1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 命题分析预测 学科核心素养 本节是高考的重点，主要考查直线与圆的位置关系、弦长 问题、切线问题、圆与圆的位置关系，一般以选择题和填 空题的形式出现，有时与椭圆、双曲线、抛物线交汇命题 本节主要考查考生的数学运算、 直观想象核心素养和数形结合 思想的运用 授课提示：对应学生用书第 174 页 知识点一 直线与圆的位置关系 设圆 C： （xa）2（yb）2r2，直线 l：AxByC0，圆心 C（a，b）到直线 l 的距离 为 d，由 （xa）2（yb）2r2， AxByC0， 消去 y（或 x）得到关于 x（或 y）的一元二次方程，其判别式为 方法 位置关系 几
2、何法 代数法 相交 dr 0 相切 dr 0 相离 dr 0 温馨提醒 与圆的切线有关的结论 （1）与圆 x2y2r2相切于点 P（x0，y0）的切线方程为 x0 xy0yr2 （2）与圆（xa）2（yb）2r2相切于点 P（x0，y0）的切线方程为（x0a） （xa） （y0b） （yb）r2 （3）过圆 x2y2r2外一点 P（x0，y0）作圆的两条切线，切点分别为 A，B，则过 A、B 两点 的直线方程为 x0 xy0yr2 1若直线 xy10 与圆（xa）2y22 有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A3，1 B1，3 C3，1 D （，31，） 解析：由题意可得，圆的圆心为（a
3、，0） ，半径为 2， |a01| 12（1）2 2，即|a1|2，解得3a1 答案：C 2直线 xy20 与圆（x1）2（y2）21 相交于 A，B 两点，则弦|AB|（ ） A 2 2 B 3 2 C 3 D 2 解析：圆心（1，2）到直线 xy20 的距离 d 2 2 ， |AB|212 2 2 2 2 答案：D 3 （易错题）已知圆 C：x2y29，过点 P（3，1）作圆 C 的切线，则切线方程为_ 解析：由题意知 P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为 x3，满足题意；当切线斜率 存在时，设斜率为 k，所以切线方程为 y1k（x3） ，所以 kxy13k0，所以 |k0013k|
4、 k2（1）2 3，所以 k4 3，所以切线方程为 4x3y150综上，切线方程为 x3 或 4x3y150 答案：x3 或 4x3y150 知识点二 圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为 R，r，Rr，圆心距为 d，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 dRr dRr RrdRr dRr dRr 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 温馨提醒 1两相交圆的公共弦所在直线的方程 设圆 C1：x2y2D1xE1yF10 ，圆 C2：x2y2D2xE2yF20 ，若两圆相交， 则有一条公共弦
5、，由，得（D1D2）x（E1E2）yF1F20 ，方程表示圆 C1与 C2的公共弦所在直线的方程 2过已知两圆交点的圆系方程 过已知两圆 C1：x2y2D1xE1yF10 和 C2：x2y2D2xE2yF20 的交点的圆系方程 为 x2y2D1xE1yF1（x2y2D2xE2yF2）0（不含圆 C2） ，其中 为参数且 1 1圆 x24xy20 与圆 x2y24x30 的公切线共有（ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 解析：圆 x24xy20，即（x2）2y24，其圆心坐标为（2，0） ，半径为 2； 圆 x2y24x30，即（x2）2y21，其圆心坐标为（2，0） ，半径为 1，
6、则两圆的圆心距为 4，两圆半径和为 3， 因为 43，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有 4 条 答案：D 2若圆 x2y24 与圆 x2y22ay60（a0）的公共弦长为 2 3，则 a_ 解析：两圆公共弦所在直线方程为（x2y22ay6）（x2y24）0，得 y1 a 所以 1 a 2 （ 3）222，得 a1 答案：1 授课提示：对应学生用书第 175 页 题型一 直线与圆的位置关系 1直线 l：mxy1m0 与圆 C：x2（y1）25 的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D不确定 解析：由 mxy1m0， x2（y1）25， 消去 y，整理得（1m2）x22m2xm2
7、50， 因为 16m2200，所以直线 l 与圆 C 相交 答案：A 2直线 y 3 3 xm 与圆 x2y21 在第一象限内有两个不同的交点，则 m 的取值范围是 （ ） A （ 3，2） B （ 3，3） C 3 3 ，2 3 3 D 1，2 3 3 解析：当直线经过点（0，1）时，直线与圆有两个不同的交点，此时 m1；当直线与圆相切 时，圆心到直线的距离 d |m| 3 3 2 1 1，解得 m2 3 3 （切点在第一象限） ，所以要使直线 与圆在第一象限内有两个不同的交点，则 1m2 3 3 答案：D 3若圆 x2y2r2（r0）上恒有 4 个点到直线 xy20 的距离为 1，则实数
8、r 的取值范围 是（ ） A （ 21，） B （ 21， 21） C （0， 21） D （0， 21） 解析： 计算得圆心到直线 l 的距离为 2 2 21，如图直线 l：xy20 与圆相交，l1，l2 与 l 平行，且与直线 l 的距离为 1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线 l2的距离 2 1 答案：A 判断直线与圆的位置关系的两大策略 （1）若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法 （2）若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较烦琐，则用代数法能用几何法，尽 量不用代数法 题型二 直线与圆的位置关系的应用 考法（一） 切线问题 例 1 （1）已知点 P（ 21，2
9、2） ，圆 C： （x1）2（y2）24，则过点 P 的圆 C 的切线方程为_ 解析 由题意得，圆心 C（1，2） ，半径 r2因为（ 211）2（2 22）24，所 以点 P 在圆 C 上， 又 kPC2 22 2111， 所以切线的斜率 k 1 kPC1，所以过点 P 的圆 C 的切线方程是 y（2 2）1x（ 21），即 xy12 20 答案 xy12 20 （2）由直线 yx1 上的一点向圆（x3） 2y21 引切线，则切线长的最小值为_ 解析 设圆心为 C（3，0） ，P 为直线 yx1 上一动点，过 P 向圆引切线，切点设为 N，所 以|PN|min （ |PC|21）min|PC
10、|2min1， 又|PC|min |301| 12（1）22 2， 所以|PN| min 7 答案 7 圆的切线方程的求法 （1）几何法：设切线方程为 yy0k（xx0） ，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线 的距离 d，然后令 dr，进而求出 k （2）代数法：设切线方程为 yy0k（xx0） ，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一 元二次方程，然后令判别式 0 进而求得 k 考法（二） 弦长问题 例 2 （1） （2020 高考全国卷）已知圆 x2y26x0，过点（1，2）的直线被该圆所截 得的弦的长度的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 解析 圆的方程可化为（x3）2y29，故
11、圆心的坐标为 C（3，0） ，半径 r3如图，记 点 M（1，2） ，则当 MC 与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC|2 2，弦 的长度 l2 r2|MC|22 982 答案 B （2）设直线 yx2a 与圆 C：x2y22ay20 相交于 A，B 两点，若|AB|2 3，则圆 C 的面积为_ 解析 圆 C 的方程可化为 x2 （ya） 2a22， 可得圆心的坐标为 C （0， a） ， 半径 r a22， 所以圆心到直线 xy2a0 的距离为|a2a| 2 |a| 2，所以 |a| 2 2 （ 3）2（ a22）2， 解得 a22，所以圆 C 的半径为 2，所以圆 C 的面
12、积为 4 答案 4 求直线与圆相交弦长的常用方法 （1）几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算 弦长|AB|2 r2d2 （2）代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与 系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB| 1k2|x1x2| 题组突破 1若 a，b，c 是ABC 三个内角的对边，且 csin C3asin A3bsin B，则直线 l：axbyc 0 被圆 O：x2y212 所截得的弦长为（ ） A4 6 B2 6 C6 D5 解析：因为 a sin A b sin B c sin C， 故由 csin C3a
13、sin A3bsin B 可得 c23（a2b2） 圆 O：x2y212 的圆心为 O（0，0） ，半径为 r2 3，圆心 O 到直线 l 的距离 d |c| a2b2 3，所以直线 l 被圆 O 所截得的弦长为 2 r2d22（2 3）2（ 3）26 答案：C 2 （2021 哈尔滨模拟）已知过点 P（2，2）的直线与圆（x1）2y25 相切，且与直线 x ay10 平行，则 a_ 解析：因为点 P 在圆（x1）2y25 上，所以过点 P（2，2）与圆（x1）2y25 相切的 切线方程为（21） （x1）2y5，即 x2y60，由直线 x2y60 与直线 xay1 0 平行，得a2，a2 答
14、案：2 题型三 圆与圆的位置关系 例 已知两圆 C1：x2y22x6y10 和 C2：x2y210 x12y450 （1）求证：圆 C1和圆 C2相交； （2）求圆 C1和圆 C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长 解析 （1）证明：由题意可知，圆 C1的圆心为 C1（1，3） ，半径 r1 11，圆 C2的圆心为 C2（5，6） ，半径 r24，两圆的圆心距 d|C1C2|5，r1r2 114，|r1r2|4 11， |r1r2|dr1r2，圆 C1和 C2相交 （2）圆 C1和圆 C2的方程左右两边分别相减，整理得 4x3y230， 两圆的公共弦所在直线的方程为 4x3y230 圆心 C2（
15、5，6）到直线 4x3y230 的距离 d|201823| 169 3， 故公共弦长为 2 1692 7 1判断两圆位置关系的方法 常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法 2两圆公共弦长的求法 先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距 d，半弦长l 2，半径 r 构成直角三角 形，利用勾股定理求解 对点训练 已知圆 C1： （xa）2（y2）24 与圆 C2： （xb）2（y2）21 外切，则 ab 的最大值 为（ ） A 6 2 B3 2 C9 4 D2 3 解析：由圆 C1与圆 C2外切，可得 （ab）2（22）2213，解得（ab）2a2 2a
16、bb29，根据基本不等式可知 9a22abb22ab2ab4ab，即 ab9 4，当且仅当 a b 时，等号成立 答案：C 直线与圆位置关系中的核心素养 数学运算直线与圆位置关系的综合应用 例 （2019 高考全国卷）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB|4，M 过点 A，B 且 与直线 x20 相切 （1）若 A 在直线 xy0 上，求M 的半径； （2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由 解析 （1）因为M 过点 A，B，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上由已知 A 在直线 x y0 上，且 A，B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线
17、 yx 上，故可设 M（a，a） 因为M 与直线 x20 相切，所以M 的半径为 r|a2| 由已知得|AO|2又 MOAO，故可得 2a24（a2）2， 解得 a0 或 a4 故M 的半径 r2 或 r6 （2）存在定点 P（1，0） ，使得|MA|MP|为定值 理由如下： 设 M（x，y） ，由已知得M 的半径为 r|x2|，|AO|2 由于 MOAO，故可得 x2y24（x2）2，化简得 M 的轨迹方程为 y24x 因为曲线 C：y24x 是以点 P（1，0）为焦点，以直线 x1 为准线的抛物线，所以|MP|x 1 因为|MA|MP|r|MP|x2（x1）1， 所以存在满足条件的定点 P
18、 求解与圆有关的定值问题时，常使用的方法有： （1）直接计算或证明，如本题第（2）问的证 明； （2）先特殊后一般，即先利用特殊情况得到定值，再证明一般情况也满足； （3）先设后 求，即先设出定值，再利用待定系数法求解 对点训练 已知过点 A（0，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： （x2）2（y3）21 交于 M，N 两点 （1）求 k 的取值范围； （2）若OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求|MN| 解析： （1）由题设可知直线 l 的方程为 ykx1 因为直线 l 与圆 C 交于两点， 所以|2k31| 1k2 1 解得4 7 3 k4 7 3 所以 k 的取值范围为 4 7 3 ，4 7 3 （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） 将 ykx1 代入方程（x2）2（y3）21， 整理得（1k2）x24（1k）x70 所以 x1x24（1k） 1k2 ，x1x2 7 1k2 OM ON x1x2y1y2（1k2）x1x2k（x1x2）1 4k（1k） 1k2 8 由题设可得4k（1k） 1k2 812，解得 k1， 所以直线 l 的方程为 yx1 故圆心 C 在直线 l 上，所以|MN|2
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