到点 P1关于 l 对称的点 P2的坐标(x2，y2)(其中 B0，x1x2) (2)直线关于直线的对称： 一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是 已知直线与对称轴平行. 变式练(着眼于举一反三) 3与直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程为_ 4已知点 A(1,3)关于直线 ykxb 对称的点是 B(2,1)，则直线 ykxb 在 x 轴上的截 距是_ 第二节第二节 两条直线的位置关系与距离公式两条直线的位置关系与距离公式 【知识重温】【知识重温】 k1k2且 b1b2 k1 k21 唯一解 无解 无数个解
11、x1x22y1y22 x2y2 |Ax0By0C| A2B2 |C1C2| A2B2 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2解析：由题意知 m2m，解得 m1.此时两直线不重合，m1.故选 C. 答案：C 3解析：由 y2x， xy3， 得 x1， y2. 所以点(1,2)满足方程 mx2y50，即 m12250，所以 m9. 答案：9 4解析：直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则有2 m m1 3 4 2，故 m2 或3，故选 C. 答案：C 5解析：由点到直线的距离公式可知|3a21| a21 |a41| a21 .解得 a4 或1
12、 2. 答案：4 或1 2 6解析：过两直线交点的直线系方程为 x3y4(2xy5)0，代入原点坐标，求 得 4 5，故所求直线方程为 x3y4 4 5(2xy5)0，即 3x19y0. 答案：3x19y0 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：解法一 直线 l1：(a1)x2y10 的斜率存在 又l1l2，a1 2 1 a， a1 或 a2，又两条直线在 y 轴上的截距不相等 a1 或 a2 满足两条直线平行 解法二 由 A1B2A2B10 得，(a1)a120， 解得 a1 或 a2. 满足 A1C2A2C10，即(a1)3110. 所以 a1 或 a2. 答案：1 或 2 2解析：由
13、 l1l2得 2(m1)(m3)2(m3)0，解得 m3 或 m2.m3 是 l1l2 的充分不必要条件故选 A. 答案：A 3解析：由题意可得两直线平行，2a(1)20，a1.故选 B. 答案：B 4解析：由题意可得，a 4 2 5 1，a4c20，25cb0，解得 a10， c2，b12.abc4.故选 B. 答案：B 考点二 例 1 解析： (1)设 P(x,53x)， 则 d|x53x1| 1212 2， 化简得|4x6|2， 即 4x6 2， 即 x1 或 x2，故 P(1,2)或(2，1)故选 C. (2)l1l2，m 2 8 m n 1， m4， n2 或 m4， n2. 当 m
14、4 时，直线 l1的方程为 4x8yn0， 把 l2的方程写成 4x8y20， |n2| 1664 5，解得 n22 或 n18. 故所求直线的方程为 2x4y110 或 2x4y90. 当 m4 时，直线 l1的方程为 4x8yn0， 把 l2的方程写成 4x8y20 |n2| 1664 5，解得 n18 或 n22. 故所求直线的方程为 2x4y90 或 2x4y110. 答案：(1)C (2)2x4y90 或 2x4y110 或 2x4y110 或 2x4y90 变式练 1解析：当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x1，满足原点到直线 l 的距离为 1， x1.当直线 l 的斜率存在
15、时，设直线方程为 y2k(x1)，即 kxyk20，由原点 到直线 l 的距离为 1， |k2| k211，解得 k 3 4.从而得直线 l 的方程为 y2 3 4(x1)，即 3x 4y50.综上可得，直线 l 的方程为 x1 或 3x4y50. 答案：D 2解析：易知直线 3x4y120 与 6x8y50 平行，所以|PQ|的最小值就是这两条 平行线间的距离.6x8y50可化为3x4y5 20， 则这两条平行线间的距离是 125 2 3242 29 10. 答案：C 考点三 例 2 解析：设 l1与 l 的交点为 A(a,82a)， 则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(a,2a6
16、)在 l2上，把 B 点坐标代入 l2的方程得 a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上， 所以由两点式得直线 l 的方程为 x4y40. 答案：x4y40 例 3 解析：设 A(x，y)， 由已知得 y2 x1 2 31， 2x1 2 3y2 2 10， 解得 x33 13， y 4 13. 故 A 33 13， 4 13 . 答案：A 33 13， 4 13 例 4 解析：设所求直线上任意一点 P(x，y)，则 P 关于 xy20 的对称点为 P(x0， y0)， 由 xx0 2 yy0 2 20， xx0yy0， 得 x0y2， y0 x2， 由点 P(x0，y0)在直线 2xy30 上， 2(y2)(x2)30， 即 x2y30.故选 A. 答案：A 变式练 3解析：设 A(x，y)为所求直线上的任意一点， 则 A(x，y)在直线 3x4y50 上， 即 3x4(y)50，故所求直线方程为 3x4y50. 答案：3x4y50 4解析：由题意得线段 AB 的中点 1 2，2 在直线 ykxb 上，故 2 3 k1， 1 2kb2， 解 得 k3 2，b 5 4，所以直线方程为 y 3 2x 5 4.令 y0，即 3 2x 5 40，解得 x 5 6， 故直线 ykxb 在 x 轴上的截距为5 6. 答案：5 6
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