1、第三节第三节 等比数列及其前等比数列及其前 n 项和项和 【知识重温】【知识重温】 一、必记 6 个知识点 1等比数列及其相关概念 等比数列 一般地， 如果一个数列从第 2 项起， 每一项与它的_的比都等 于_ 公比 等比数列定义中的_叫做等比数列的公比，常用字母 q(q0) 表示 公式表示 an为等比数列_(nN*，q 为非零常数) 等比中项 如果 a， G， b 成等比数列， 则 G 叫做 a， b 的等比中项， 此时_ 2.等比数列的通项公式 若等比数列an的首项是 a1，公比是 q，则其通项公式为_(nN*) 3等比数列的前 n 项和公式 (1)当公比 q1 时，Sn_. (2)当公比
2、 q1 时，Sn_. 4项的性质 (1)anamqn m. (2)amkamka2m(mk，m，kN*) (3)若 mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则 am an_a2k. (4)若数列an， bn(项数相同)是等比数列， 则an， |an|， 1 an ， a2n， an bn， an bn (0) 仍然是等比数列 (5)在等比数列an中， 等距离取出若干项也构成一个等比数列， 则 an， ank， an2k， an3k， 为等比数列，公比为 qk. 5和的性质 (1)SmnSnqnSm. (2)若等比数列an共 2k(kN*)项，则S 偶 S奇q. (3)公比不为1 的等比数列an
3、的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，_仍成等 比数列，其公比为 qn，当公比为1 时，Sn，S2nSn，_不一定构成等比数列 6等比数列an的单调性 (1)满足 a10， q1 或 a10， 0q0， 0q1 或 a11 时，an是_数列 (3)当 a10， q1 时，an为_数列 (4)当 q0，则logaan(a0 且 a1)是以 logaa1为首项，logaq 为公差的等 差数列 若公比不为 1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其 公比为 qn. 2牢记与等比数列前 n 项和 Sn相关的几个结论 (1)项的个数的“奇偶”性质
4、：等比数列an中，公比为 q. 若共有 2n 项，则 S偶：S奇q； 若共有 2n1 项，则 S奇S偶a1a2n 1q 1q (q1 且 q1)，S 奇a1 S偶 q. (2)分段求和：SnmSnqnSmqnSn mSn Sm (q 为公比). 变式练(着眼于举一反三) 22021 大同市高三学情调研测试试题已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35， a7a8a910，则 a4a5a6_. 3一个项数为偶数的等比数列an，全部各项之和为偶数项之和的 4 倍，前 3 项之积为 64，则 a1( ) A11 B12 C13 D14 42021 长沙模拟已知等比数列an满足a4a6 a1a3
5、 1 8，a54，记等比数列an的前 n 项积 为 Tn，则当 Tn取最大值时，n( ) A4 或 5 B5 或 6 C6 或 7 D7 或 8 第三节第三节 等比数列及其前等比数列及其前 n 项和项和 【知识重温】【知识重温】 前一项前一项 同一个常数同一个常数 常数常数 an 1 an qG2ab ana1qn 1 na1 a1 1 qn 1q a1 anq 1q ap aq S3nS2n S3nS2n 递增递增 递减递减 常常 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) 2解析：a1a35 4，a2a4 5 2 qa2a4 a1a32. 答案：C 3解析：由题意得，
6、2a5a618，a5a69，a1ama5a69，m10. 答案：C 4解析：S318，a36，a1a2a3 q2(1q)12，故 2q 2q10，解得 q1 或 q 1 2. 答案：C 5解析：设等差数列的公差为 d，由题意可得 a22a1a5，即(1d)21(14d)，解得 d 2 或 d0(舍去)，所以数列an的前 9 项和 S99a198 2 d9149281，故选 C. 答案：C 6解析：通解 设等比数列an的公比为 q，则由 a5a3a1q4a1q212， a6a4a1q5a1q324 解得 a11， q2， 所以 Sna11q n 1q 2n1， ana1qn 12n1，所以Sn
7、an 2n1 2n 1221 n，故选 B. 优解 设等比数列an的公比为 q，因为a6a4 a5a3 a41q2 a31q2 a4 a3 24 122，所以 q2，所以 Sn an a11qn 1q a1qn 12 n1 2n 1221 n，故选 B. 答案：B 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：设等比数列的公比为 q， 由 a53a34a1得 a1q43a1q24a1， q24，又an0，q2， 由 S4a112 4 12 15，解得 a11. a3a1 q24，故选 C. 答案：C 2解析：设数列an的公比为 q，由已知得 q22q3，解得 q3 或 q1，因为 an 0，所以
8、q3，所以 an3n 1，故选 B. 答案：B 3解析：由题意可得 a11q6 1q 9a11q 3 1q a11q5 1q 62 ， 即 q38 a11q5 1q 62 ，得 q2 a12 ，选 B. 答案：B 4解析：设等比数列an的公比为 q，因为 a5与3 2a4 的等差中项为1 2，所以 a5 3 2a41， 所以 a3q23 2a3q1，又 a31，所以 2q 23q20.又数列a n的各项均为正数，所以 q1 2， 所以 a1a3 q24. 答案：4 考点二 例 1 解析：(1)由题设得 4(an1bn1)2(anbn)，即 an1bn11 2(anbn) 又因为 a1b11，所
9、以anbn是首项为 1，公比为1 2的等比数列 由题设得 4(an1bn1)4(anbn)8，即 an1bn1anbn2. 又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公差为 2 的等差数列 (2)由(1)知，anbn 1 2n 1，anbn2n1. 所以 an1 2(anbn)(anbn) 1 2nn 1 2， bn1 2(anbn)(anbn) 1 2nn 1 2. 变式练 1解析：(1)证明：由 a11 及 Sn14an2， 有 a1a2S24a12. a25，b1a22a13. 又 Sn14an2， Sn4an12n2， ，得 an14an4an1(n2)， an12an2(an2a
10、n1)(n2) bnan12an，bn2bn1(n2)， 故bn是首项 b13，公比为 2 的等比数列 (2)由(1)知 bnan12an3 2n 1， an 1 2n 1an 2n 3 4， 故 an 2n 是首项为1 2，公差为 3 4的等差数列 an 2n 1 2(n1) 3 4 3n1 4 ， 故 an(3n1) 2n 2(nN*) 考点三 例 2 解析：(1)由题意可得 a6(a22a6a10)a6a22a26a6a10a242a4a8a28(a4a8)2 (2)24.故选 A. (2)由分数的性质得到 1 a1 1 a2 1 a8 a8a1 a8a1 a7a2 a7a2 a4a5
11、a4a5 .因为 a8a1a7a2a3a6 a4a5，所以原式a1a2a8 a4a5 4 a4a5，又 a1a2a816(a4a5) 4，a n0，a4a52， 1 a1 1 a2 1 a82.故选 A. 答案： （1）A （2）A 例 3 解析：(1)解法一 设等比数列an的公比为 q，所以a2a3a4 a1a2a3 a1a2a3q a1a2a3 q 2，由 a1a2a3a1(1qq2)a1(1222)1，解得 a11 7，所以 a6a7a8a1(q 5q6 q7)1 7(2 52627)1 72 5(1222)32，故选 D. 解法二 令 bnanan1an2(nN*)， 则 bn1an1
12、an2an3.设数列an的公比为 q， 则bn 1 bn an 1an2an3 anan1an2 anan 1an2q anan1an2 q，所以数列bn为等比数列，由题意知 b11， b22，所以等比数列bn的公比 q2，所以 bn2n 1，所以 b 6a6a7a82 532，故选 D. (2)由题意可知 S4，S8S4，S12S8成等比数列，则(S8S4)2S4 (S12S8)，又 S127S4， (S8S4)2S4 (7S4S8)，可得 S286S24S8S40，两边都除以 S24，得 S8 S4 2S8 S460，解得 S8 S4 3 或2，又S8 S41q 4(q 为a n的公比)，
13、S 8 S41， S8 S43. 答案：(1)D (2)3 变式练 2解析：各项均为正数的等比数列an中，a1a2a3a325，a7a8a9a3810，则 a4a5a6 a35 a32a385 2. 答案：5 2 3解析：设数列an的公比为 q，全部奇数项、偶数项之和分别记为 S奇、S偶，由题意知， S奇S偶4S偶，即 S奇3S偶因为数列an的项数为偶数，所以 qS 偶 S奇 1 3.又 a1 (a1q)(a1q 2) 64.所以 a31q364，故 a112. 答案：B 4解析：解法一 设数列an的公比为 q，由a4a6 a1a3 1 8，得 q 31 8，则 q 1 2，则 ana5 q n 527n， 从而可得 T na1 a2 an2 654(7n)2n67n 2 21 2(n 213n)， 所以当1 2( n213n)取最大值时，Tn取得最大值，此时 n6 或 7，故选 C. 解法二 设数列an的公比为 q，由a4a6 a1a3 1 8，得 q 31 8，则 q 1 2，则 ana5 q n527n， 令 an1，则 n7，又当 n1，当 n7 时，an0，所以当 n6 或 7 时，Tn取最大值，故选 C. 答案： C
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