1、第六节 抛物线 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的考查情况来看，抛物线的定义、标准方程、几何 性质以及直线与抛物线的位置关系是高考的命题热点，常以 选择题和填空题的形式出现，直线与抛物线的位置关系常以 解答题的形式出现 本节主要考查考生的转化与化 归思想的运用，提升考生数学 运算、直观想象核心素养 授课提示：对应学生用书第 181 页 知识点一 抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内； （2）动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相等； （3）定点不在定直线上 温馨提醒 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹 是过
2、定点且与直线垂直的直线 1抛物线 y28x 上到其焦点 F 距离为 5 的点 P 有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D4 个 解析：设 P（x1，y1） ，则|PF|x125，y218x1，所以 x13，y1 2 6故满足条件的点 P 有两个 答案：C 2 （易错题）设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是 _ 解析：抛物线 y28x 的准线方程 x2，因为点 P 到 y 轴的距离为 4，所以点 P 到准线的距 离为 6，由抛物线定义知点 P 到焦点的距离为 6 答案：6 知识点二 抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y22px （p0）
3、 y22px （p0） x22py （p0） x22py （p0） p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O（0，0） 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 F p 2，0 F p 2，0 F 0，p 2 F 0，p 2 离心率 e1 续表 准线方程 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径（其中 P（x0，y0） ） |PF|x0p 2 |PF|x0 p 2 |PF|y0p 2 |PF|y0 p 2 温馨提醒 抛物线焦点弦的几个常用结论 设 AB 是过抛物线 y22px（p0）的焦点 F
4、 的弦， 若 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则： （1）x1x2p 2 4 ，y1y2p2 （2）弦长|AB|x1x2p 2p sin2（ 为弦 AB 的倾斜角） （3）以弦 AB 为直径的圆与准线相切 （4）通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于 2p 1 （易错题）抛物线 yax2的准线方程是 y1，则 a 的值为（ ） A1 4 B1 4 C4 D4 解析：由题意知抛物线的标准方程为 x21 ay，所以准线方程 y 1 4a1，解得 a 1 4 答案：B 2过点 P（2，3）的抛物线的标准方程是（ ） Ay29 2x 或 x 24 3y By29 2x 或 x 24 3y Cy29
5、 2x 或 x 24 3y Dy29 2x 或 x 24 3y 解析：设抛物线的标准方程为 y2kx 或 x2my，代入点 P（2，3） ，解得 k9 2，m 4 3， 所以 y29 2x 或 x 24 3y 答案：A 3过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P（x1，y1） ，Q（x2，y2）两点，如果 x1x26， 则|PQ|_ 解析： 抛物线 y24x 的焦点为 F （1， 0） ， 准线方程为 x1 根据题意可得， |PQ|PF|QF| x11x21x1x228 答案：8 授课提示：对应学生用书第 182 页 题型一 抛物线的标准方程及几何性质 1 （2021 宜春联考）已
6、知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 M 是抛物线 C 上一点， 圆 M 与 y 轴相切，且被直线 xp 2截得的弦长为 2p，若|MF| 5 2，则抛物线的方程为（ ） Ay24x By22x Cy28x Dy2x 解析：设圆 M 与 y 轴相切于点 N，直线 xp 2与圆 M 交于 A，B 两点，如图所示，设 M（x0， y0） ，则|MN|MA|MB|x0，|AB| 2p，所以 2 2 p 2 x0p 2 2 x20，解得 x03 4p，由抛物 线的定义知，|MF|x0p 2，因为|MF| 5 2，所以 5 2 3 4p 1 2p，即 p2，所以抛物线方程为 y 2 4x 答
7、案：A 2已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交 点，若FP 4FQ ，则|QF|（ ） A7 2 B5 2 C3 D2 解析：因为FP 4FQ ，所以|PQ| |PF| 3 4如图，过 Q 作 QQl，垂足为 Q，设 l 与 x 轴的交点为 A，则|AF|4，所以|PQ| |PF| |QQ| |AF| 3 4所以|QQ|3，根据抛物线定义可知|QQ|QF|3 答案：C 3 （2021 辽宁五校联考）抛物线 C：y24x 的焦点为 F，N 为准线上一点，M 为 y 轴上一点， MNF 为直角，若线段 MF 的中点 E 在抛物线
8、 C 上，则MNF 的面积为（ ） A 2 2 B 2 C3 2 2 D3 2 解析：如图所示，不妨设点 N 在第二象限，连接 EN，易知 F（1，0） ，因为MNF 为直角， 点 E 为线段 MF 的中点，所以|EM|EF|EN|，又 E 在抛物线 C 上，所以 ENl，E 1 2， 2 ， 所以 N（1， 2） ，M（0，2 2） ，所以|NF| 6，|NM| 3，所以MNF 的面积为3 2 2 答案：C 4 （2020 高考全国卷）设 O 为坐标原点，直线 x2 与抛物线 C：y22px（p0）交于 D， E 两点，若 ODOE，则 C 的焦点坐标为（ ） A 1 4，0 B 1 2，0
9、 C （1，0） D （2，0） 解析：法一：抛物线 C 关于 x 轴对称，D，E 两点关于 x 轴对称可得出直线 x2 与抛 物线的两交点的坐标分别为（2，2 p） ， （2，2 p） 不妨设 D（2，2 p） ，E（2，2 p） ， 则OD （2，2 p） ，OE （2，2 p） 又ODOE，OD OE 44p0，解得 p1， C 的焦点坐标为 1 2，0 法二：抛物线 C 关于 x 轴对称，D，E 两点关于 x 轴对称ODOE，D，E 两点横、 纵坐标的绝对值相等不妨设点 D（2，2） ，将点 D 的坐标代入 C：y22px，得 44p，解得 p1，故 C 的焦点坐标为 1 2，0 答案
10、：B 1求抛物线方程的三个注意点 （1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种 （2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系 （3）要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题 2运用抛物线几何性质的技巧 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称 轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性 题型二 抛物线的定义及应用 与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等常见的命题角度有： （1）焦点与定点距离之和最小问题； （2）点与准线的距离之和最小问题； （3
11、）焦点弦中距离 之和最小问题 考法（一） 焦点与定点距离之和最小问题 例 1 （2021 赣州模拟）若点 A 的坐标为（3，2） ，F 是抛物线 y22x 的焦点，点 M 在抛物 线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的 M 的坐标为（ ） A （0，0） B 1 2，1 C （1， 2） D （2，2） 解析 过 M 点作准线的垂线，垂足是 N（图略） ，则|MF|MA|MN|MA|，当 A，M，N 三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时 M（2，2） 答案 D 考法（二） 点与准线的距离之和最小问题 例 2 （2021 邢台摸底）已知 M 是抛物线 x24y 上一点，F 为其焦点，点
12、A 在圆 C： （x1） 2（y5）21 上，则|MA|MF|的最小值是_ 解析 依题意，由点 M 向抛物线 x24y 的准线 l：y1 引垂线，垂足为 M1（图略） ，则有 |MA|MF|MA|MM1|，结合图形可知|MA|MM1|的最小值等于圆心 C（1，5）到 y 1 的距离再减去圆 C 的半径，即等于 615，因此|MA|MF|的最小值是 5 答案 5 考法（三） 焦点弦中距离之和最小问题 例 3 已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 y 轴垂 线，垂足分别为 C，D，则|AC|BD|的最小值为_ 解析 由题意知 F（1，0） ，|AC
13、|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时 当且仅当|AB|取得最小值， 依抛物线定义知当|AB|为通径， 即|AB|2p4 时为最小值， 所以|AC| |BD|的最小值为 2 答案 2 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 （1） 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离， 构造出“两点之间线段最短”， 使问题得解 （2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂 线段最短”原理解决 题组突破 1已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，则抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1和直 线 l2的距离之和的最小值是_ 解
14、析：由题可知 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，设抛物线的焦点 F 为（1，0） ，则动点 P 到 l2的距离等于|PF|，则动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值即为焦点 F 到直线 l1： 4x3y60 的距离，所以最小值是|406| 5 2 答案：2 2 （2021 上海虹口区模拟）已知点 M（20，40） ，抛物线 y22px（p0）的焦点为 F若对 于抛物线上的任意点 P，|PM|PF|的最小值为 41，则 p 的值等于_ 解析：过点 P 作抛物线准线的垂线，垂足为 D，则|PF|PD|根据点 M 与抛物线的位置分类 讨论，当点 M（20，40）位于抛物线内时，
15、如图（1） ，|PM|PF|PM|PD| 当点 M，P，D 共线时，|PM|PF|的值最小 由最小值为 41，得 20p 241，解得 p42 当点 M（20，40）位于抛物线外时，如图（2） ，当点 P，M，F 共线时，|PM|PF|的值最小 由最小值为 41，得 402 20p 2 2 41，解得 p22 或 58 当 p58 时，y2116x，点 M（20，40）在抛物线内，故舍去 综上，p42 或 22 答案：42 或 22 题型三 直线与抛物线的位置关系 例 （2019 高考全国卷）已知曲线 C：yx 2 2，D 为直线 y 1 2上的动点，过 D 作 C 的两 条切线，切点分别为
16、A，B （1）证明：直线 AB 过定点； （2）若以 E 0，5 2 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的 面积 解析 （1）证明：设 D t，1 2 ，A（x1，y1） ， 则 x212y1 因为 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1，故 y11 2 x1tx1 整理得 2tx12y110 设 B（x2，y2） ，同理可得 2tx22y210 故直线 AB 的方程为 2tx2y10 所以直线 AB 过定点 0，1 2 （2）由（1）得直线 AB 的方程为 ytx1 2 由 ytx 1 2， yx 2 2 可得 x22tx10 于是 x1x22t，x
17、1x21， y1y2t（x1x2）12t21， |AB| 1t2|x1x2| 1t2 （x1x2）24x1x22（t21） 设 d1，d2分别为点 D，E 到直线 AB 的距离， 则 d1 t21，d2 2 t21 因此，四边形 ADBE 的面积 S1 2|AB|（d1d2）（t 23） t21 设 M 为线段 AB 的中点，则 M t，t21 2 因为EM AB ，而EM （t，t22） ，AB 与向量（1，t）平行， 所以 t（t22）t0，解得 t0 或 t 1 当 t0 时，S3；当 t 1 时，S4 2 因此，四边形 ADBE 的面积为 3 或 4 2 直线与抛物线相交问题处理规律
18、（1）凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免 求交点坐标的复杂运算解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦 点弦的几何性质 （2）对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理， 最好是作出草图，由图像结合几何性质做出解答并注意“设而不求”“整体代入”“点差 法”的灵活应用 （3）对于抛物线 x22py 的切线问题，常结合导数的几何意义求解切线的斜率由 yx 2 2p得 k yx0 p 对点训练 设 A，B 为曲线 C：yx 2 4上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4 （1）求直线 AB 的斜率； （2）设
19、M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求直线 AB 的方 程 解析： （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 x1x2，y1x 2 1 4，y2 x22 4，x1x24， 于是直线 AB 的斜率 ky1y2 x1x2 x1x2 4 1 （2）由 yx 2 4，得 y x 2设 M（x3，y3） ，由题设知 x3 21，解得 x32，于是 M（2，1） 设直 线 AB 的方程为 yxm，故线段 AB 的中点为 N（2，2m） ，|MN|m1|将 yxm 代 入 yx 2 4得 x 24x4m0当 16（m1）0，即 m1 时，x 1，22
20、2 m1从而|AB| 2|x1x2|4 2（m1）由题设知|AB|2|MN|，即 4 2（m1）2（m1） ，解得 m 7所以直线 AB 的方程为 yx7 抛物线几何性质应用中的核心素养 直观想象抛物线几何性质的创新应用 例 （2021 合肥调研）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，斜率为 k 的直线过 F 交 C 于点 A，B，AF 2FB，则直线 AB 的斜率为（ ） A2 2 B2 3 C 2 2 D 2 3 解析 法一：由题意知 k0，F p 2，0 ，则直线 AB 的方程为 yk xp 2 ，代入抛物线方程 消去 x，得 y22p k yp20不妨设 A（x1，y1） （x
21、10，y10） ，B（x2，y2） ，因为AF 2FB， 所以 y12y2又 y1y2p2，所以 y2 2 2 p，x2p 4，所以 kAB 2 2 p0 p 4 p 2 2 2根据对 称性可得直线 AB 的斜率为 2 2 法二：如图，过 A，B 分别作准线的垂线，垂足分别为 D，E，设直线 AB 交准线于 M，由抛 物线的定义知|AF|AD|，|BF|BE|，结合AF 2FB，知|BE|1 2|AD| 1 3|AB|，则 BE 为AMD 的中位线，所以|AB|BM|，所以|BE|1 3|BM|，所以|ME| |BM|2|BE|22 2|BE|，所以 tanMBE|ME| |BE|2 2， 即
22、此时直线AB的斜率为2 2， 根据对称性可得直线AB的斜率为 2 2 答案 C 求解此类问题有两种方法：一是利用条件坐标化解决，注意几何性质的运用；二是数形结合 充分利用平面几何性质，结合定义转化求解，注意向量的工具作用 对点训练 （2021 惠州调研）已知 F 是抛物线 C：y2x2的焦点，N 是 x 轴上一点，线段 FN 与抛物线 C 相交于点 M，若 2FM MN ，则|FN|（ ） A5 8 B1 2 C3 8 D1 解析：法一：因为抛物线 C：y2x2，所以 F 0，1 8 ，抛物线 C 的准线方程为 y1 8如图， 过点 M 作抛物线准线的垂线， 交 x 轴于点 A， 交抛物线 C 的准线于点 B， 则 MAOF， 所以|MA| |OF| |MN| |FN|因为 2FM MN ，所以|MA|2 3 1 8 1 12，|MF|MB| 1 12 1 8 5 24，|FN|3|FM| 5 8 法二：因为抛物线 y2x2，所以 F 0，1 8 设 N（x0，0） ，则由 2FM MN ，可得 M 1 3x0， 1 12 ， 代入抛物线方程，得 1 122 1 3x0 2 ，解得 x203 8，则|FN| |ON|2|OF|2 3 8 1 64 5 8 答案：A
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