1、第三节第三节 空间点空间点、直线直线、平面之间的位置关系平面之间的位置关系 【知识重温】【知识重温】 一、必记 6 个知识点 1平面的基本性质 表示 公理 文字语言 图形语言 符号语言 公理 1 如果一条直线上的两 点在一个平面内，那 么这条直线在此平面 内 公理 2 _的三 点，有且只有一个平 面 A，B，C 三点不共线 有且只有一个平面 ，使 A，B， C 公理 3 如果两个不重合的平 面有一个公共点，那 么它们有且只有 _过该点的公 共直线 PP l，且 Pl 2.空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类： 错误错误! !错误错误! ! (2)平行公理(公理 4)和等角定理： 平行公理
2、：平行于同一条直线的两条直线_. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_. (3)异面直线所成的角： 定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的_叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 范围：_. 3空间直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 _ 1 个 平行 _ 0 个 在平面内 _ 无数个 平面与平面 平行 _ 0 个 相交 _ 无数个 4.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (3)过平面外一点有且只
3、有一个平面与已知平面平行 (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 5异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 6确定平面的三个推论 (1)经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 (2)两条相交直线确定一个平面 (3)两条平行直线确定一个平面 二、必明 2 个易误点 1异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面 直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交 2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内” 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)
4、(1)如果两个不重合的平面 ， 有一条公共直线 a，就说平面 ， 相交，并记作 a.( ) (2)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过 A 点的任意一条直线( ) (3)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于 A 点，并记作 A.( ) (4)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( ) (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面( ) 二、教材改编 2下列命题正确的是( ) A三点确定一个平面 B一条直线和一个点确定一个平面 C圆心和圆上两点可确定一个平面 D梯形可确定一个平面 3下列命题中正确的是( ) A若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l B若直
5、线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都平行 C如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 D若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点 三、易错易混 4设直线 l 与平面 平行，直线 m 在平面 上，那么( ) A直线 l 不平行于直线 m B直线 l 与直线 m 异面 C直线 l 与直线 m 没有公共点 D直线 l 与直线 m 不垂直 5若AOBA1O1B1，且 OAO1A1，OA 与 O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是 ( ) AOBO1B1且方向相同 BOBO1B1 COB 与 O1B1不平行 DOB 与 O1B
6、1不一定平行 四、走进高考 62018 全国卷在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( ) A. 2 2 B. 3 2 C. 5 2 D. 7 2 考点一 平面的基本性质互动讲练型 例 1 如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上， 且 BG：GCDH：HC1：2. (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线 悟 技法 1.证明空间点共线问题的方法 (1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再
7、根据公理 3 证明这些点都在这 两个平面的交线上 (2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上 2点、线共面的常用判定方法 (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内 (2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 ，再证明其余元素确定平面 ，最后证明平面 ， 重合. 变式练(着眼于举一反三) 1如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 AB 和 AA1的中点 求证：(1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点 考点二 异面直线的判定自主练透型 12019 全国卷 如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，
8、ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是 线段 ED 的中点，则( ) ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 22021 江西景德镇模拟将图 1 中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的中线折起得到 空间四面体 ABCD(如图 2)，则在空间四面体 ABCD 中，AD 与 BC 的位置关系是( ) A相交且垂直 B相交但不垂直 C异面且垂直 D异面但不垂直 3如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C
9、的中点，有以下四 个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上) 悟 技法 异面直线的判定方法 (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格 的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到 (2)定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线. 考点三 异面直线所成的角互动讲练型 例 2 (1)2018 全国卷在长方体 ABC
10、DA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，则异 面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为( ) A.1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 (2)2021 河南省豫北名校高三质量考评已知直三棱柱 ABCA1B1C1的底面为正三角形， 且 AA1AB，E 为 A1B1上一点，A1E2EB1，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为( ) A. 13 13 B. 5 13 C. 2 13 13 D.12 13 悟 技法 求异面直线所成的角的三步曲 提醒 在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 变式练(着眼于举一反三) 22021 惠州市高三调研考试试
11、题在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC1，AA1 1，E，F 分别为棱 A1B1，C1D1的中点，则异面直线 AF 与 BE 所成角的余弦值为( ) A0 B. 5 5 C. 3 2 D.2 5 5 第三节第三节 空间点空间点、直线直线、平面之间的位置关系平面之间的位置关系 【知识重温】【知识重温】 过不在一条直线上 一条 相交 平行 任何一个平面 平行 相等或 互补 锐角(或直角) 0， 2 aA a a l 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2解析：因为梯形有一组对边平行，所以梯形可以确定一个平面，故选 D. 答案：D 3解析：A 中若
12、直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l 或 l 与 相交，故 A 错；B 中若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线平行或异面，故 B 错；C 中如果两 条平行直线中的一条直线与一个平面平行， 那么另一条直线与这个平面平行或在平面内， 故 C 错，D 对故选 D. 答案：D 4解析：直线 l 与平面 平行，由线面平行的定义可知：直线 l 与平面 无公共点， 又直线 m 在平面 上，直线 l 与直线 m 没有公共点，故选 C. 答案：C 5解析：两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选 D. 答案：D 6. 解析： 如图， 因为 ABCD， 所以 AE 与
13、CD 所成的角为EAB.在 RtABE 中， 设 AB2， 则 BE 5，则 tanEABBE AB 5 2 ， 所以异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 5 2 ，故选 C. 答案：C 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 例 1 证明：(1)E，F 分别为 AB，AD 的中点， EFBD. 在BCD 中，BG GC DH HC 1 2， GHBD， EFGH. E，F，G，H 四点共面 (2)EGFHP，PEG，EG平面 ABC， P平面 ABC.同理 P平面 ADC. P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点 又平面 ABC平面 ADCAC， PAC，P，A，C 三点共线 变式练
14、1证明：(1)如图所示，连接 CD1，EF，A1B， E、F 分别是 AB 和 AA1的中点， FEA1B 且 EF1 2A1B. A1D1綊 BC，四边形 A1BCD1是平行四边形， A1BD1C，FED1C， EF 与 CD1可确定一个平面，即 E，C，D1，F 四点共面 (2)由(1)知 EFCD1，且 EF1 2CD1， 四边形 CD1FE 是梯形， 直线 CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 则 PCE平面 ABCD， 且 PD1F平面 A1ADD1， P平面 ABCD 且 P平面 A1ADD1， 又平面 ABCD平面 A1ADD1AD， PAD，CE，D1F，DA 三线共点 考
15、点二 1解析： 取 CD 的中点 O，连接 ON，EO，因为ECD 为正三角形，所以 EOCD，又平面 ECD 平面 ABCD， 平面 ECD平面 ABCDCD， 所以 EO平面 ABCD.设正方形 ABCD 的边长为 2， 则 EO 3，ON1，所以 EN2EO2ON24，得 EN2.过 M 作 CD 的垂线，垂足为 P，连 接 BP，则 MP 3 2 ，CP3 2，所以 BM 2MP2BP2( 3 2 )2(3 2) 2227，得 BM 7，所以 BMEN.连接 BD，BE，因为四边形 ABCD 为正方形，所以 N 为 BD 的中点，即 EN，MB 均 在平面 BDE 内，所以直线 BM，
16、EN 是相交直线，选 B. 答案：B 2解析：在题图 1 中，ADBC，故在题图 2 中，ADBD，ADDC，又因为 BDDC D，所以 AD平面 BCD，又 BC平面 BCD，D 不在 BC 上，所以 ADBC，且 AD 与 BC 异面，故选 C. 答案：C 3解析：直线 AM 与 CC1是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，所以错误点 B，B1，N 在平面 BB1C1C 中，点 M 在此平面外，所以 BN，MB1是异面直线同理 AM，DD1 也是异面直线 答案： 考点三 例 2 解析：(1)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体 ABBA A1B1B1
17、A1.连接 B1B，由长方体性质可知，B1BAD1，所以DB1B为异面直线 AD1 与 DB1所成的角或其补角连接 DB，由题意，得 DB12112 5，BB1 12 322，DB11212 32 5. 在DBB1中，由余弦定理，得 DB2BB21DB212BB1 DB1 cosDB1B， 即 54522 5cosDB1B， cosDB1B 5 5 .故选 C. (2)如图， 在 A1C1上取一点 D， 使 A1D2DC1， 连接 AD， DE， 结合 A1E2EB1知 DEB1C1. 又 B1C1BC，所以 DEBC，所以AED 为异面直线 AE 与 BC 所成的角设 AA1AB3， 则 A
18、1DDEA1E2， 所以 ADAE AA21A1D2 13， 则在等腰三角形 ADE 中， cosAED 1 2DE AE 1 13 13 13 ，故选 A. 答案：(1)C (2)A 变式练 2 解析： 如图， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， 连接 CF， AC， EF， AD1， 则 BCB1C1EF， 且 BCB1C1EF，所以四边形 BCFE 为平行四边形，所以 BECF，则异面直线 AF 与 BE 所 成的角， 即直线 AF 与 CF 所成的角， 即AFC 或其补角 设AFC.AC AB2BC2 5， CF CC21C1F2 2，AF AD21D1F2 3. 在ACF 中，由余弦定理可得， cos AF 2CF2AC2 2AF CF 325 2 3 20，故选 A. 答案：A
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