1、第八节第八节 函数与方程函数与方程 【知识重温】【知识重温】 一、必记 4 个知识点 1函数的零点的概念 对于函数 yf(x)，xD，我们把使_的实数 x 叫做函数 yf(x)，xD 的零点 2方程的根与函数的零点的关系 由函数的零点的概念可知，函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的实数根，也就是函数 y f(x) 的 图 象 与 _ 的 交 点 的 横 坐 标 所 以 方 程f(x) 0 有 实 数 根 _函数 yf(x)有零点 3函数零点的存在性定理 如 果 函 数 y f(x) 在 区 间 a ， b 上 的 图 象 是 _ 的 一 条 曲 线 ， 并 且 _，那么函数 yf(x
2、)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得 _，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根 4二分法的定义 对于在区间a，b上连续不断且 f(a) f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断把函数 f(x)的零点所 在的区间_，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到_的方法叫做二 分法 二、必明 2 个易误点 1函数 yf(x)的零点即方程 f(x)0 的实根，是函数图象与 x 轴交点的横坐标，是一个实 数，易误认为是一个点而写成坐标形式 2. 由函数 yf(x)在闭区间a， b上有零点不一定能推出 f(a) f(b)0， 如图所示 所以 f(a) f(b)0 是 yf(x)在闭区间a，
3、b上有零点的充分不必要条件 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点( ) (2)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a) f(b)0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值( ) (4)二次函数 yax2bxc(a0)在 b24ac0 时没有零点( ) (5)若函数 f(x)在(a， b)上单调且 f(a) f(b)0， 则函数 f(x)在a， b上有且只有一个零点 ( ) 二、教材改编 2函数 f(x)ln x2 x的零点所在的大致区间
4、是( ) A(1,2) B(2,3) C(1 e，1)和(3,4) D(4，) 3若函数 f(x)24ax24x1 在区间(1,1)内恰有一个零点，则实数 a 的取值范围是 _ 三、易错易混 4下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( ) 5设 f(x)在区间a，b上是连续的单调函数，且 f(a) f(b)1,0b1，则函数 f(x)axxb 的零点所在的区间 是( ) A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 3函数 f(x)log3xx2 的零点所在的区间为( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 悟 技法 确定函数 f(x)
5、的零点所在区间的常用方法 (1)定义法：使用零点存在性定理，函数 yf(x)必须在区间a，b上是连续的，当 f(a) f(b)0 时， 函数在区间(a，b)内至少有一个零点 (2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如 f(x)g(x)h(x)，作出 yg(x)和 yh(x)的图象，其交点的横坐标即为函数 f(x)的零点. 考点二 判断函数零点个数互动讲练型 例 1 (1)函数 f(x) exx2，x0 x22x，x0 的零点个数是( ) A0 B1 C2 D3 (2)2021 广西宜州联考若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)
6、， 且当 x0,1时， f(x) x，则函数 yf(x)log3|x|的零点个数是( ) A5 B4 C3 D2 悟 技法 判断函数零点个数的 3 种方法 (1)方程法：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点 (2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a) f(b)1， ，则函数 yf(x)x4 的零点个数为( ) A1 B2 C3 D4 考点三 函数零点的应用分层深化型 考向一：根据函数零点个数或存在情况求参数范围 例 2 2020 天津卷已知函数 f(x) x3，x0， x，x0. 若函数 g(x)f(x)|kx22x|(kR)恰有 4 个零点
7、，则 k 的取值范围是( ) A. ，1 2 (2 2，) B. ，1 2 (0,2 2) C(，0)(0,2 2) D(，0)(2 2，) 考向二：求函数各个零点(方程根)的和(范围) 例 3 2021 天津南开检测设函数 f(x) x25x6，x0， 4x4，x0， g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是( ) A1,0) B0，) C1，) D1，) 42021 河北衡水中学调考已知函数 f(x) 2x1，x1， x1，x1， 则函数 F(x)f(x)a2a 1(aR)总有零点时，a 的取值范围是( ) A(，0)(1，) B1,2) C1,0(1,2
8、D0,1 第八节第八节 函数与方程函数与方程 【知识重温】【知识重温】 f(x)0 x轴 函数yf(x)的图象与x轴有交点 连续不断 f(a) f(b)0 f(c) 0 一分为二 零点近似值 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2解析：f(2)ln 210，且函数 f(x)的图象在(0，)上连续不断， f(x)为增函数，f(x)的零点在区间(2,3)内 答案：B 3解析：(1)当 a0 时，f(x)4x1.令 f(x)0，得 4x10，x1 4(1,1) 当 a0 时，f(x)在(1,1)内恰有一个零点 (2)当 a0 时，42424a(1)1696a.
9、若 0，即 a1 6， 则函数 f(x)的图象与 x 轴交于点(1 2，0)， x1 2是(1,1)内的唯一零点 若 0， 即 a1 6， 则 a1 6， f1f124a524a30 1 8a 5 24. 综上可得，a 的取值范围是 0，1 6 1 8， 5 24 . 答案： 0，1 6 1 8， 5 24 4解析：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象 可得，只有 A 不满足此条件故选 A. 答案：A 5解析：由函数零点存在定理知，函数 f(x)的图象在a，b内与 x 轴只有一个交点，即方 程 f(x)0 在a，b内只有一个实根 答案：D 6 解析： 由 f(x
10、)2sin xsin 2x2sin x2sin xcos x2sin x(1cos x)0 得 sin x0 或 cos x1，xk，kZ，又x0,2，x0，2.即零点有 3 个故选 B. 答案：B 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：令 f(x)2ln x3x，则函数 f(x)在(0，)上单调递增，且 f(1)20，所以函数 f(x)在(1,2)内有零点，即 a 在区间(1,2)内 答案：D 2解析：因为 a1,0b1，f(x)axxb，所以 f(1)1 a1b0，所 以 f(x)的零点在区间(1,0)内故选 B 项 答案：B 3解析：解法一(定理法) 函数 f(x)log3xx2 的
11、定义域为(0，)，并且 f(x)在(0， )上单调递增，图象是一条连续曲线由题意知 f(1)10，f(3)20， 根据零点存在性定理可知，函数 f(x)log3xx2 有唯一零点，且零点在区间(1,2)内 解法二(图象法) 函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)log3x，h(x)x2 图象 交点的横坐标所在的范围作出两个函数的图象如图所示，可知 f(x)的零点所在的区间为 (1,2)故选 B. 答案：B 例 1 解析：(1)当 x0 时，令 f(x)0，即 x22x0，解得 x2，或 x0(舍去)所以 当 x0 时，只有一个零点；当 x0 时，f(x)exx2，而 f(x)ex1
12、，显然 f(x)0，所 以 f(x)在0，)上单调递增，又 f(0)e00210，所以当 x0 时， 函数 f(x)有且只有一个零点综上，函数 f(x)只有两个零点 (2)偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，函数的周期为 2.当 x0,1时，f(x)x，故当 x 1,0时，f(x)x.函数 yf(x)log3|x|的零点的个数等于函数 yf(x)的图象与函数 ylog3|x|的 图象的交点个数在同一个坐标系中画出函数 yf(x)的图象与函数 ylog3|x|的图象，如图所 示显然函数 yf(x)的图象与函数 ylog3|x|的图象有 4 个交点，故选 B 项 答案：(1)C (2)B 变
13、式练 1解析：由题中表格得 f(1)f(2)0，f(4)f(5)0，因为函数的图象是连续不断的，所以函数 在(1,2)内至少有一个零点，在(4,5)内至少有一个零点，所以函数 yf(x)在 x1,6上的零点至 少有两个故选 C 项 答案：C 2解析：函数 yf(x)x4 的零点，即函数 yx4 与 yf(x)的交点的横坐标如图 所示，函数 yx4 与 yf(x)的图象有两个交点，故函数 yf(x)x4 的零点有 2 个故 选 B 项 答案：B 例 2 解析：由题意知函数 g(x)f(x)|kx22x|恰有 4 个零点等价于方程 f(x)|kx22x| 0，即 f(x)|kx22x|有 4 个不
14、同的根，即函数 yf(x)与 y|kx22x|的图象有 4 个不同的公 共点 图 1 当 k0 时，在同一平面直角坐标系中，分别作出 yf(x)与 y|2x|的图象如图 1 所示，由 图 1 知两图象只有 2 个不同的公共点，不满足题意 当 k0 时，y|kx22x| k x1 k 21 k ，其图象的对称轴为直线 x1 k0 时，函数 y|kx22x|的图象与 x 轴的 2 个交点分别为原点(0,0)与 2 k，0 ，则当 x 2 k 时，由 kx22xx3，得 x2kx20，令 k280，得 k2 2，此时在同一平面直角坐 标系中，分别作出函数 yf(x)与 y|kx22x|的图象如图 3
15、 所示，由图 3 知两图象有 3 个不同 的公共点，不满足题意令 k280，得 k2 2，此时在同一平面直角坐标系中，分别作 出函数 yf(x)与 y|kx22x|的图象如图 4 所示，由图 4 知两图象有 4 个不同的公共点，满足 题意令 k280，得 0k2 2，易知此时不满足题意 图 3 图 4 综上可知，实数 k 的取值范围是(，0)(2 2，)，故选 D. 答案：D 例 3 解析：函数 f(x) x25x6，x0， 4x4，x0， 函数 g(x)xaf(x)有三个零点，即方程 af(x)x 有三个根，f(x)x x26x6，x0， 3x4，x0， 所以函数 ya 和 yf(x)x 的
16、图象有三个交点在同一平面直角坐标系 中画出这两个函数的图象，如图所示 设三个交点的横坐标分别为 x1，x2，x3，且 x1x2x3.易知 x26x6 的最小值为3，由 3x43，得 x7 3，所以 x1 7 3，0 .根据二次函数图象的对称性得到 x2x36，所以 x1x2x3 11 3 ，6 . 答案： 11 3 ，6 变式练 3解析：令 h(x)xa， 则 g(x)f(x)h(x) 在同一坐标系中画出 yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示 若 g(x)存在 2 个零点， 则 yf(x)的图象与 yh(x)的图象有 2 个交点， 平移 yh(x)的图象， 可知当直线 yxa 过点(0,1)时，有 2 个交点， 此时 10a，a1. 当 yxa 在 yx1 上方，即 a1 时，有 2 个交点，符合题意 综上，a 的取值范围为1，) 故选 C. 答案：C 4解析：由 F(x)0，得 f(x)a2a1，因为函数 f(x)的值域为(1，)，故 a2a 11，解得 a1.故选 A 项 答案： A
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