1、第六节第六节 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1综合法 一般地，利用_，经过一系列的_，最后推导出所要 证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可 用框图表示为： PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ 2分析法 一般地，从要_出发，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明 的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明的方 法叫做分析法 用 Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为： QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成
2、立的条件 3反证法 一般地，假设_，经过正确的推理，最后得出_，因此说明 _，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 二、必明 2 个易误点 1 用分析法证明数学问题时， 要注意书写格式的规范性， 常常用“要证(欲证)”“即 要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论 P，再说明所要证明的数学问题成 立 2利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错 误的 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)分析法必须是从结论推向已知( ) (2)分析法的推理过程要比综合法优越( ) (3)综合法的过程是演绎推理
3、( ) (4)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理( ) (5)反证法的实质是否定结论导出矛盾( ) 二、教材改编 2应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用( ) 结论的否定；已知条件；公理、定理、定义等；原结论 A B C D 3. 62 2与 5 7的大小关系是_ 三、易错易混 4以下命题中正确的是( ) A综合法是执果索因的逆推法 B综合法是由因导果的顺推法 C综合法是因果互推的两头凑法 D综合法就是举反例 5用分析法证明：欲使AB，只需C0，b0，ab1，求证：1 a 1 b 1 ab8. 悟 技法 考点二 分析法自主练透型 3已知 ab0，求证：2a3b
4、32ab2a2b. 4易错题已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，A，B，C 的对边分别为 a，b， c. 求证： 1 ab 1 bc 3 abc. 悟 技法 1.利用分析法证明问题的思路 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判 断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证 2分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、 具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法. 考点三 反证法互动讲练型 例 已知 a、b、c
5、、dR，且 abcd1，acbd1，求证：a、b、c、d 中至少有 一个是负数 悟 技法 反证法证明问题的一般步骤 (1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立(否定结论) (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知 的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾(推导矛盾) (3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命题结论的反面 不成立，从而肯定了原命题成立(命题成立) 变式练(着眼于举一反三) 若 x0，y0，且 xy2，求证：1y x 与1x y 中至少有一个小于 2. 第六节第六节 直接证明与间接证明
6、直接证明与间接证明 【知识重温】【知识重温】 已知条件和某些数学定义、公理、定理等 推理论证 证明的结论 充分条件 原命题不成立 矛盾 假设错误 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2解析：根据反证法的定义，推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以 答案：C 3解析：假设 62 2 5 7，由分析法可得，要证 62 2 5 7，只需证 6 7 52 2，即证 132 42134 10，即 422 10.因为 4240，所以 62 2 5 7 成立 答案： 62 2 5 7 4解析：综合法就是从已知条件(因)出发，利用已有知识进行证明结论(果)的方法
7、 答案：B 5解析：，是的充分条件 答案：A 6解析：只要取一组满足条件的整数即可如1，2，3；3，4，6；4， 7，10 等 答案：1，2，3(答案不唯一) 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1证明：由题知 cb 2 a ，xab 2 ，ybc 2 ， 则a x c y a ab 2 c bc 2 2a ab 2c bc 2a ab 2b 2 a bb 2 a 2a ab 2b ab2， 即a x c y2. 2证明：因为 a0，b0，ab1， 所以 1ab2 ab. 所以 ab1 2，所以 1 ab4. 所以1 a 1 b 1 ab(ab) 1 a 1 b 1 ab2 b a a b248
8、.所以 1 a 1 b 1 ab8. 考点二 3证明：要证明 2a3b32ab2a2b 成立， 只需证 2a3b32ab2a2b0， 即 2a(a2b2)b(a2b2)0， 即(ab)(ab)(2ab)0. ab0， ab0，ab0,2ab0， 从而(ab)(ab)(2ab)0 成立， 2a3b32ab2a2b. 4证明：要证 1 ab 1 bc 3 abc， 即证abc ab abc bc 3，也就是 c ab a bc1， 只需证 c(bc)a(ab)(ab)(bc)， 需证 c2a2acb2， 又ABC 三内角 A，B，C 成等差数列，故 B60 ， 由余弦定理，得 b2c2a22acc
9、os 60 ， 即 b2c2a2ac，故 c2a2acb2成立 于是原等式成立 考点三 例 证明：假设 a、b、c、d 都是非负数， 因为 abcd1， 所以(ab)(cd)1. 又因为(ab)(cd)acbdadbcacbd， 所以 acbd1. 这与已知 acbd1 矛盾， 所以 a、b、c、d 中至少有一个是负数 变式练 证明：假设1y x 与1x y 都大于等于 2， 即1y x 2，1x y 2. 因为 x0，y0， 所以 1y2x ，1x2y . 得 2xy2x2y， 所以 xy2， 这与已知条件 xy2 矛盾， 所以假设不成立， 所以1y x 与1x y 中至少有一个小于 2.
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