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    2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:9.3 二项式定理

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    2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:9.3 二项式定理

    1、第三节 二项式定理 命题分析预测 学科核心素养 本节是高考的重点,主要考查二项展开式的通项、二 项式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、 参数问题等,一般以选择题和填空题的形式出现,难 度中等 本节主要考查学生的数学运算核心 素养和转化与化归思想的应用 授课提示:对应学生用书第 209 页 知识点一 二项式定理 1二项式定理 (1)定理:公式(ab)nC0nanC1nan 1bCk na nkbkCn nb n(nN*)叫做二项式定 理 (2)通项:Tk1Cknan kbk为展开式的第 k1 项 2二项式系数与项的系数 (1)二项式系数:二项展开式中各项的系数 Ckn(k0,1,n )叫

    2、做二项式系数 (2)项的系数:项的系数是该项中非字母因数部分,包含符号等,与二项式系数是两个不同 的概念 温馨提醒 1二项式的通项易误认为是第 k 项,实质上是第 k1 项 2易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念,注意项的系数是指非 字母因数所有部分,包含符号,二项式系数仅指 Ckn(k0,1,n) 1 1 x x 10 的展开式中 x2的系数等于( ) A45 B20 C30 D90 解析:因为展开式的通项为 Tr1(1)rCr10 x r 2x(10r)(1)rCr 10 x103 2r,令10 3 2r 2,得 r8,所以展开式中 x2的系数为(1)8C81045

    3、答案:A 2若 x1 x n 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为 解析:二项式系数之和 2n64,所以 n6,Tk1Ck6 x6 k 1 x k Ck6x6 2k,当 62k0,即当 k 3 时为常数项,T4C3620 答案:20 知识点二 二项式系数的性质 1二项式系数的性质 性质 内容 对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即 Cm nC nm n 增减性 当 kn1 2 时,二项式系数逐渐增大; 当 kn1 2 时,二项式系数逐渐减小 最大值 当 n 是偶数时,中间一项 第n 21项 的二项式系数最大,最大值为 C n 2n; 当 n 是奇数时,中间两项 第n1

    4、2 1项和第n1 2 1项 的二项式系数相 等,且同时取得最大值,最大值为 C n1 2 n或 C n1 2 n 2各二项式系数的和 (ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于 2n,即 C0nC1nC2nCknCnn2n 二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即 C1nC3nC5n C0nC2nC4n2n 1 1 (2021 福州模拟)设 n 为正整数, x 2 x3 n 的展开式中仅有第 5 项的二项式系数最大,则展 开式中的常数项为( ) A112 B112 C60 D60 解析:依题意得,n8,所以展开式的通项 Tr1Cr8x8 r 2 x3 r Cr8x8

    5、4r(2)r,令 84r 0,解得 r2,所以展开式中的常数项为 T3C28(2)2112 答案:B 2已知(12x)n展开式中,奇数项的二项式系数之和为 64,则(12x)n(1x)的展开 式中含 x2项的系数为( ) A71 B70 C21 D49 解析:因为奇数项的二项式系数之和为 2n 1,所以 2n164,n7,因此(12x)n(1x) 的展开式中含 x2项的系数为 C27(2)2C17(2)70 答案:B 3若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4,则 a0a2a4的值为_ 解析:令 x1,则 a0a1a2a3a40,令 x1,则 a0a1a2a3a416,两式相加 除以 2

    6、 得 a0a2a48 答案:8 授课提示:对应学生用书第 210 页 题型一 二项展开式中的特定项或系数 1 (2021 重庆巴蜀中学二诊)二项式 1 xx 2 10 的展开式中的常数项是( ) A45 B10 C45 D65 解析:由二项式定理得 Tr1Cr10 1 x 10r (x2)rCr10(1)rx5r 2 5,令5r 2 50 得 r2, 所以常数项为 C210(1)245 答案:C 2若二项式 2xa x 7 的展开式中 1 x3的系数是 84,则实数 a( ) A2 B54 C1 D 2 4 解析:展开式中含1 x3的项是 T6C 5 7(2x) 2 a x 5 C5722a5

    7、x 3,故有 C5 72 2a584,解得 a1 答案:C 3 (2020 高考天津卷)在 x 2 x2 5 的展开式中,x2的系数是_ 解析:因为 x2 x2 5 的展开式的通项公式为 Tr1Cr5x5 r 2 x2 r Cr5 2r x5 3r(r0,1,2,3,4, 5) ,令 53r2,解得 r1所以 x2的系数为 C15210 答案:10 4 (2020 高考全国卷) x22 x 6 的展开式中常数项是 (用数字作答) 解析: x22 x 6 的展开式的通项为 Tr1Cr6(x2) 6r 2 x r Cr62rx12 3r,令 123r0,解得 r4, 得常数项为 C4624240

    8、答案:240 与二项展开式有关问题的解题策略 (1)求展开式中的特定项,可依据条件写出第 r1 项,再由特定项的特点求出 r 值即可 (2)已知展开式的某项,求特定项的系数,可由某项得出参数项,再由通项写出第 r1 项, 由特定项得出 r 值,最后求出其参数 (3)对于三项式问题,一般是通过合并、拆分或进行因式分解,转化成二项式定理的形式去 求解或看成几个因式的乘积,再利用组合数公式求解 题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题 例 1 在 x 3 x n 的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为 641,则 x3的系数为 ( ) A15 B45 C135 D405 解析 由题意知4 n 2

    9、n64,得 n6,展开式的通项为 Tr1C r 6x 6r 3 x r 3rCr6x63r 2 ,令 63r 2 3,得 r2,则 x3的系数为 32C26135 答案 C 例 2 若(1x)9a0a1xa2x2a9x9,则|a1|a2|a3|a9|( ) A1 B513 C512 D511 解析 令 x0,得 a01,令 x1,得|a1|a2|a3|a9|1(1)91291 511 答案 D 赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式,对于 x,y 的一切值都成立因此,可将 x,y 设定为一些特 殊的值在使用赋值法时,令 x,y 等于多少,应视具体情况而定,一般取“1,1 或 0”, 有时也

    10、取其他值如: (1)形如(axb)n, (ax2bxc)m(a,bR)的式子,求其展开式的各项系数之和,只 需令 x1 即可 (2)形如(axby)n(a,bR)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令 xy1 即可 题组突破 1 x 1 3 x n 的展开式中各项系数之和大于 8, 但小于 32, 则展开式中系数最大的项是 ( ) A63x B 4 x C4x6x D 4 x或 4x 6 x 解析:令 x1,可得 x 1 3 x n 的展开式中各项系数之和为 2n,即 82n32,解得 n4,故 第 3 项的系数最大,所以展开式中系数最大的项是 C24( x)2 1 3 x 2 63x 答案:

    11、A 2若(1x) (12x)8a0a1xa9x9,xR,则 a1 2a2 22a9 29的值为( ) A29 B291 C39 D391 解析: (1x) (12x)8a0a1xa2x2a9x9,令 x0,得 a01;令 x2,得 a0a1 2 a2 22a9 2939,所以 a1 2a2 22a9 29391 答案:D 二项式定理应用中的核心素养 数学运算几个多项式的展开式问题 1几个多项式的和的展开式问题 例 1 (2020 高考浙江卷)二项展开式(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5,则 a4 ;a1a3a5_ 解析 由题意,得 a4C452451680 当 x1 时,

    12、(12)5a0a1a2a3a4a535243, 当 x1 时, (12)5a0a1a2a3a4a51 得,2(a1a3a5)243(1)244, 可得 a1a3a5122 答案 80 122 对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题,只需依据二项展开式的通项公式,从 每一个多项式中分别得到特定的项,再求和即可 2几个多项式的积的展开式问题 例 2 (2021 唐山摸底) xy 2 x (xy)5的展开式中 x3y3的系数为( ) A5 B10 C15 D20 解析 (xy)5展开式的通项公式为 Tr1Cr5x5 ryr(rN 且 r5) , 所以 xy 2 x 的各项与(xy)5展开式的

    13、通项的乘积可表示为: xTr1xCr5x5 ryrCr 5x 6ryr和y 2 x Tr1y 2 x Cr5x5 ryrCr 5x 4ryr2, 在 xTr1Cr5x6 ryr 中,令 r3,可得:xT4C35x3y3,该项中 x3y3的系数为 10, 在y 2 xTr1C r 5x 4ryr2中,令 r1,可得:y 2 x T2C15x3y3,该项中 x3y3的系数为 5, 所以 x3y3的系数为 10515 答案 C 求解形如(ab)m(cd)n的展开式问题的思路 (1)若 m,n 中有一个比较小,可考虑把它展开,如(ab)2 (cd)n(a22abb2) (cd)n,然后分别求解 (2)

    14、观察(ab) (cd)是否可以合并,如(1x)5 (1x)7(1x) (1x)5(1 x)2(1x2)5(1x)2 (3)分别得到(ab)m, (cd)n的通项,综合考虑 3三项展开式的特定项问题 例 3 (x2xy)5的展开式中 x5y2的系数为( ) A10 B20 C30 D60 解析 (x2xy)5的展开式的通项为 Tr1Cr5(x2x)5 r yr,令 r2,则 T 3C 2 5(x 2x) 3y2,又(x2x)3的展开式的通项为 T k1C k 3(x 2)3k xkCk 3x 6k,令 6k5,则 k1,所 以(x2xy)5的展开式中,x5y2的系数为 C25C1330 答案 C

    15、 三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法 (1)通常将三项式转化为二项式积的形式,然后利用二项展开式中的特定项(系数)问题的 处理方法求解 (2)将其中某两项看成一个整体,直接利用二项式定理展开,然后再分类考虑特定项产生的 所有可能情形 题组突破 1 (2020 高考全国卷) xy 2 x (xy)5的展开式中 x3y3的系数为( ) A5 B10 C15 D20 解析:法一: xy 2 x (xy)5 xy 2 x (x55x4y10 x3y210 x2y35xy4y5) ,x3y3的系 数为 10515 法二:当 xy 2 x 中取 x 时,x3y3的系数为 C35, 当 xy 2 x 中取y 2 x 时,x3y3的系数为 C15, x3y3的系数为 C35C1510515 答案:C 2 (xy2)6的展开式中 y4的系数为( ) A40 B60 C40 D60 解析:法一:因为(xy2)6(x2)y6,所以展开式中含 y4的项为 C46(x2)2( y)415x2y460 xy460y4,所以展开式中 y4的系数为 60 法二:由于(xy2)6的展开式中 y4项不含 x,所以(xy2)6的展开式中 y4项就是(2 y)6的展开式中 y4项,即 C4622(y)460y4,所以(xy2)6的展开式中 y4的系数为 60 答案:B


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