1、第四节第四节 函数函数 yAsin(x)的图象及简单三角函数模型的应用的图象及简单三角函数模型的应用 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1函数 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤 2用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图 用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示 x 2 3 2 2 x _ _ _ 10_ _ yAsin(x) 0 A 0 A 0 3.简谐振动 yAsin(x)中的有关物理量 yAsin(x) (A0，0)， x0，)表 示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T _ f _ _
2、 x 二、必明 3 个易误点 1函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象 2要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函 数 3由 yAsin x 的图象得到 yAsin(x)的图象时，需平移的单位数应为 ，而不 是|. 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 ysin x 4 的图象是由 ysin x 4 的图象向右平移 2个单位得到的( ) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一 致( ) (3)函数 yAsin(x)的最小正周期为
3、T2 .( ) (4)把函数 ysin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1 2，所得图象对应的函 数解析式为 ysin1 2x.( ) 二、教材改编 2必修 4 P56练习 T3改编函数 y2sin 2x 4 的振幅、频率和初相分别为( ) A2，1 ， 4 B2， 1 2， 4 C2，1 ， 8 D2， 1 2， 8 3必修 4 P55练习 T2改编为了得到函数 y2sin 2x 3 的图象，可以将函数 y2sin 2x 的图象( ) A向右平移 6个单位长度 B向右平移 3个单位长度 C向左平移 6个单位长度 D向左平移 3个单位长度 三、易错易混 4函数 f(x) 3sin
4、 x 2 4 ，xR 的最小正周期为( ) A. 2 B C2 D4 5函数 ycos x|tan x| 0 x且x 2 的图象为( ) 四、走进高考 62020 天津卷已知函数 f(x)sin x 3 .给出下列结论： f(x)的最小正周期为 2； f 2 是 f(x)的最大值； 把函数 ysin x 的图象上所有点向左平移 3个单位长度，可得到函数 yf(x)的图象 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 考点一 函数 yAsin(x)的图象及变换 自主练透型 12021 广州模拟将函数 yf(x)的图象向左平移 3个单位长度，再把所得图象上所有点 的横坐标伸长到原来的 2 倍得到
5、 ysin 3x 6 的图象，则 f(x)( ) Asin 3 2x 6 Bsin 6x 6 Csin 3 2x 3 Dsin 6x 3 2已知函数 ycos 2x 3 . (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在区间0，内的图象； (3)说明 ycos 2x 3 的图象可由 ycos x 的图象经过怎样的变换而得到 悟 技法 函数 yAsin(x)(A0，0)的图象的两种作法 五点法 设 zx，由 z 取 0， 2， 3 2 ，2 来求出相应的 x，通过列表，计算 得出五点坐标，描点后得出图象 图象变 换法 由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象，
6、有两种主要 途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 提醒 平移变换和伸缩变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是依赖于 x 加减多少值. 考点二 由图象确定 yAsin(x)的解析式互动讲练型 例 1 (1)2020 全国卷设函数 f(x)cos x 6 在，的图象大致如图，则 f(x)的 最小正周期为( ) A.10 9 B.7 6 C.4 3 D.3 2 (2)2021 武昌区高三调研函数 f(x)Asin(x) A0，0，00，0)的解析式的步骤 (1)求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 AMm 2 ，BMm 2 . (2)求 ，确定函数的周期 T，则 2
7、T . (3)求 ，常用方法有 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把 图象的最高点或最低点代入 五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 变式练(着眼于举一反三) 12021 郑州测试 将函数 f(x)的图象向左平移 6个单位长度后得到函数 g(x)的图象如图所示，则函数 f(x)的解 析式是( ) Af(x)sin 2x 6 (xR) Bf(x)sin 2x 6 (xR) Cf(x)sin 2x 3 (xR) Df(x)sin 2x 3 (xR) 22021 江西省名校高三教学质量检测 已知函数 f(x)cos(x) 0，|
8、 2 的部分图象如图所示，则函数 f(x)的单调递减区间 为( ) A. 7 122k， 19 12 2k (kZ) B. 7 12k， 13 12 k (kZ) C. 122k， 7 122k (kZ) D. 12k， 7 12k (kZ) 考点三 三角函数图象性质的综合应用 分层深化型 考向一：三角函数模型的应用 例 2 如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin 6x k，据此函 数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) A5 B6 C8 D10 考向二：函数零点(方程根)问题 例 3 2021 哈尔滨六中模拟设函数 f(x)sin 2x 4 ，x
9、 0，9 8 ，若方程 f(x)a 恰好 有三个根 x1，x2，x3，且 x1x20，0 2 的图象相邻的两条对称轴之间的距离为 2， 若将函数 f(x)的图象向右平移 6个单 位长度后，得到奇函数 g(x)的图象，则 f(x)的一个单调递增区间为( ) A. 4， 4 B. 6， 3 C. 5 12， 12 D. 3， 6 52020 北京卷若函数 f(x)sin(x)cos x 的最大值为 2，则常数 的一个取值为 _ 拓展练(着眼于迁移应用) 62021 山东潍坊高考模拟考试若函数 f(x)2sin(x2) cos x(00)， 已知 f(x)在0,2有且仅有 5 个零点 下 述四个结论
10、： f(x)在(0,2)有且仅有 3 个极大值点 f(x)在(0,2)有且仅有 2 个极小值点 f(x)在 0， 10 单调递增 的取值范围是 12 5 ，29 10 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 第四节第四节 函数函数 yAsin(x)的图象及的图象及简单三角函数模型的应用简单三角函数模型的应用 【知识重温】【知识重温】 | 1 1 | A A 0 2 3 2 2 2 1 T 2 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) 2解析：由振幅、频率和初相的定义可知，函数 y2sin 2x 4 的振幅为 2，频率为1 ， 初相为 4.故选 A 项 答案：A
11、3解析：因为 y2sin 2x2sin 2 x 6 3 ，所以将 y2sin 2x 的图象向右平移 6个单位 长度可得 y2sin 2x 3 的图象 答案：A 4解析：最小正周期为 T2 1 2 4. 答案：D 5解析：因为|tan x|0， 所以当 x 0， 2 时，cos x0，y0； 当 x 2， 时，cos x0，y0. 答案：C 6解析：f(x)sin x 3 的最小正周期为 2，正确；sin 21f 6 为 f(x)的最大值， 错误；将 ysin x 的图象上所有点向左平移 3个单位长度，得到 f(x)sin x 3 的图象，正 确故选 B. 答案：B 课堂考点突破课堂考点突破 考
12、点一 1解析：由题意知，先将函数 ysin 3x 6 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2， 再将所得图象向右平移 3个单位长度即得到函数 f(x)的图象，故 f(x)sin 32 x 3 6 sin 6x 6 . 答案：B 2解析：(1)函数 ycos 2x 3 的振幅为 1，周期 T2 2 ，初相是 3. (2)列表： 2x 3 3 0 2 3 2 5 3 x 0 6 5 12 2 3 11 12 y 1 2 1 0 1 0 1 2 描点，连线 (3)解法一 把 ycos x 的图象上所有的点向右平移 3个单位长度，得到 ycos x 3 的图 象； 再把 ycos x 3 的图象上所
13、有点的横坐标缩短到原来的1 2(纵坐标不变)，得到 y cos 2x 3 的图象 解法二 将ycos x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1 2(纵坐标不变)， 得到ycos 2x 的图象； 再将 ycos 2x 的图象向右平移 6个单位长度，得到 ycos 2 x 6 cos 2x 3 的图象 考点二 例 1 解析：(1)解法一 设函数 f(x)的最小正周期为 T，由题图可得 T 4 9 ()，所以10 9 T13 9 ，又因为|2 T ，所以18 13| 9 5.由题图可知 f 4 9 0，且 4 9 是函数 f(x)的上升零点， 所以4 9 62k 2(kZ)， 所以 4 92k 2 3
14、(kZ)， 所以| 3 2|3k1|(kZ)又因为 18 13| 9 5，所以 k0，所以| 3 2，所以 T 2 | 2 3 2 4 3 .故选 C. 解法二(五点法) 由函数 f(x)的图象知， 4 9 6 2，解得 3 2，所以函数 f(x) 的最小正周期为4 3 ，故选 C. (2)结合题图知函数 f(x)的最小正周期 T4 7 12 3 ， 由 T 得 2， 结合题图知 A 2， 所以 f(x) 2sin(2x)， 因为 3 2，0 在 f(x)的图象上， 所以 0 2sin2 6 ， 所以 3k(kZ)，因为 00，| 2，则有 T 2 4 5 12 6 ， 2，g 6 sin 3
15、 1，则 6，因此 g(x)sin 2x 6 ，f(x)g x 6 sin 2 x 6 6 sin 2x 6 ，故选 A. 答案：A 2解析：通解 由题图知，函数 f(x)cos(x)的最小正周期 T，所以 2.将点 12，1 代入 f(x)cos(2x)， 得 1cos(2 12)， 得 62k， kZ， 则 2k 6， kZ， 又| 2， 所以 6， 所以 f(x)cos 2x 6 .令 2k2x 62k， kZ， 得 12kx 7 12 k，kZ，所以函数 f(x)的单调递减区间为 12k， 7 12k (kZ) 优解 由题图知，函数 f(x)cos(x)的最小正周期 T，故排除 A，C
16、.又函数 f(x)在 12， 7 12 上单调递减，所以函数 f(x)cos(x)的单调递减区间为 12k， 7 12k (kZ) 答案：D 考点三 例 2 解析：由图象可知，ymin2，因为 ymin3k，所以3k2，解得 k5，所 以这段时间水深的最大值是 ymax3k358. 答案：C 例 3 解析：由题意 x 0，9 8 ，则 2x 4 4， 5 2 ，画出函数的大致图象，如图所示， 由图得，当 2 2 a1 时，方程 f(x)a 恰好有三个根，由 2x 4 2得 x 8，由 2x 4 3 2 得 x5 8 ，由图知，点(x1,0)与点(x2,0)关于直线 x 8对称，点(x2,0)与
17、点(x3,0)关于直线 x 5 8 对 称，x1x2 4，x3 9 8 ，则5 4 x1x2x311 8 ，即 x1x2x3的取值范围是 5 4 ，11 8 ， 故选 B. 答案：B 例 4 解析：将函数 y3sin 2x 4 的图象向右平移 6 个单位长度，得到 y 3sin 2 x 6 4 3sin 2x 12 的图象，由 2x 12 2k，kZ，得对称轴方程为 x 7 24 1 2 k，kZ，其中与 y 轴最近的对称轴的方程为 x5 24. 答案：x5 24 同类练 3解析：t 时刻，秒针针尖经过的圆弧对应的角度为 t 602 t 30， 以 x 轴正半轴为始边，P(x，y)所在射线为终
18、边，得 P0对应的角度为 6， 则 P(x，y)对应的角度为 6 t 30， 由 P0 3 2 ，1 2 可知 P(x，y)在单位圆上，所以 t 时刻 P(x，y)的纵坐标 ysin t 30 6 ，故 选 C. 秒杀解 t0 时，纵坐标 y1 2，排除 BD； t10 时，观察图形，此时纵坐标 y1，排除 A.选 C. 答案：C 变式练 4解析：f(x) 3 2 sin(2x2)1 2cos(2x2)sin 2x2 6 ，函数 f(x)的图象相 邻的两条对称轴之间的距离为 2， 2 2 1 2 2， 1，将 f(x)的图象向右平移 6个单位长度后，得到奇函数 g(x)的图象， g(x)sin
19、 2 x 6 2 6 sin 2x2 6 ，2 6k(kZ)， k 2 12(kZ)， 又 0 2， 12，f(x)sin 2x 3 ， 令 2x 3 2k 2，2k 2 (kZ)，得 x k5 12，k 12 (kZ)， 取 k0，得 x 5 12， 12 ，故选 C. 答案：C 5解析： 符合2k 2，kZ都可以，答案不唯一 易知当 ysin(x)，ycos x 同时取得最大 值 1 时，函数 f(x)sin(x)cos x 取得最大值 2，故 sin(x)cos x，则 22k，kZ， 故常数 的一个取值为 2. 答案： 2 拓展练 6解析：由题意，函数 f(x)2sin(x2) cos
20、 x(0 2)的图象过点(0,2)，可得 2sin 22， 即 sin 21，0 2， 4，故 f(x)2sin(x2)cos x2cos 2xcos 2x1，当 x 4时，f(x) 1， 故 A， B 都不正确； f(x)的最小正周期为2 2 ， 故 C 不正确； 显然， f(x)cos 2x10,2， 故 D 正确，故选 D. 答案：D 7解析：如图，根据题意知，xA2xB，根据图象可知函数 f(x)在(0,2)有且仅有 3 个极 大值点， 所以正确； 但可能会有 3 个极小值点， 所以错误； 根据 xA2xB， 有24 52 29 5， 得12 5 29 10， 所以正确； 当 x 0， 10 时， 5x 5 10 5， 因为 12 5 29 10， 所以 10 5 49 100 2，所以函数 f(x)在 0， 10 单调递增，所以正确 答案：D
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