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    2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:6.1 数列的概念与简单表示法

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    2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:6.1 数列的概念与简单表示法

    1、第一节第一节 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 【知识重温】【知识重温】 一、必记 5 个知识点 1数列的有关概念 概念 含义 数列 按照_排列的一列数 数列的项 数列中的_ 数列的通项 数列an的第 n 项 an 通项公式 数列an的第 n 项 an与 n 之间的关系能用公式_表示, 这个公式叫做数列的通项公式 前 n 项和 数列an中,Sn_叫做数列的前 n 项和 2.数列的表示方法 列表法 列表格表示 n 与 an的对应关系 图象法 把点_画在平面直角坐标系中 公式 法 通项 公式 把数列的通项使用_表示的方法 递推 公式 使用初始值 a1和 an1f(an)或 a1, a2

    2、和 an1f(an, an1)等表示数列的方法 3.an与 Sn的关系 若数列an的前 n 项和为 Sn, 则 an ,n1, ,n2. 4数列的分类 单调性 递增数列 nN*,_ 递减数列 nN*,_ 常数列 nN*,an1an 摆动数列 从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 周期性 周期数列 nN*,存在正整数常数 k,ankan 5.常见数列的通项公式 自然数列:(1,2,3,4,) ann; 奇数列:(1,3,5,7,) an2n1; 偶数列:(2,4,6,8,) an2n; 平方数列:(1,4,9,16,) ann2; 2 的乘方数列:(2,4,8,16,

    3、) an2n; 倒数列: 1,1 2, 1 3, 1 4, an 1 n; 乘积数列:(2,6,12,20,) 可化为(12,23,34,45,) ann(n1); 重复数串列:(9,99,999,9 999,) an10n1; (0.9,0.99,0.999,0.999 9,) an110 n; 符号调整数列:(1,1,1,1,) an(1)n. 二、必明 2 个易误点 1数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还 与这些“数”的排列顺序有关 2项与项数是两个不同的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的 项对应的位置序号 【小题热身】【小题热身

    4、】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个( ) (2)1,1,1,1,不能构成一个数列( ) (3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列( ) (4)如果数列an的前 n 项和为 Sn,则对nN*,都有 an1Sn1Sn.( ) 二、教材改编 2必修 5 P67T2改编数列an的前几项为1 2,3, 11 2 ,8,21 2 ,则此数列的通项可能是 ( ) Aan5n4 2 Ban3n2 2 Can6n5 2 Dan10n9 2 3必修 5 P33T4改编在数列an中,a11,an11 n an1 (n2),则

    5、 a5_. 三、易错易混 4在数列an中,ann26n7,当前 n 项和 Sn取最大值时,n_. 5已知 Sn2n3,则 an_. 四、走进高考 62018 全国卷记 Sn为数列an的前 n 项和若 Sn2an1,则 S6_. 考点一 数列的有关概念及通项公式 自主练透型 1已知数列的通项公式为 ann28n15,则 3( ) A不是数列an中的项 B只是数列an中的第 2 项 C只是数列an中的第 6 项 D是数列an中的第 2 项或第 6 项 2数列3 2, 5 4, 7 8, 9 16,的一个通项公式为( ) Aan(1)n 2n1 2n Ban(1)n 2n1 2n Can(1)n 1

    6、 2n1 2n Dan(1)n 1 2n1 2n 3 已知 nN*, 给出 4 个表达式: an 0,n为奇数, 1,n为偶数, an11 n 2 , an1cos n 2 , an sin n 2 .其中能作为数列:0,1,0,1,0,1,0,1,的通项公式的是( ) A B C D 悟 技法 由数列的前几项求数列通项公式的策略 (1)根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征,并对 此进行归纳、联想,具体如下: 分式中分子、分母的特征; 相邻项的变化特征; 拆项后的特征; 各项符号特征等 (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法,它蕴含着

    7、“从特殊到一 般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化, 可用(1)n或(1)n 1 来调整. 考点二 由 an与 Sn的关系求通项 an 互动讲练型 例 1 (1)已知数列an的前 n 项和 Snn22n1,则 an_; (2)设 Sn为数列an的前 n 项和,若 2Sn3an3,则 a4等于( ) A27 B81 C93 D243 悟 技法 已知 Sn求 an的三个步骤 (1)先利用 a1S1求出 a1. (2)用 n1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系,利用 anSnSn1(n2)便可求出当 n2 时 an 的表达式 (3)对 n1 时的结果进行

    8、检验,看是否符合 n2 时 an的表达式,如果符合,则可以把数列的 通项公式合写;如果不符合,则应该分 n1 与 n2 两段来写(如本例(1). 变式练(着眼于举一反三) 1若数列an的前 n 项和为 Sn,首项 a10,且 2Sna2nan(nN*)则数列an的通项 公式为_ 2设 Sn是数列an的前 n 项和,且 a11,an1SnSn1,则 Sn_. 考点三 由递推关系式求数列的通项公式 互动讲练型 考向一:形如 an1anf(n),求 an 例 2 设数列an满足 a11,且 an1ann1(nN*),求数列an的通项公式 考向二:形如 an1anf(n),求 an 例 3 在数列an

    9、中,a11,ann1 n an1(n2),求数列an的通项公式 考向三:形如 an1AanB(A0 且 A1),求 an 例 4 已知数列an满足 a11,an13an2,求数列an的通项公式 考向四:形如 an1 Aan BanA(A,B 为常数),求 an 例 5 已知数列an中, a11, an1 2an an2(nN *), 则数列a n的通项公式 an_. 悟 技法 典型的递推数列及处理方法 递推式 方法 示例 an1anf(n) 累加法 a11,an1an2n an1anf(n) 累乘法 a11,an 1 an 2n an1AanB (A0,1,B0) 化为等 比数列 a11,an

    10、12an1 an1 Aan BanA 化为等 差数列 a11,an1 2an an2 变式练(着眼于举一反三) 3累加法在数列an中,a13,an1an 1 nn1,则通项公式 an_. 4累乘法已知 a12,an12nan,则数列an的通项公式 an_. 5待定系数法已知数列an中, a13,且点 Pn(an, an1)(nN*)在直线 4xy10 上, 则数列an的通项公式为_ 6取倒数法已知数列an满足 a11,an1 an an2(nN *),求通项公式 a n_. 第六章第六章 数列数列 第一节第一节 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 【知识重温】【知识重温】 一定顺序

    11、每一个数 anf(n) a1a2an (n,an) 公式 S1 SnSn1 an1an an1an 【小题热身】【小题热身】 1答案:(1) (2) (3) (4) 2解析:数列为1 2, 6 2, 11 2 ,16 2 ,21 2 ,其分母为 2,分子是首项为 1,公差为 5 的等差 数列,故通项公式为 an5n4 2 . 答案:A 3解析:a211 2 a1 2,a311 3 a2 1 2,a41 14 a3 3,a511 5 a4 2 3. 答案:2 3 4解析:令 ann26n70 得 1n7(nN*),所以该数列的第 7 项为 0,且从第 8 项开始 an0,则该数列的前 6 项或前

    12、 7 项的和最大 答案:6 或 7 5解析:当 n1 时,a1S1235, 当 n2 时,anSnSn12n32n 132n1. 由于 a15 不满足上式, 所以 an 5,n1, 2n 1,n2. 答案: 5,n1, 2n 1,n2. 6解析:根据 Sn2an1,可得 Sn12an11,两式相减得 an12an12an,即 an1 2an,当 n1 时,S1a12a11,解得 a11,所以数列an是以1 为首项,2 为公比 的等比数列,所以 S6112 5 12 63. 答案:63 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析:令 an3,即 n28n153,解得 n2 或 6,故 3 是数列a

    13、n中的第 2 项或第 6 项 答案:D 2解析:该数列是分数形式,分子为奇数 2n1,分母是指数 2n,各项的符号由(1)n 1 来确定,所以 D 选项正确 答案:D 3解析:检验知都是所给数列的通项公式 答案:A 考点二 例 1 解析:(1)当 n1 时,a1S11214,当 n2 时,anSnSn12n1,经 检验 a14 不适合 an2n1,故 an 4n1, 2n1n2. (2)根据 2Sn3an3, 可得 2Sn13an13, 两式相减得 2an13an13an, 即 an13an, 当 n1 时,2S13a13,解得 a13,所以数列an是以 3 为首项,3 为公比的等比数列,所

    14、以,a4a1q33481.故选 B. 答案:(1) 4n1, 2n1n2 (2)B 变式练 1 解析: 当 n1 时, 2S1a21a1, 则 a11.当 n2 时, anSnSn1a 2 nan 2 a 2 n1an1 2 , 即(anan1)(anan11)0anan1或 anan11,所以 an(1)n 1或 a nn. 答案:an(1)n 1 或 ann 2解析:由已知得 an1Sn1SnSnSn1,两边同时除以 SnSn1得 1 Sn 1 Sn11,即 1 Sn1 1 Sn1.又 1 S11, 1 Sn 是首项为1,公差为1 的等差数列, 1 Sn1(n1)(1) n,即 Sn1 n

    15、. 答案:1 n 考点三 例 2 解析:由题意有 a2a12,a3a23,anan1n(n2) 以上各式相加,得 ana123nn12n 2 n 2n2 2 . 又a11,ann 2n 2 (n2) 当 n1 时也满足此式,ann 2n 2 (nN*) 例 3 解析:ann1 n an1(n2), an1n2 n1an 2,an2n3 n2an 3,a21 2a1. 以上(n1)个式子相乘得 ana1 1 2 2 3 n1 n a1 n 1 n. 当 n1 时,a11,上式也成立an1 n(nN *) 例 4 解析:an13an2,an113(an1), an 11 an1 3,数列an1为等

    16、比数列,公比 q3, 又 a112,an12 3n 1, an2 3n 11(nN*) 例 5 解析:an1 2an an2, 1 an1 an2 2an 1 an 1 2, 1 an1 1 an 1 2. 又 a11, 1 a11, 1 an 是以 1 为首项,1 2为公差的等差数列, 1 an1(n1) 1 2 n1 2 , an 2 n1. 答案: 2 n1 变式练 3解析:原递推公式可化为 an1an1 n 1 n1, 则 a2a111 2,a3a2 1 2 1 3, a4a31 3 1 4,an1an2 1 n2 1 n1,anan 1 1 n1 1 n,逐项相加得, ana111

    17、n,故 an4 1 n. 答案:41 n 4解析:an12nan,an 1 an 2n,当 n2 时,an an an1 an1 an2 a2 a1 a12 n1 2n2 2 2 2n 2n2 2 .又 a11 也符合上式,an2n 2n2 2 . 答案:2n 2n2 2 5解析:因为点 Pn(an,an1)(nN*)在直线 4xy10 上, 所以 4anan110. 所以 an11 34 an1 3 . 因为 a13,所以 a11 3 10 3 . 故数列 an1 3 是首项为10 3 ,公比为 4 的等比数列 所以 an1 3 10 3 4n 1, 故数列an的通项公式为 an10 3 4n 11 3. 答案:an10 3 4n 11 3 6解析:由 an1 an an2,得 1 an11 2 an,所以 1 an112 1 an1 ,故 1 an1 是首项为 1 a1 12,公比为 2 的等比数列,则 1 an12 n.a n 1 2n1. 答案: 1 2n1


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