1、第二节第二节 命题及其关系命题及其关系、充分条件与必要条件充分条件与必要条件 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1命题 用语言、符号或式子表达的，可以_的陈述句叫做命题，其中_的语句叫 做真命题，_的语句叫做假命题 2四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有_的真假性； 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性_. 3充分条件、必要条件与充要条件 若 pq，则 p 是 q 的_条件，q 是 p 的_条件 p 成立的对象的集合为 A，q 成立的对象的集合为 B p 是 q 的_条 件 pq 且 qDp A 是 B
2、 的_ p 是 q 的_条 件 pDq 且 qp B 是 A 的_ p 是 q 的_条 件 pq _ p 是 q 的_条 件 pDq 且 qDp A，B 互不_ 二、必明 2 个易误点 1易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否 定命题的结论 2注意区别 A 是 B 的充分不必要条件(AB 且 BAA)与 A 的充分不必要条件是 B(B A 且 AAB)两者的不同 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)“x30”是命题( ) (2)命题“若 p，则 q”的否命题是“若 p，则綈 q”( ) (3)若原命
3、题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真( ) (4)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件( ) 二、教材改编 2“ab”是“a2b2”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3“ab”是“ac2bc2”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 三、易错易混 4“1 2x3”的一个必要不充分条件是( ) A1 2x3 B1x6 C1 2x0 D3xy2，则 xy”的逆否命题是( ) A若 xy，则 x2y，则 x2y2 D若 xy，则 x2y2 四、走进高考 62020 天津卷
4、设 aR，则“a1”是“a2a”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 考点一 命题及其相互关系互动讲练型 例 1 (1)对于命题“单调函数不是周期函数”，下列说法正确的是( ) A逆命题为“周期函数不是单调函数” B否命题为“单调函数是周期函数” C逆否命题为“周期函数是单调函数” D以上都不正确 (2)给出以下四个命题： “若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题； “全等三角形的面积相等”的否命题； “若 q1，则 x2xq0 有实根”的逆否命题； 若 ab 是正整数，则 a，b 都是正整数 其中为真命题的是_(写出所有真命题的序号) 悟 技
5、法 1.求一个命题的其他三种命题时，需注意： (1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写为“若 p，则 q”的形式； (2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提 2判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例 3当不易直接判断一个命题的真假时，根据互为逆否命题的两个命题同真同假，可转化 为判断其等价命题的真假. 变式练(着眼于举一反三) 1已知命题 p：正数 a 的平方不等于 0，命题 q：若 a 不是正数，则它的平方等于 0，则 q 是 p 的( ) A逆命题 B否命题 C逆否命题 D否定 2以下关于命题的说法正确的是_(填写所有正确说法的序号)
6、 “若 log2(a1)1，则函数 f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是增函数”是真命题； 命题“若 a0，则 a(b1)0”的否命题是“若 a0，则 a(b1)0”； 命题“若 x，y 都是偶数，则(x1)(y1)是偶数”的逆命题为真命题； 命题“若 aM，则 bM”与命题“若 bM，则 aM”等价 考点二 充分条件、必要条件的判断 互动讲练型 例 2 (1)已知 ， R， 则“存在 kZ使得 k(1)k”是“sin sin ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 (2)2020 浙江卷已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，n.
7、“l，m，n 共面”是“l，m， n 两两相交”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 悟 技法 充分、必要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据 pq，qp 进行判断 (2)集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断 (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题 进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题. 变式练(着眼于举一反三) 32021 安徽合肥联考“x0”是“ln(x1)0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 42021 安徽淮南模拟
8、设 R，则“3”是“直线 2x(1)y1 与直线 6x(1 )y4 平行”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 考点三 利用充分、必要条件求参数的取值范围 分层深化型 例3 2021 安徽合肥七校联考“方程 x2 9m y2 m51表示的曲线是椭圆”的一个必要 不充分条件是( ) Am7 B7m9 C5m9 D5m9 且 m7 悟 技法 根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意事项 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后 根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解 (2)求解参数的取值范围时，一定要注
9、意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的 关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现 漏解或增解的现象. 同类练(着眼于触类旁通) 5不等式 x(x2)1 Ca4 Da4 拓展练(着眼于迁移应用) 72021 天津一中月考已知命题 p：xk，命题 q： 3 x1bAa2b2，且 a2b2Aab，所以 ab 是 a2b2的既不充分也不必要条 件故选 D. 答案：D 3解析：ab，c20， abAac2bc2(c0)， ac2bc2ab. 故 ab 是 ac2bc2的必要不充分条件故选 B. 答案：B 4解析：依题意可知选项中的 x 的取值范围 A1 2x
10、3，但 1 2x3选项中的 x 的 取值范围，所以选项中的 x 的取值范围要比1 2x3 的范围大，故“ 1 2x3”的一个必要不 充分条件是1xy2，则 xy”的逆否命题是“若 xy，则 x2y2” 答案：B 6解析：由 a2a 得 a1 或 a1 得 a2a，则“a1”是“a2a”的充分不 必要条件，故选 A. 答案：A 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 例 1 解析：(1)根据四种命题的构成可知，选项 A，B，C 均不正确故选 D. (2)“若 xy0， 则 x， y 互为相反数”的逆命题为“若 x， y 互为相反数， 则 xy0”， 显然为真命题；否命题为“不全等的三角形的面积不相等”
11、，而不全等的三角形的面积也 可能相等，故为假命题；原命题为真，所以它的逆否命题也为真，故为真命题；ab 是 正整数，但 a，b 不一定都是正整数，例如 a1，b2，故为假命题所以答案是. 答案：(1)D (2) 变式练 1解析：“正数 a 的平方不等于 0”即“若 a 是一个正数，则它的平方不等于 0”，其 否命题为“若 a 不是正数，则它的平方等于 0”故选 B. 答案：B 2解析：正确，由 log2(a1)1，得 a12，所以 a1，所以 f(x)logax 在其定义域 内是增函数正确，由命题的否命题的定义知，该说法正确不正确，原命题的逆命题 为“若(x1)(y1)是偶数，则 x，y 都是
12、偶数”，是假命题，如(31)(41)20 为偶数， 但 x3，y4.正确，两者互为逆否命题，因此两命题等价 答案： 考点二 例 2 解析：(1)若存在 kZ 使得 k(1)k，则当 k2n，nZ 时，2n，则 sin sin(2n)sin ；当 k2n1，nZ 时，(2n1)，则 sin sin(2n) sin()sin .若 sin sin ，则 2n 或 2n，nZ，即 k(1)k， kZ，故选 C. (2)由 m，n，l 在同一平面内，可能有 m，n，l 两两平行，所以 m，n，l 可能没有公共点， 所以不能推出 m，n，l 两两相交由 m，n，l 两两相交且 m，n，l 不经过同一点，
13、可设 lm A， lnB， mnC， 且 An， 所以点 A 和直线 n 确定平面 ， 且 B， Cn， 所以 B， C， 所以 l，m，所以 m，n，l 在同一平面内故选 B. 答案：(1)C (2)B 变式练 3 解析： 由 ln(x1)0 可得 0 x11， 即1x0， 而x|1x0 x|x0， 所以“x0” 是“ln(x1)0， m50， 9mm5， 解得 5m9 且 m7， 所以“方程 x2 9m y2 m51 表示的曲线是椭圆”的充要条件为“5m9 且 m7”， 所以结合选项可知“方程 x2 9m y2 m51 表示的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是 “5m9”故选 C. 答案：C 同类练 5解析： 由 x(x2)0 得 0 x2，因为(0,2)1， )，所以“x1， )”是“不 等式 x(x2)4，故选 D. 答案：D 拓展练 7解析：由 3 x11 得， 3 x11 2x x10，解得 x2，由 p 是 q 的充分不必要条件知，k2，故选 B 项 答案：B
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