1、第三节 用样本估计总体 命题分析预测 学科核心素养 从近五年高考来看，主要考查利用频率分布 直方图、茎叶图、样本的数字特征估计总体， 各种题型都有，难度中档偏下 本节主要通过用样本估计总体提升数据分析 与数学运算及直观想象核心素养 授课提示：对应学生用书第 240 页 知识点一 频率分布直方图、茎叶图 1作频率分布直方图的步骤 （1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差） ； （2）决定组距与组数； （3）将数据分组； （4）列频率分布表； （5）画频率分布直方图 2频率分布折线图和总体密度曲线 （1）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线 图 （2）总
2、体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率 折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线 3茎叶图的优点 茎叶图的优点是不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带 来方便 温馨提醒 频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数的估计值 （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的 （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以 小长方形底边中点的横坐标之和 1学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了 n 位同学进行调查，结果显
3、示这些同 学的支出都在10，50（单位：元）之间，其频率分布直方图如图所示，其中支出在10，30） （单位：元）内的同学有 33 人，则支出在40，50（单位：元）内的同学人数为（ ） A100 B120 C30 D300 解析： 支出10， 30） 的同学所占的频率为 （0 010 023） 100 33， 所以 n 33 0.33100 支 出在40，50）的同学所占的频率为 1（00100230037）1003，故支出在40， 50）的同学人数是 1000330 答案：C 2在如图所示的茎叶图所示的数据中，众数和中位数分别是（ ） A23，26 B31，26 C24，30 D26，30
4、解析：由茎叶图得到所有的数据从小到大排列依次为 12，14，20，23，25，26，30，31，31， 41，42，众数和中位数分别为 31，26 答案：B 3 （2021 衡水中学五调）某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了 2020 年 1 月至 2020 年 11 月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：千米）的数据，绘制了下面的 折线图 根据折线图，下列结论正确的是（ ） A月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的平均里程数 B月跑步平均里程逐月增加 C月跑步平均里程高峰期大致在 8 月和 9 月 D1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，
5、变化比较平稳 解析：由折线图知，月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的平均里程数，A 错；月跑步平均 里程不是逐月增加的，B 错；月跑步平均里程高峰期大致在 9 月和 10 月，C 错 答案：D 知识点二 样本的数字特征 1众数、中位数、平均数 数字特征 概念 优点与缺点 众数 一组数据中重复出现次数最多的数 众数通常用于描述变量的值出现次数 最多的数但显然它对其他数据信息 的忽视使它无法客观地反映总体特征 中位数 把一组数据按从小到大的顺序排列， 处在中间位置的一个数据（或两个数 据的平均数） 中位数等分样本数据所占频率，它不 受少数几个极端值的影响，这在某些 情况下是优点，但它对极端值的
6、不敏 感有时也会成为缺点 平均数 如果有 n 个数据 x1，x2，xn，那 么这 n 个数的平均数x x1x2xn n 平均数与每一个样本数据有关，可以 反映出更多的关于样本数据全体的信 息，但平均数受数据中的极端值的影 响较大，使平均数在估计总体时可靠 性降低 2标准差、方差 （ 1 ） 标 准 差 ： 样 本 数 据 到 平 均 数 的 一 种 平 均 距 离 ， 一 般 用 s 表 示 ， s 1 n（x1x ）2（x2x ）2（xnx ）2 （2）方差：标准差的平方 s2 s21 n（x1x ）2（x2x ）2（xnx ）2，其中 xi（i1，2，3，n）是样本数据， n 是样本容量，
7、x 是样本平均数 温馨提醒 1众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量 2平均数反映的是样本个体的平均水平，众数和中位数则反映样本中个体的“重心” 1已知样本数据 3，5，7，4，6，则该样本标准差为（ ） A1 B 2 C 3 D2 解析：数据 3，5，7，4，6 的平均数为x 1 5（35746）5，方差为 s 21 5（35） 2（55）2（75）2（45）2（65）22，标准差为 2 答案：B 2 （易错题）10 名工人某天生产同一零件，生产的零件数分别是 15，17，14，10，15，17， 17，16，14，12，设其平均数为 a，中位数为 b，众数为
8、c，则有（ ） Aabc Bbca Ccab Dcba 解析：依题意，这些数据由小到大依次是 10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，因此 aba 答案：D 授课提示：对应学生用书第 242 页 题型一 统计图表的应用 1 （2021 广州四校联考）如图是 2019 年第一季度 A、B、C、D、E 五省 GDP 情况图，则下 列叙述中不正确的是（ ） A2019 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是 A 省 B与 2018 年同期相比，各省 2019 年第一季度的 GDP 总量实现了增长 C2018 年同期 C 省的 GDP 总量不超过 4 000 亿元 D20
9、19 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有 1 个 解析：由折线图可知 A，B 正确；4 0674 （166%）3 816x） 解析： （1）频率分布直方图如图： （2）x250135015450355025650248， 即估计被采访的市民的平均年龄为 48 岁 （3）y20230340650560498a 20 958a 20 ， 故 P（yx）P（958a 20 48）P（a2）07 题型三 样本的数字特征及应用 例 （2019 高考全国卷）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查 了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长
10、率 y 的频数分布表 y 的分组 020，0） 0，020） 0 20， 0 40） 0 40， 0 60） 0 60， 0 80） 企业数 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表） （精确到 001） 附： 748602 解析 （1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的 100 个企业中产值增长率不低于 40% 的企业频率为147 100 021 产值负增长的企业频率为 2 100002 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值
11、增长率不低于 40%的企业比例为 21%，产值 负增长的企业比例为 2% （2）y 1 100（01020102403053050140707）030， s2 1 100 5 i1ni（yiy ）2 1 100（040） 22（020）224025302021404027 0029 6， s 0.029 6002 74017 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 030，017 利用样本的数字特征解决优化决策问题 （1）平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大 小标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散
12、程度越小，越稳定 （2）用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征 题组突破 1 （2020 高考全国卷） 设一组样本数据 x1， x2， ， xn的方差为 0 01， 则数据 10 x1， 10 x2， ， 10 xn的方差为（ ） A001 B01 C1 D10 解析：10 x1，10 x2，10 xn的方差为 1020011 答案：C 2为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分，制 成如图所示的茎叶图有下列结论： 甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数； 甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数； 从最近五
13、场比赛的得分看，乙比甲更稳定； 从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定 其中所有正确结论的编号为（ ） A B C D 解析：对于，甲得分的中位数为 29，乙得分的中位数为 30，错误；对于，甲得分的平均 数为1 5（2528293132）29，乙得分的平均数为 1 5（2829303132）30， 正确；对于，甲得分的方差为1 5（2529） 2（2829）2（2929）2（3129）2 （3229）21 5（161049）6，乙得分的方差为 1 5（2830） 2（2930） 2（3030）2（3130）2（3230）21 5（41014）2，所以乙比甲更稳 定，正确，错误所以正确结论的编号
14、为 答案：C 用样本估计总体应用中的核心素养 直观想象、数据分析用样本估计总体的创新问题 例 （2021 惠州市一调）某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学 季内，每售出 1 盒该产品获得的利润为 30 元，未售出的产品，每盒亏损 10 元该大学生通 过查询资料得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示该大学生为这个开学季购 进了 160 盒该产品，以 x（单位：盒，100 x200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单 位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润 （1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量 x 的众数和平均数； （2）将 y 表示为 x 的函数； （3）根
15、据直方图估计利润 y 不少于 4 000 元的概率 解析 （1）由题中频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量 x 的众数是 150 盒， 需求量在100，120）内的频率为 0005 02001， 需求量在120，140）内的频率为 0010 02002， 需求量在140，160）内的频率为 0015 02003， 需求量在160，180）内的频率为 0012 520025， 需求量在180，200内的频率为 0007 520015 则平均数x 110011300215003170025190015153（盒） （2）因为每售出 1 盒该产品获得的利润为 30 元，未售出的产品，每盒亏损 1
16、0 元， 所以当 100 x160 时，y30 x10（160 x）40 x1 600； 当 160 x200 时，y160304 800 所以 y 40 x1 600，100 x160， 4 800，160 x200. （3） 因为利润 y 不少于 4 000 元， 所以当 100 x160 时， 由 40 x1 6004 000， 解得 140 x 160； 当 160 x200 时，y4 8004 000 恒成立，所以 140 x200 时，利润 y 不少于 4 000 元 故由（1）知利润 y 不少于 4 000 元的概率 P1010207 用样本估计总体常与函数、不等式、概率求法等交
17、汇考查，处理时需注意读图数据的准确性 及交汇点的应用 对点训练 如图是依据某城市年龄在 20 岁到 45 岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已 知年龄在30，35） ，35，40） ，40，45的网民人数成递减的等差数列，则年龄在35，40）的 网民出现的频率为（ ） A004 B006 C02 D03 解析：由题意得，年龄在20，25）的网民出现的频率为 0015005，25，30）的网民 出现的频率为 0075035，又30，35） ，35，40） ，40，45的网民人数成递减的等差 数列，则其频率也成等差数列，又30，45的频率为 100503506，则年龄在35， 40）的网民出现的频率为 06 302 答案：C
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