1、第九节第九节 函数模型及其应用函数模型及其应用 【知识重温】【知识重温】 一、必记 2 个知识点 1三种函数模型的性质 函数 性质 yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0) 在(0，)上 的增减性 _ _ _ 增长速度 _ _ 相对平稳 图象的变化 随 x 增大逐渐 表现为与 _平行 随 x 增大逐渐 表现为与 _平行 随 n 值变化 而不同 2.函数 yax(a1)，ylogax(a1)和 yxn(n0)的增长速度比较 (1)指数函数 yax和幂函数 yxn(n0)在区间(0，)上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定范围内 ax会小于 xn，但由于 yax的增长速度_y
2、xn的增长速度，因此总存 在一个 x0，当 xx0时有_. (2)对于对数函数 ylogax(a1)和幂函数 yxn(n0)在区间(0，)，尽管在 x 的一定范 围内可能会有 logaxxn，但由于 ylogax 的增长速度慢于 yxn的增长速度，因此在(0，) 上总存在一个实数 x0，使 xx0时，_. (3)yax(a1)，ylogax(a1)与 yxn(n0)尽管都是增函数，但由于它们_不 同，而且不在同一个“档次上”，因此在(0，)上随 x 的增大，总会存在一个 x0，当 xx0 时，有_. 二、必明 2 个易误点 1易忽视实际问题对自变量的影响，单纯考虑解析式下的函数定义域 2在解决
3、函数模型后，要注意回归实际，验证这个数学结果对实际问题的合理性 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 y2x的函数值比 yx2的函数值大( ) (2)“指数爆炸”是指数型函数 ya bxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比 喻( ) (3)幂函数增长比直线增长更快( ) 二、教材改编 2在 2 h 内将某种药物注射进患者的血液中在注射期间，血液中的药物含量呈线性增 加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减能反映血液中药物含量 Q 随时间 t 变化的 图象是( ) 3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月
4、生产某种商品 x 万件时 的生产成本为 C(x)1 2x 22x20(万元)一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该企业一 个月应生产该商品数量为_万件 三、易错易混 4下列函数中，增长速度越来越慢的是( ) Ay6x Bylog6x Cyx6 Dy6x 5有一组实验数据如表所示： x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 则下列所给函数模型不适合的有( ) Aylogax(a1) Byaxb(a1) Cyax2b(a0) Dylogaxb(a1) 四、走进高考 62020 全国卷Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者 根据公布数据
5、建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型：I(t) K 1e 0.23t53，其中 K 为最大确诊病例数当 I(t*)0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为(ln 193)( ) A60 B63 C66 D69 考点一 一次函数或二次函数模型 自主练透型 2021 山西孝义检测为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租， 该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元根据经验，若 每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超出 6 元，则每超过 1 元，租 不出的自行车就
6、增加 3 辆为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元)只取整数，并且要求租 自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用， 用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日 中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分) (1)求函数 yf(x)的解析式及其定义域； (2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 悟 技法 一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 (1)直接考查一次函数、二次函数模型 解决此类问题应注意三点： 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域， 否则极易出错； 确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待
7、定系数法； 解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题 (2)以分段函数的形式考查 解决此类问题应注意以下三点： 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成， 如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解； 构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； 分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者) 提醒 (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域 (2)对构造的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解. 考点二 函数 yxa x模型的应用 互动讲练型 例 1 “水资源与永恒发展”是 2015 年联合国世界水资
8、源日主题， 近年来， 某企业每年 需要向自来水厂所缴纳水费约 4 万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用 4 年的自动 污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位： 平方米)成正比，比例系数约为 0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂 供水互补的用水模式假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C(单位： 万元)与安装的这种净水设备的占地面积 x(单位：平方米)之间的函数关系是 C(x) k 50 x250 (x0，k 为常数)记 y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消耗的水费之和 (1)试解释 C
9、(0)的实际意义，并建立 y 关于 x 的函数关系式并化简； (2)当 x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？ 悟 技法 应用函数 yxa x模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数 f(x)ax 与反比例函数 f(x)b x叠加而成的 (2)解决实际问题时一般可以直接建立 f(x)axb x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为 f(x)axb x的形式 (3)利用模型 f(x)axb x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条 件. 变式练(着眼于举一反三) 1为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某 幢建筑物要建造可
10、使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年 的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系 C(x) k 3x5(0 x10)， 若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费 用之和 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值 考点三 指数、对数函数模型互动讲练型 例 2 2020 山东卷基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数 基本 再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新
11、冠 肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的 变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R01rT.有学者基于已有数据估计出 R03.28， T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 20.69)( ) A1.2 天 B1.8 天 C2.5 天 D3.5 天 悟 技法 应用指数函数模型应注意的问题 (1)指数函数模型的应用类型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行 利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决 (2)应用指数函数模型时的关键关键是对模型的判断，先设
12、定模型，再将已知有关数据代入 验证，确定参数，从而确定函数模型 (3)ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解. 变式练(着眼于举一反三) 22017 北京卷根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙 中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与M N最接近的是(参考数据： lg 30.48)( ) A1033 B1053 C1073 D1093 第九节第九节 函数模型及其应用函数模型及其应用 【知识重温】【知识重温】 增函数 增函数 增函数 越来越快 越来越慢 y 轴 x 轴 快于 axxn logaxxn 增长速度 axxnlogax 【
13、小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) 2解析：由题意，当 02 时，图象为指数型曲线，所以 C 错，B 对，故选 B. 答案：B 3解析：利润 L(x)20 xC(x)1 2(x18) 2142，当 x18 时，L(x)有最大值 答案：18 4解析：D 中一次函数的增长速度不变，A、C 中函数的增长速度越来越快，只有 B 中 对数函数的增长速度越来越慢，符合题意 答案：B 5解析：由所给数据可知，y 随 x 的增大而增大，且增长速度越来越快，而 A，D 中的 函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变故选 C. 答案：C 6 解析： I(t*) K 1 * 0.23(
14、53)t e 0.95K， 整理可得 * 0.23(53)t e 19， 两边取自然对数得 0.23(t* 53)ln 193，解得 t*66，故选 C. 答案：C 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 解析： (1)当 x6 时， y50 x115， 令 50 x1150， 解得 x2.3， x 为整数， 3x6. 当 x6 时，y503(x6)x1153x268x115. 令3x268x1150，有 3x268x1150，结合 x 为整数得 6x20. 故 y 50 x1153x6，xZ 3x268x1156x20，xZ. 定义域为x|3x20，xN* (2)对于 y50 x115(3x6，x
15、Z)， 显然当 x6 时，ymax185， 对于 y3x268x1153 x34 3 2811 3 (6185， 当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多 考点二 例 1 解析：(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费， C(0) k 2504，k1 000， y0.2x 1 000 50 x25040.2x 80 x5(x0) (2)y0.2(x5) 80 x512 0.28017， 当且仅当 x520，即 x15 时，ymin7， 当 x 为 15 平方米时，y 取得最小值 7 万元 变式练 1解析：(1)由已知条件得 C(0)8，则 k40， 因此 f(x)6x2
16、0C(x)6x 800 3x5(0 x10) (2)f(x)6x10 800 3x5102 6x10800 3x51070(万元)， 当且仅当 6x10 800 3x5， 即 x5 时等号成立 所以当隔热层厚度为 5 cm 时，总费用 f(x)达到最小值，最小值为 70 万元 考点三 例 2 解析：R01rT，3.2816r，r0.38. 若 It1 1 0.38 e t ， It2 2 0.38 e t ， It22It1， 则 21 0.38() e tt 2，0.38(t2t1)ln 20.69，t2t11.8，选 B. 答案：B 变式练 2解析：由题意，lgM Nlg 3361 1080lg 3 361lg 1080361lg 380lg 103610.48801 93.28. 又 lg 103333，lg 105353，lg 107373，lg 109393， 故与M N最接近的是 10 93.故选 D. 答案： D
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