1、第一节第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体的结构及其三视图和直观图 【知识重温】【知识重温】 一、必记 4 个知识点 1空间几何体的结构特征 (2)旋转体的结构特征： 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 _所在的直线 圆锥 直角三角形 _所在的直线 圆台 直角梯形 _所在的直线 球 半圆 _所在的直线 2.空间几何体的三视图 (1)三视图的形成与名称： ()形成：空间几何体的三视图是用平行投影得到的，在这种投影之下，与投影面平行的 平面图形留下的影子，与平面图形的_和_是完全相同的 ()名称：三视图包括_、_、_. (2)三视图的画法： ()在画三视图时，重叠的线只画一条，挡
2、住的线要画成_. ()三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_方、_方、 _方观察几何体画出的轮廓线 3空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面： 在已知图形中取互相垂直的 x 轴，y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对应 的 x轴、y轴，两轴相交于点 O，且使xOy_，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度 21_，平行于 y 轴的线段，长度22_. (2)画几何体的高： 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的 z轴，也垂直于 xOy平面，已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中
3、仍平行于 z轴且长度不变 4正棱柱、正棱锥的结构特征 (1)正棱柱：侧棱 23_于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是24_的直棱柱叫做 正棱柱反之，正棱柱的底面是 25_，侧棱26_于底面，侧面是矩形 (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱 锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体 二、必明 3 个易误点 1台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点 2空间几何体不同放置时其三视图不一定相同 3对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图 中，易忽视实虚线的画法 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误
4、 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥( ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分( ) (4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱( ) (5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台( ) 二、教材改编 2如图，右边长方体中由左边的平面图形围成的是( ) 3下面结论错误的是( ) A三角形的直观图是三角形 B平行四边形的直观图是平行四边形 C正方形的直观图是正方形 D菱形的直观图是平行四边形 三、易错易混 4如图，长方体 ABCD
5、ABCD中被截去一部分，其中 EHAD，剩下的几 何体是( ) A棱台 B四棱柱 C五棱柱 D六棱柱 5在直观图(如图所示)中，四边形 OABC为菱形且边长为 2 cm，则在平面直角 坐标系 xOy 中，四边形 ABCO 为_，面积为_cm2. 四、走进高考 62020 全国卷如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图 中对应的点为 M，在俯视图中对应的点为 N，则该端点在侧视图中对应的点为( ) AE BF CG DH 考点一 空间几何体的结构特征自主练透型 1下列结论正确的是( ) A侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B六条棱长均相等的四面体是正四面体 C有两个侧面是
6、矩形的棱柱是直棱柱 D用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 2给出下列几个命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱； 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 32021 青岛模拟以下三个命题： 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 悟 技法 空间几何体结构特征的解题策略 (1)紧扣结构特征是判断
7、的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在 条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定 (2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可. 考点二 空间几何体的直观图互动讲练型 例 1 有一块多边形的菜地， 它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图 所示)，ABC45 ，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_ 悟 技法 变式练(着眼于举一反三) 1 已知正三角形 ABC 的边长为 2， 那么ABC 的直观图ABC的面积为_ 考点三 空间几何体的三视图分层深化型 考向 1：已知几何体识别三视图
8、 例 2 2018 全国卷中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进 部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构 件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 考向 2：已知三视图还原几何体 例 3 2018 全国卷某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( ) A2 17 B2 5 C3 D2 考向 3：已知三视图中的部分视图，判断其他视图 例 4 把边长为 1
9、的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平面 ABD平面 CBD，形成 的三棱锥 CABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( ) A.1 2 B. 2 2 C. 2 4 D.1 4 悟 技法 1.根据几何体确认三视图的技巧 由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特 点确认 2根据三视图还原几何体的技巧策略 (1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉 (2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图 (3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则 提醒 对于简单组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组 合体由哪
10、些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置，区分好实线 和虚线的不同. 变式练(着眼于举一反三) 2 2021 贵州七校联考如图， 四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚 拟图形，起辅助作用)，则四面体 ABCD 的正视图、侧视图、俯视图分别是(用代 表图形)( ) A B C D 32021 山西省八校高三联考已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是一个边长 为 2 的正三角形，则该几何体中最长棱的长度为( ) A2 B3 2 C3 D2 2 第八章第八章 立体几何立体几何 第一节第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体的结构及其三视图和直
11、观图 【知识重温】【知识重温】 平行且相等 全等 多边形 公共点 平行于底面 相似 任一边 任一直角边 垂直于底边的腰 直径 形状 大小 正视图 侧视图 俯视 图 虚线 正前 正左 正上 45 (或 135 ) 21不变 22减半 23垂直 24正多 边形 25正多边形 26垂直 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2解析：折成的长方体有两组对面是黑色的，一组对面是白色的 答案：D 3解析：由斜二测直观图的画法法则可知，A、B、D 正确，C 不正确，因为正方形的直 观图是平行四边形 答案：C 4解析：由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱，故选 C. 答
12、案：C 5 解析： 由斜二测画法的特点， 知该平面图形的直观图的原图， 即在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCO 是一个长为 4 cm，宽为 2 cm 的矩形，所以四边形 ABCO 的面积为 8 cm2. 答案：矩形 8 6解析：根据三视图可得直观图如图所示，图中的点 U 在正视图中对应的点为 M，在俯 视图中对应的点为 N，所以该端点在侧视图中对应的点为 E.故选 A. 答案：A 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A 错； 斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以 C 错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分 才叫
13、圆台，D 错故选 B. 答案：B 2解析：不一定，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；正确；错误：棱 台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定 相等故选 B. 答案：B 3解析：由圆台的定义可知错误，正确对于命题，只有平行于圆锥底面的平面 截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，错误故选 B. 答案：B 考点二 例 1 解析：如图，在直观图中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E. 在 RtABE 中，AB1，ABE45 ，BE 2 2 . 而四边形 AECD 为矩形，AD1， ECAD1，BCBEEC 2 2 1. 由此可还原原图形如图 在原图形中，AD
14、1，AB2， BC 2 2 1， 且 ADBC，ABBC， 这块菜地的面积 S1 2(ADBC) AB 1 2 11 2 2 22 2 2 . 答案：2 2 2 变式练 1解析：如图，图，图所示的分别是实际图形和直观图 从图可知，ABAB2， OC1 2OC 3 2 ， CDOCsin 45 3 2 2 2 6 4 . 所以 SABC1 2AB CD 1 22 6 4 6 4 . 答案： 6 4 考点三 例 2 解析：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选 A. 答案：A 例 3 解析：先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点 M，N 的位置如图所示 圆柱的侧面展
15、开图及 M，N 的位置(N 为 OP 的四等分点)如图所示，连接 MN，则图中 MN 即为 M 到 N 的最短路径 ON1 4164，OM2， |MN| OM2ON2 22422 5. 故选 B. 答案：B 例 4 解析： 由三棱锥 CABD 的正视图、 俯视图得三棱锥 CABD 的侧视图为直角边长 是 2 2 的等腰直角三角形，其形状如图所示，所以三棱锥 CABD 的侧视图的面积为1 4.故选 D. 答案：D 变式练 2解析：正视图是边长为 3 和 4 的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚 线，因此正视图是；侧视图是边长为 5 和 4 的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到 右上是虚线，因此侧视图是；俯视图是边长为 3 和 5 的矩形，其对角线左上到右下是实线， 左下到右上是虚线，因此俯视图是.故选 B. 答案：B 3解析：由三视图还原该几何体的直观图，为如图所示的四棱锥 PABCD，其中该四棱 锥的底面是一个上底为 1、下底为 2、高为 2 的直角梯形，平面 PBC底面 ABCD，PBC 是 边长为 2 的正三角形，易知 ABBCPBPC2，CD1，ADPD 5，PA2 2，所以 最长棱的长度为 2 2.故选 D. 答案：D
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