1、第二节第二节 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 【知识重温】【知识重温】 一、必记 2 个知识点 1一元二次不等式的特征 一元二次不等式的二次项(最高次项)系数不等于 0. 2一元二次不等式的解法 判别式 b24ac 0 0 0 二次函数 yax2bxc (a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两不等实根 x1，x2，(x1x2) 有两相等实根 x1x2 b 2a 没有实根 ax2bxc 0(a0) 的解集 _ _ _ ax2bxc0 (a0)的解集 _ _ _ 二、必明 2 个易误点 1二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不
2、为 零时的情形，以便确定解集的形式 2当 0(a0)的解集为 R 还是. 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若不等式 ax2bxc0.( ) (2)若不等式 ax2bxc0 的解集是(，x1)(x2，)，则方程 ax2bxc0 的两个 根是 x1和 x2.( ) (3)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为 R.( ) (4)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且 b24ac0.( ) (5)若二次函数 yax2bxc 的图象开口向下，则不等式 ax2bxc0 的解集是 1
3、2， 1 3 ，则 ab 的值是 _ 三、易错易混 4不等式x3 x10 的解集为( ) Ax|x1 或 x3 Bx|1x3 Cx|1x3 Dx|1x0，Bx|x10，则 AB( ) A(，1) B(2,1) C(3，1) D(3，) 考点一 一元二次不等式的解法自主练透型 12021 河北唐山摸底已知集合 Ax|x25x60. 悟 技法 含参数一元二次不等式求解步骤 (1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向 (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与 x 轴交点的个数 (3)当 0 时，讨论相应一元二次方程两根的大小 (4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的
4、解集. 变式练(着眼于举一反三) 1解关于 x 的不等式(ax1)(x1)0. 考点三 一元二次不等式恒成立问题 分层深化型 考向一：形如 f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围 例 2 若不等式(a2)x22(a2)x40 a0，0，0 ax2bxc0 a0，0 ax2bxc0 a0 恒成立，则 x 的取值范围为( ) A(，2)(3，) B(，1)(2，) C(，1)(3，) D(1,3) 悟 技法 已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法把参数当作函数的自变量， 得到一个新的函数，然后利用新函数求解. 同类练(着眼于触类旁通) 2关于 x 的一元二次不等式 2x28x
5、6m0 对任意的 xR 恒成立，求实数 m 的取值 范围 变式练(着眼于举一反三) 32021 山西大同月考若关于 x 的不等式 x22ax10 在区间0，)上恒成立，则 实数 a 的取值范围是_ 拓展练(着眼于迁移应用) 4求使不等式 x2(a6)x93a0，|a|1 恒成立的 x 的取值范围 第二节第二节 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 【知识重温】【知识重温】 x|xx1或 xx2 x|xx1 R x|x1xx2 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2解析：Ax|x2x60 x|3x2， 由 x10 得 x1，即 Bx|x1， 所以 A
6、Bx|1x2故选 D. 答案：D 3 解析： 由题意知1 2， 1 3是 ax 2bx20 的两根， 则 1 2 1 3 b a， 1 2 1 3 2 a， 解得 a12， b2， 所以 ab14. 答案：14 4解析：由x3 x10，得 x3x10， x10， 解得 10，得 x26x70，即(x7)(x1)0，所以7x0 x|x3， Bx|x10 x|x1，ABx|x1 故选 A. 答案：A 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：由 Ax|x25x60，得 Ax|1x6，Bx|0 x8，AB x|0 x0， 1x0， 即 x26x160， 解得2x1， 即原函数的定义域为x|2x5 .
7、 答案： x x4 3或x5 考点二 例 1 解析：原不等式可变形为(xa) (xa2)0，则方程(xa)(xa2)0 的两个根为 x1 a，x2a2， (1)当 a0 时，有 aa2，xa2，此时原不等式的解集为x|xa2； (2)当 0aa2，即 xa，此时原不等式的解集为x|xa； (3)当 a1 时，有 a2a，即 xa2，此时原不等式的解集为x|xa2； (4)当 a0 时，有 x0；原不等式的解集为x|xR 且 x0； (5)当 a1 时，有 x1，此时原不等式的解集为x|xR 且 x1； 综上可知： 当 a1 时，原不等式的解集为x|xa2； 当 0a1 时，原不等式的解集为x|
8、xa； 当 a0 时，原不等式的解集为x|xR 且 x0； 当 a1 时，原不等式的解集为x|xR 且 x1 变式练 1解析：若 a0，则原不等式为一元一次不等式，解集为(，1) 当 a0 时，方程(ax1)(x1)0 的两根为 x11 a，x21. 当 a0 时，解集为(，1) 1 a， ； 当1a0，即1 a1 时，解集为 1 a，1 ； 当 a1 a1 时，解集为 1，1 a ； 当 a1 时，解集为. 考点三 例 2 解析：当 a20，即 a2 时，不等式为40， 对一切 xR 恒成立 当 a2 时， 则 a20， 4a2216a20， 即 a2 2a2， 解得2a0 对于任意的 a1
9、,1恒成立，得 f(1)x25x60，且 f(1)x23x20 即可，解 不等式组 x25x60， x23x20， 得 x3.故选 C. 答案：C 同类练 2解析：解法一 要使 2x28x6m0 恒成立， a20，只需 648(6m)0，m0 对任意的 xR 恒成立，则只需 m2x28x6 对任意 的 xR 恒成立 g(x)2x28x62(x2)222. g(x)2x28x6 在 xR 上最小值为2. m0， 2a0. 令 f(a)(x3)ax26x9. 因为 f(a)0 在|a|1 时恒成立，所以 (1)若 x3，则 f(a)0，不符合题意，应舍去 (2)若 x3，则由一次函数的单调性， 可得 f10， f10， 即 x27x120， x25x60， 解得 x4. 故 x 的取值范围为(，2)(4，)
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