1、 选修 44 坐标系与参数方程 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的考查情况来看，本节内容主要考查极坐标(方程)与直 角坐标(方程)的互化，参数方程与普通方程的互化，根据极坐标 方程或参数方程求弦长、面积、最值等，其中利用直线参数方程 中参数的几何意义求值，利用椭圆或圆的参数方程或点到直线的 距离求最值是考查的重点， 主要以解答题的形式出现， 难度中等 本节通过极坐标(方程)和 参数方程的应用考查学生 的数学运算、逻辑推理核 心素养和转化与化归思想 的应用 授课提示：对应学生用书第 254 页 知识点一 极坐标 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一
2、点， 在变换 ： x x（0）， y y（0） 的作用下， 点 P(x， y)对应到点 P (x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 2极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定 一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一 个极坐标系 (2)极坐标 极径：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径，记为 极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为 极坐标：有序数对(，)叫做点
3、M 的极坐标，记作 M(，) 3极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为： xcos ， ysin ； 2x2y2， tan y x（x0）. 温馨提醒 二级结论 常见曲线的极坐标方程 (1)圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程：r(02) (2)圆心为 r， 2 ，半径为 r 的圆的极坐标方程：2rsin (0) (3)过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程：(R)或 (R) (4)过点(a，0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程：cos a 2 2 (5)过点 a， 2 ，与极轴平行的直线的极坐标方程：sin a(0) 必
4、明易错 1极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式在解决此类问题时考生要注意两个方 面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件 2在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视 注意极坐标(，)，(，2k)(kZ)，(，2k)(kZ)表示同一点的坐标 1在极坐标系中，已知点 P 2， 6 ，则过点 P 且平行于极轴的直线方程是( ) Asin 1 Bsin 3 Ccos 1 Dcos 3 解析：先将极坐标化成直角坐标表示 P 2， 6 ，转化为直角坐标为 xcos 2cos 6 3，y sin 2sin 61，即( 3，1)，过点( 3，1)且平行于 x 轴的直线为 y1，再化为极坐标为 si
5、n 1 答案：A 2设平面上的伸缩变换的坐标表达式为 x1 2x， y3y， 则在这一坐标变换下正弦曲线 ysin x 的方 程变为_ 解析：由 x1 2x， y3y， 得 x2x y1 3y， 代入 ysin x，得1 3ysin 2x， 故变换后的方程为 y3sin 2x 答案：y3sin 2x 3(2021 西安模拟)在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是_ 解析：法一：由 2sin ，得 22sin ，化成直角坐标方程为 x2y22y，化成标准 方程为 x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为 1， 2 法二：由 2sin 2cos 2 ，知圆心的极坐标为 1，
6、2 答案： 1， 2 知识点二 参数方程 一般地， 在平面直角坐标系中， 如果曲线 C 上任意一点 P 的坐标(x， y)是某个变数 t 的函数： xf（t）， yg（t），并且对于 t 的每一个允许值，由函数式 xf（t）， yg（t） 所确定的点 P(x，y)都在曲线 C 上，那么方程 xf（t） yg（t）叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做参变数，简称参数相对于 参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 温馨提醒 二级结论 直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点 M(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数) (2
7、)圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为 xx0rcos ， yy0rsin ( 为参数) (3)椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的参数方程为 xacos ， ybsin ( 为参数) 必明易错 直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线 上任一点 M(x，y)到 M0(x0，y0)的距离，即|M0M|t| 1(2019 高考北京卷)已知直线 l 的参数方程为 x13t， y24t (t 为参数)，则点(1，0)到直线 l 的 距离是( ) A1 5 B2 5 C4 5 D6 5 解析：由题意可知直线 l 的普
8、通方程为 4x3y20，由点到直线的距离公式可得点(1，0)到 直线 l 的距离 d|41302| 42（3）2 6 5 答案：D 2(2019 高考天津卷)设 aR，直线 axy20 和圆 x22cos ， y12sin ( 为参数)相切，则 a 的值为_ 解析：由圆的参数方程知圆的普通方程为(x2)2(y1)24由|2a1| a212，知 a 3 4 答案：3 4 3在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l： xt， yta(t 为参数)过椭圆 C： x3cos ， y2sin ( 为参数) 的右顶点，则常数 a 的值为_ 解析：直线 l 的普通方程为 xya0， 椭圆 C 的普通方程为x
9、 2 9 y2 41， 所以椭圆 C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线 l 过点(3，0)， 则 3a0， 所以 a3 答案：3 授课提示：对应学生用书第 255 页 题型一 曲线的极坐标方程 例 （2019 高考全国卷）如图，在极坐标系 Ox 中，A（2，0） ，B 2， 4 ，C 2，3 4 ， D（2，） ，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是（1，0） ， 1， 2 ， （1，） ，曲线 M1是弧AB ， 曲线 M2是弧BC ，曲线 M3是弧CD （1）分别写出 M1，M2，M3的极坐标方程； （2）曲线 M 由 M1，M2，M3构成，若点 P 在 M 上，且|OP| 3，求 P
10、 的极坐标 解析 （1）由题设可得，弧AB ，BC ，CD 所在圆的极坐标方程分别为 2cos ，2sin ， 2cos 所以 M1的极坐标方程为 2cos 0 4 ，M2的极坐标方程为 2sin 4 3 4 ，M3 的极坐标方程为 2cos 3 4 （2）设 P（，） ，由题设及（1）知 若 0 4，则 2cos 3，解得 6； 若 4 3 4 ，则 2sin 3，解得 3或 2 3 ； 若3 4 ，则2cos 3，解得 5 6 综上，P 的极坐标为 3， 6 或 3， 3 或 3，2 3 或 3，5 6 1求曲线的极坐标方程的一般思路 曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系
11、中的问题求解，然后再次利用 互换公式即可转化为极坐标方程，熟练掌握互换公式是解决问题的关键 2解决极坐标交点问题的一般思路 一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其转化为极坐标；二是将 曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出交点的极坐标 对点训练 （2021 江淮十校联考）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x22cos ， y2sin （ 为参数） ，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）已知 A，B 是曲线 C 上任意两点，且AOB 3，求AOB 面积的最大值 解析： （1）消去参数 ，得到曲线 C
12、 的普通方程为（x2）2y24，即 x2y24x0， 故曲线 C 的极坐标方程为 4cos （2）在极坐标系中，不妨设 A（1，0） ，B（2，0 3） ，其中 10，20， 200 可知 tan 5 4 所以直线 l 的斜率为 5 4 参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用 （1）将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加 减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件 （2）在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是 求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条
13、件求 解 对点训练 在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为 xcos ， ysin （ 为参数） ，过点（0， 2）且倾 斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点 （1）求 的取值范围； （2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 解析： （1）O 的直角坐标方程为 x2y21 当 2时，l 与O 交于两点 当 2时，记 tan k，则 l 的方程为 ykx 2，l 与O 交于两点当且仅当 2 1k2 1， 解得 k1，即 4， 2 或 2， 3 4 综上， 的取值范围是 4， 3 4 （2）l 的参数方程为 xtcos ， y 2tsin （t 为参数， 4 3 4 ） 设 A，
14、B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP，则 tPtAtB 2 ， 且 tA，tB满足 t22 2tsin 10 于是 tAtB2 2sin ，tP 2sin 又点 P 的坐标（x，y）满足 xtPcos ， y 2tPsin ， 所以点 P 的轨迹的参数方程是 x 2 2 sin 2， y 2 2 2 2 cos 2 为参数， 4 3 4 参数方程与极坐标方程应用中的核心素养 数学运算参数方程与极坐标方程的综合应用 例 （2020 高考全国卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 xcoskt， ysinkt （t 为参 数） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
15、曲线 C2的极坐标方程为 4cos 16sin 30 （1）当 k1 时，C1是什么曲线？ （2）当 k4 时，求 C1与 C2的公共点的直角坐标 解析 （1）当 k1 时，C1： xcos t， ysin t， 消去参数 t，得 x2y21， 故曲线 C1是以坐标原点为圆心，1 为半径的圆 （2）当 k4 时，C1： xcos4t， ysin4t， 消去参数 t，得 C1的直角坐标方程为 x y1 C2的直角坐标方程为 4x16y30 由 x y1， 4x16y30，解得 x 1 4， y1 4. 故 C1与 C2的公共点的直角坐标为 1 4， 1 4 解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法
16、 （1）在参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先将其化成直角坐标的普通 方程，这样思路可能更加清晰 （2）对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷 （3）利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件 对点训练 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 x1cos ， ysin （ 为参数） ，曲线 C2： x2 3y 21 （1）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 C1，C2的极坐标方程； （2）射线 OT： 6（0）与 C1 异于极点的交点为 A，与 C2的交点为 B，求|AB|的大小 解析： （1）由 x1cos ysin 得（x1）2y21，即 x2y22x0， 所以 C1的极坐标方程为 22cos 0，即 2cos 由x 2 3y 21 得 C 2的极坐标方程为 2cos2 3 2sin2 1 （2）设|OA|1（10） ，|OB|2（20） ， 所以|AB|12| 联立 2cos ， 6， 得|OA|12cos 6 3， 联立 2cos2 3 2sin21， 6， 得|OB|2 2， 所以|AB| 3 2
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