1、第五节第五节 直线直线、平面垂直的判定和性质平面垂直的判定和性质 【知识重温】【知识重温】 一、必记 6 个知识点 1直线与平面垂直 (1)定义： 直线 l 与平面 内的_一条直线都垂直， 就说直线 l 与平面 互相垂直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此 平面垂直 l 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 ab 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_叫做这条直线和这个平 面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面 内，则它
2、们所成的角是 0 的角 (2)范围： 0， 2 . 3平面与平面垂直 (1)二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角 (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作 _的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 4平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直 5平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个 平面垂直 性质定理 两个平面垂直，则一 个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面 垂直 l 6.垂直关系中的两个重要结论 (1)若两平行线
3、中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的 一个重要方法) 二、必明 3 个易误点 1证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件 2面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视 3面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)l 与平面 内的两条直线垂直，则直线 l平面 .( ) (2)直线 l 不可能和两个相交平面都垂直( ) (3)当 时，直线 l 过 内一点且与交线垂
4、直，则 l.( ) (4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面( ) 二、教材改编 2下列命题不正确的是( ) A过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 B过平面外一点，有无数条直线与这个平面平行 C过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直 D过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 3已知直线 a，b 与平面 ，能使 的充分条件是( ) A， Ba，ba，b Ca，a Da，a 三、易错易混 4若 l，m 为两条不同的直线， 为平面，且 l，则“m”是“ml”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知直线
5、a 和平面 ，若 ，a，则 a 与 的位置关系为_ 四、走进高考 62019 北京卷已知 l，m 是平面 外的两条不同直线给出下列三个论断： lm；m；l. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： _.(答案不唯一) 考点一 直线与平面垂直的判断与性质 互动讲练型 例 1 2021 河南省豫北名校高三质量考评如图，在多面体 EFABCD 中，四边形 ABCD 为正方 形，四边形 ACEF 为矩形，平面 ACEF平面 ABCD，且 ABAF1. (1)求证：BE平面 CDF； (2)求点 E 到平面 CDF 的距离 悟 技法 判定线面垂直的四种方法 (1)利用线面
6、垂直的判定定理 (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直” (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直” (4)利用面面垂直的性质定理. 变式练(着眼于举一反三) 12021 南昌市高三年级摸底测试卷如图，已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC， ABACAA12，E 是 BC 的中点，F 是 A1E 上一点，且 A1F2FE. (1)证明：AF平面 A1BC； (2)求三棱锥 C1A1FC 的体积 考点二 平面与平面垂直的判定与性质 互动讲练型 例 2 2020 全国卷如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的 内接正三角
7、形，P 为 DO 上一点，APC90 . (1)证明：平面 PAB平面 PAC； (2)设 DO 2，圆锥的侧面积为 3，求三棱锥 PABC 的体积 悟 技法 面面垂直的证明方法 (1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直 问题转化为证明平面角为直角的问题 (2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把 问题转化成证明线线垂直加以解决 提醒 两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面这是把面面 垂直转化为线面垂直的依据运用时要注意“平面内的直线”. 变式练(着眼于举一反三) 22021 石家庄市重点
8、高中高三毕业班摸底考试如图， 四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ACD 是边长为 2 的等边三角形，且 ABBC 2，PA2. (1)求证：平面 PAC平面 PBD； (2)若点 M 是棱 PC 的中点，求直线 PD 与 BM 所成角的余弦值 考点三 平面图形翻折成空间图形 互动讲练型 例 3 2019 全国卷图 1 是由矩形 ADEB，Rt ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图 形，其中 AB1，BEBF2，FBC60 .将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2. (1)证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE
9、； (2)求图 2 中的四边形 ACGD 的面积 悟 技法 对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质 可能会发生变化解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量 的度量值，这是解决翻折问题的主要方法. 变式练(着眼于举一反三) 32021 “超级全能生”联考如图，四边形 ABCD 为等腰梯形，AB2，ADDCCB 1，将ADC 沿 AC 折起，使得平面 ADC平面 ABC，E 为 AB 的中点，连接 DE，DB. (1)求证：BCAD； (2)求点 E 到平面 BCD 的距离 第五节第五节 直线直线、平面垂直的判定和性质平面垂直的判定和性
10、质 【知识重温】【知识重温】 任意 abO a b 锐角 两个半平面 垂直于棱 直二面 角 l l a 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) 2答案：D 3解析：对 A， 与 可能平行；对 B，当 与 相交但不垂直时，也会有 ba，b； 对 C， 与 可能平行，也可能相交，故 A，B，C 均错误故选 D. 答案：D 4解析：由 l 且 m 能推出 ml，充分性成立；若 l 且 ml，则 m 或者 m ，必要性不成立，因此“m”是“ml”的充分不必要条件，故选 A. 答案：A 5解析：当 a 且 a 垂直于 、 的交线时，满足已知 答案：a 或 a 6解析：把其中两个
11、论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种情况对三种 情况逐一验证作为条件，作为结论时，还可能 l 或 l 与 斜交；作为条件， 作为结论和作为条件，作为结论时，容易证明命题成立 答案：或 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 例 1 解析：(1)证明：如图，分别取 AD，BC，BE，DF 的中点 P，Q，M，N，连接 AN， PN，PQ，QM，MN，则 QMCE，PNAF，QM1 2CE，PN 1 2AF. 在矩形 ACEF 中，AF 綊 CE， QM 綊 PN， 四边形 PQMN 为平行四边形， PQ 綊 MN. 易知 PQ 綊 AB，AB 綊 MN， 四边形 ABMN 为平行四边形，AN
12、BM. 平面 ACEF平面 ABCD，ECAC，平面 ACEF平面 ABCDAC， EC平面 ABCD，ECDC. 同理 FAAD.又由条件知 ADAF，ANDF，则 BMDF，即 BEDF. DCBC，ECDC，且 BCCEC，DC平面 BCE，DCBE. 又 BEDF，DCDFD，BE平面 CDF. (2)设点 E 到平面 CDF 的距离为 h. 由(1)可得 ECBC. 又 BCCD，CDCEC，BC平面 CDE，AD平面 CDE. 在矩形 ACEF 中，AFCE，AF平面 CDE， 三棱锥 FCDE 的高等于 AD 的长，且 AD1. 由(1)易知 CD平面 ADF， DF平面 ADF
13、，CDDF，SCDF1 21 2 2 2 . 设点 E 到平面 CDF 的距离为 h， VFCDEVEDCF，1 3 1 2111 1 3 2 2 h，解得 h 2 2 . 变式练 1解析：(1)如图，连接 AE，因为 ABAC2，ABAC，E 为 BC 的中点，所以 AEBC， AE 2. 由于三棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，故 AA1平面 ABC，所以 AA1AE，AA1BC. 在直角三角形 A1AE 中，因为 AA12，AE 2， 所以 A1E 6，那么 EF 6 3 . 所以AE EF A1E AE，所以A1AEAFE，所以AFEA1AE90 ，即 AFA1E. 由 AEBC，A
14、A1BC，AA1AEA， 得 BC平面 A1AE，AF平面 A1AEBCAF. 由 AFA1E，AFBC，BCA1EE， 得 AF平面 A1BC. (2)过 E 作 EDAC， 交 AC 于点 D， 连接 A1D， 过 F 作 FGED， 交 A1D 于点 G.因为 AA1 平面 ABC，所以 AA1ED，又 EDAC，ACAA1A， 所以 ED平面 AA1C，所以 FG平面 AA1C. 因为 FGED，A1F2FE，所以 FG2 3ED 2 3 1 2AB 2 3. SA1CC11 2222，所以 V 三棱锥 C1A1FCV 三棱锥 FA1CC1 1 3SA1CC1 FG 1 32 2 3
15、4 9. 考点二 例 2 解析：(1)由题设可知，PAPBPC. 由于ABC 是正三角形，故可得PACPAB，PACPBC. 又APC90 ，故APB90 ，BPC90 . 从而 PBPA，PBPC，故 PB平面 PAC，所以平面 PAB平面 PAC. (2)设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l. 由题设可得 rl 3，l2r22. 解得 r1，l 3. 从而 AB 3.由(1)可得 PA2PB2AB2，故 PAPBPC 6 2 . 所以三棱锥 PABC 的体积为1 3 1 2PAPBPC 1 3 1 2 6 2 3 6 8 . 变式练 2解析：(1)证明：PA底面 ABCD，PABD， 取
16、AC 的中点 O，连接 OB，OD， 则 ACOB， ACOD，点 O， B， D 共线， 即 ACBD. 又 PAACA，BD平面 PAC. BD平面 PBD，平面 PAC平面 PBD. (2)取 CD 的中点 N，连接 MN，BN，则 MNPD. BMN 或其补角是异面直线 PD 与 BM 所成的角 RtPAD 中，PAAD2，PD2 2，MN 2. 连接 OM，则 OMPA，OM平面 ABCD， RtMOB 中，MOOB1，BM 2. BDN 中，BD 31，DN1，BDN30 ， 由余弦定理 BN2BD2DN22BD DN cos 30 ，得 BN22 3. BMN 中，cosBMNB
17、M 2MN2BN2 2 BM MN 222 3 2 2 2 2 3 4 ， 直线 PD 与 BM 所成角的余弦值为2 3 4 . 考点三 例 3 解析：(1)证明：由已知得 ADBE，CGBE，所以 ADCG，故 AD，CG 确定一 个平面，从而 A，C，G，D 四点共面 由已知得 ABBE，ABBC，BCBEB，故 AB平面 BCGE. 又因为 AB平面 ABC，所以平面 ABC平面 BCGE. (2)取 CG 的中点 M，连接 EM，DM. 因为 ABDE，AB平面 BCGE，所以 DE平面 BCGE. 故 DECG. 由已知，四边形 BCGE 是菱形，且EBC60 得 EMCG，故 CG
18、平面 DEM.又 DM 平面 DEM. 因此 DMCG. 在 RtDEM 中，DE1，EM 3，故 DM2. 所以四边形 ACGD 的面积为 4. 变式练 3解析：(1)证明：作 CHAB 于点 H，如图， 则 BH1 2，AH 3 2. BC1，CH 3 2 ，CA 3，易得 ACBC. 平面 ADC平面 ABC，且平面 ADC平面 ABCAC，BC平面 ABC， BC平面 ADC. 又 AD平面 ADC，BCAD. (2)E 为 AB 的中点， 点 E 到平面 BCD 的距离等于点 A 到平面 BCD 距离的一半 由(1)可得平面 ADC平面 BCD，过点 A 作 AQCD 于 Q，如图 平面 ADC平面 BCDCD，且 AQ平面 ADC， AQ平面 BCD，AQ 就是点 A 到平面 BCD 的距离 由(1)知 AC 3，ADDC1， cosADC1 212 32 211 1 2. 又 0ADC，ADC2 3 ， 在 RtQAD 中，QDA 3，AD1， AQAD sinQDA1 3 2 3 2 . 点 E 到平面 BCD 的距离为 3 4 .
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