1、 平面向量、三角函数与解三角形 授课提示：对应学生用书第 99 页 （一）三角形中的范围（最值）问题 任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形的范围（或最值）问题也不例外三角形中的 范围（或最值）问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解由于 三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要 求外，还有自己独特的解法 1与边或角有关的范围（最值）问题 例 1 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，b4，accos B2 3 3 S （1）若 a，b，c 成等差数列，试判断ABC 的形状； （2）求 ac
2、 的取值范围 解析 （1）由已知得 accos B 3 3 acsin B，得 tan B 3， 因为 0B，所以 B 3 因为 a，b，c 成等差数列，b4，所以 ac2b8， 由余弦定理，得 16a2c22accos 3， 所以 16（ac）23ac，得 ac16， 所以 acb4，所以ABC 是等边三角形 （2）法一：由（1）得（ac）23ac16（ac）23 ac 2 2 （当且仅当 ac 时取等号） ， 解得 0ac8 又 acb4，所以 4ac8， 所以 ac 的取值范围是（4，8 法二：根据正弦定理，得 a sin A c sin C b sin B 4 3 2 8 3 3 ，
3、所以 a8 3 3 sin A，c8 3 3 sin C， 所以 ac8 3 3 （sin Asin C） 因为 ABC，B 3，所以 AC 2 3 ， 所以 ac8 3 3 sin Asin 2 3 A8 3 3 3 2sin A 3 2 cos A 8sin A 6 ， 因为 0A2 3 ， 所以 A 6 6， 5 6 ，所以 sin A 6 1 2，1 ，则 ac（4，8 所以 ac 的取值范围是（4，8 三角形中边或角范围问题的解决方法 求解边或角的取值范围是命题的热点，主要形式和解决方法有： 要建立所求式子与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求式子的值作为函数值， 转化为函
4、数关系，将原问题转化为求函数的值域问题这里要利用条件中的范围限制，以及 三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果范 围过大 题组突破 1 （2021 佛山调研）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 a，b，c 成等差 数列，则角 B 的取值范围是（ ） A 3， 2 B 0， 3 C 6， 2 D 3， 解析：因为 2bac，所以 cos Ba 2c2b2 2ac 3 8 （ac）2 ac 1由基本不等式知ac 2 ac， 所以 cos B3 841 1 2，所以角 B 的取值范围是 0， 3 答案：B 2 （2020 高考全国卷）
5、ABC 中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C （1）求 A； （2）若 BC3，求ABC 周长的最大值 解析： （1）由正弦定理和已知条件得 BC2AC2AB2AC AB 由余弦定理得 BC2AC2AB22AC ABcos A 由得 cos A1 2 因为 0A，所以 A2 3 （2）由正弦定理及（1）得 AC sin B AB sin C BC sin A2 3， 从而 AC2 3sin B， AB2 3sin（AB）3cos B 3sin B 故 BCACAB3 3sin B3cos B32 3sin B 3 又 0B 3，所以当 B 6时，ABC 周长取得最大值 32
6、3 2与面积有关的范围或最值问题 例 2 （2021 绵阳第一次诊断）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且 2csin B3atan A （1）求b 2c2 a2 的值； （2）若 a2，求ABC 面积的最大值 解析 （1）2csin B3atan A，2csin Bcos A3asin A， 由正弦定理得 2cbcos A3a2，由余弦定理得 b2c2a23a2，化简得 b2c24a2， b 2c2 a2 4 （2）a2，由（1）知 b2c24a216，由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc 6 bc 根据基本不等式知 b2c22bc，即 8bc，当且仅当 b
7、c 时“”成立，cos A6 8 3 4 由 cos A 6 bc，得 bc 6 cos A，且 A 0， 2 ， ABC 的面积 S1 2bcsin A 1 2 6 cos Asin A3tan A 1tan2A1sin 2A cos2A cos2Asin2A cos2A 1 cos2A， tan A 1 cos2A1 16 9 1 7 3 ， S3tan A 7 ABC 的面积的最大值为 7 求解三角形中面积的范围（或最值）问题的方法 一般要由题目已知条件（三角恒等关系式、边角大小等）结合正、余弦定理，先得到面积的 表达式，再通过基本不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围 对点训
8、练 如图所示，已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，acosACBccosCABbsin B，且CAB 6若 D 是ABC 外一点，DC2，DA3，则当四边形 ABCD 的面积最大时， sin D_ 解析：因为 acosACBccosCABbsin B，所以由正弦定理可得 sinCABcosACB sinACBcosCABsin（CABACB）sin Bsin2B，因为 sin B0，所以 sin B1，所 以B 2又CAB 6，所以 BC 1 2AC，AB 3 2 AC，由余弦定理可得 cos D2 232AC2 223 ， 即AC21312cos D， 四边形ABCD的
9、面积S1 223sin D 1 2 1 2AC 3 2 AC3sin D 3 8 （1312cos D）13 8 33sin D3 3 2 cos D927 4 sin（D）13 8 3，其中 tan 3 2 当 sin（D）1，即 D 2时，四边形 ABCD 的面积最大，此时 tan Dtan 2 1 tan 2 3 3 ，可得 sin D2 7 7 答案：2 7 7 （二）平面向量模的范围或最值问题 平面向量数量积的应用中，常考查向量的模或数量积的最值或范围问题，能力要求较高，综 合性强 1平面向量模的最值或范围问题 例 3 已知向量 a， b 为单位向量， 且 a b1 2， 向量 c
10、与 ab 共线， 则|ac|的最小值为 （ ） A1 B1 2 C3 4 D 3 2 （2）在平面直角坐标系中，A（2，0） ，B（1，3） ，O 为坐标原点，且OM OA OB （ 1） ，N（1，0） ，则|MN |的最小值为（ ） A 2 2 B3 2 2 C9 2 D3 2 解析 （1）向量 c 与 ab 共线，可设 ct（ab） （tR） ，ac（t1）atb， （ac）2（t1）2a22t（t1）a bt2b2向量 a，b 为单位向量，且 a b1 2， （ac）2（t1）2t（t1）t2t2t13 4，|ac| 3 2 ，|ac|的最小值为 3 2 （2）OM OA OB （1）
11、 ，A，B，M 三点共线，A（2，0） ，B（1，3） ， 直线 AB 的方程为 xy20，N（1，0） ，设点 N 到直线 AB 的距离为 d，d|102| 11 3 2 2 ，|MN |的最小值为点 N 到直线 AB 的距离3 2 2 答案 （1）D （2）B 求向量模的最值（范围）的两种方法 （1）代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解 （2）几何法（数形结合法） ：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解 题组突破 1已知向量 a，b 满足|ab|ab|5，则|a|b|的取值范围是（ ） A0，5 B5，5 2 C5 2，7 D5，10 解析：依题意，注
12、意到|a|b|ab|5，当 b0 或 a0 时取得等号，因此|a|b|的最小值 是 5；又注意到（ab）2（ab）22（a2b2） ，即|ab|2|ab|22（|a|2|b|2） ，于是 有 2（|a|2|b|2）50，|a|b|2（|a|2|b|2）5 2，当且仅当|a|b|时取等号，|a|b|的 最大值是 5 2因此，|a|b|的取值范围是5，5 2 答案：B 2 （2021 广元模拟）在ABC 中，AB2AC6，BA BC|BA|2，点 P 是ABC 所在平面内 一点，则当|PA |2|PB|2|PC|2 取得最小值时，AP BC（ ） A27 2 B27 2 C9 D9 解析：BA B
13、C|BA| |BC| cos B|BA|2，|BC| cos B|BA|6，CAAB，即A 2以 A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则 B（6，0） ，C（0，3） 设 P（x，y） ，则|PA |2 |PB |2|PC|2x2y2（x6）2y2x2（y3）23x212x3y26y453（x2）2 （y1） 210， 当 x2， y1 时， |PA|2|PB|2|PC|2取得最小值， 此时AP BC （2， 1） （ 6，3）9 答案：D 2数量积的最值（范围）问题 例 4 （1）如图所示，在正方形 ABCD 中，|AB |3，AE2 3AB ，CE 与 BD 交于点 F，P 是 线
14、段 AF 上任意一点，则AP DP 的最小值为（ ） A 9 20 B 9 40 C1 D1 （2）用 mina，b表示实数 a，b 中的较小者已知向量 a，b，c 满足|a|1，|b|2，a b0， cab（221） ，则当 minc a，c b取得最大值时，|c|（ ） A2 85 17 B 17 17 C 85 17 D 5 2 解析 （1）以 A 为原点，AB ，AD 的方向分别为 x，y 轴的正方向建立平面直角坐标系（图 略） ，则 A（0，0） ，B（3，0） ，C（3，3） ，D（0，3） ，E（2，0） 又直线 lBD：xy3 和 lCE： 3xy60 相交，所以易得点 F 的
15、坐标为 9 4， 3 4 由 P 是线段 AF 上任意一点，可设 P（3y， y） 0y3 4 ，则AP DP （3y，y） （3y，y3）10y23y10 y 3 20 2 9 40，所以当 y 3 20 时，AP DP 取得最小值 9 40 （2）c a（ab） aa2b a，c b（ab） ba bb24，因为 221， 所以当 4 时，不妨令 01，01，解得 0 1 17，所以 minc a，c b 4，0 1 17， 12， 1 171， 设 f（） 4，0 1 17， 12， 1 171， 则 f（）在 0， 1 17 上单调递增， 在 1 17，1 上单调递减，所以当 1 17
16、时，f（）取得最大值，此时 c 4 17a 1 17b，所以 |c|2 1 17（16a 2b28a b）20 17，所以|c| 2 85 17 答案 （1）B （2）A 数量积的最值或范围问题的两种求解方法 （1）临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围 （2）目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用 三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围 题组突破 1 （2021 安阳模拟）已知在OAB 中，OAOB2，AB2 3，动点 P 位于线段 AB 上，则 当PA PO 取最小值时，向量PA 与PO 的夹角的余弦值为_ 解析：易知AOB12
17、0 ，记OA a，OB b，则 a b2，设PA BAab（01） ， 则PO PA AO （1）ab，则PA PO （ab） （1）ab1226，当 1 4时，PA PO 取最小值3 4，此时，|PA |1 4|BA |3 2 ，PO 3 4a 1 4b 1 4（3ab） ，|PO |1 4|3a b| 7 2 ，所以向量PA 与PO 的夹角的余弦值为 PA PO |PA |PO | 3 4 3 2 7 2 21 7 答案： 21 7 2已知圆 C： （x2）2y24，圆 M： （x25cos ）2（y5sin ）21（R） ，过圆 M 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE， PF，
18、切点分别为 E， F， 则PE PF的最小值是_ 解析：圆 C： （x2）2y24 的圆心 C（2，0） ，半径为 2，圆 M（x25cos ）2（y5sin ）21，圆心 M（25cos ，5sin ） ，半径为 1，因为 CM521，故两圆外离如图所 示， 设直线 CM 和圆 M 交于 H， G 两点， 则PE PF的最小值是HE HF ， HCCM1514， HFHE HC2CE2 1642 3，sinCHECE CH 1 2，所以CHE30 ，所以EHF 60 ，所以HE HF |HE | |HF | cosEHF2 32 31 26所以PE PF的最小值是 6 答案：6 （三）三角函
19、数与平面向量的综合 例 5 （2021 龙岩模拟）已知向量 a（ 3，1） ，b（sin 2x，2sin2x1） ，xR （1）若 ab，且 x0，求 x 的值； （2）记 f（x）a b（xR） ，若将函数 f（x）的图像上的所有点向左平移 6个单位长度得到函 数 g（x）的图像当 x 0， 2 时，求函数 g（x）的值域 解析 （1）因为 ab，所以 3（2sin2x1）sin 2x0，即 sin 2x 3cos 2x 若 cos 2x0，则 sin 2x0，与 sin22xcos22x1 矛盾，故 cos 2x0 所以 tan 2x 3，又 x0，所以 2x0，2，所以 2x2 3 或
20、2x5 3 ，即 x 3或 x 5 6 ， 即 x 的值为 3或 5 6 （2）因为 f（x）a b（ 3，1） （sin 2x，cos 2x） 3sin 2xcos 2x2sin 2x 6 ， 所以 g（x）2sin 2 x 6 6 2sin 2x 6 ， 当 x 0， 2 时，2x 6 6， 7 6 ， 所以 sin 2x 6 1 2，1 ，所以 2sin 2x 6 1，2， 即当 x 0， 2 时，函数 g（x）的值域为1，2 1题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得 到三角函数的关系式，然后求解 2给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或
21、者其他向量的表达形式，解题思路 是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性、求得值域等 对点训练 （2021 德州模拟）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m（cos（AB） ， sin（AB） ） ，n（cos B，sin B） ，且 m n3 5 （1）求 sin A 的值； （2）若 a4 2，b5，求角 B 的大小及向量BA 在BC方向上的投影 解析： （1）由 m n3 5， 得 cos（AB）cos Bsin（AB）sin B3 5， 所以 cos A3 5因为 0A， 所以 sin A 1cos2A1 3 5 2 4 5 （2）由正弦定理，得 a sin A b sin B， 则 sin Bbsin A a 54 5 4 2 2 2 ， 因为 ab，所以 AB，且 B 是ABC 的内角，则 B 4 由余弦定理得（4 2）252c225c 3 5 ， 解得 c1 或 c7（舍去） 故向量BA 在BC方向上的投影为|BA|cos Bccos B12 2 2 2
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