1、第二节 两直线的位置关系 命题分析预测 学科核心素养 本节内容单独考查较少，多与其他知识交汇考查常涉及充 要条件、直线与圆锥曲线的位置关系等内容，多为选择题 通过两直线的位置关系、对称 问题的考查，提升数学运算核 心素养 授课提示：对应学生用书第 167 页 知识点一 两直线的位置关系 1两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2k1k2特别地，当直线 l1， l2的斜率都不存在时，l1与 l2平行 （2）两条直线垂直 如果两条直线 l1，l2斜率都存在，设为 k1，k2，则 l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，
2、 另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直 2两直线相交 直线 l1： A1xB1yC10 和 l2： A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组 A1xB1yC10， A2xB2yC20 的解一一对应 相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行方程组无解； 重合方程组有无数个解 温馨提醒 两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一 条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况 1 已知过点 A （2， m） 和 B （m， 4） 的直线与直线 2xy10 平行， 则实数 m 的值为 （ ） A0 B8 C2 D10 解析：由题意知 4m m（2）2
3、，解得 m8 答案：B 2已知 P（2，m） ，Q（m，4） ，且直线 PQ 垂直于直线 xy10，则 m（ ） A1 B2 C3 D4 解析：由题意知 m4 2m1，所以 m42m，所以 m1 答案：A 3 （易错题）直线 2x（m1）y40 与直线 mx3y20 平行，则 m（ ） A2 B3 C2 或3 D3 解析：直线 2x（m1）y40 与直线 mx3y20 平行，则有2 m m1 3 4 2，故 m2 或3 答案：C 知识点二 距离公式 1两点间的距离公式 平面上任意两点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2）间的距离公式为|P1P2|（x2x1）2（y2y1）2 特别地，原点
4、O（0，0）与任一点 P（x，y）的距离|OP| x2y2 2点到直线的距离公式 平面上任意一点 P0（x0，y0）到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax0By0C| A2B2 3两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20 间的距离 d |C1C2| A2B2 温馨提醒 运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的 x，y 的系数分别相等这一条件，盲目套用 公式导致出错 1已知点（a，2） （a0）到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a（ ） A 21 B 21 C2 2 D 22 解析：由题意得|a23| 11 1， 解得 a1 2或 a
5、1 2因为 a0，所以 a1 2 答案：A 2直线 2x2y10，xy20 之间的距离是（ ） A4 2 3 B3 2 4 C2 3 3 D3 3 4 解析：先将 2x2y10 化为 xy1 20， 则两平行线间的距离为 d |21 2| 2 3 2 4 答案：B 授课提示：对应学生用书第 168 页 题型一 两直线的位置关系 1 （2021 济南模拟）“m3”是“直线 l1：2（m1）x（m3）y75m0 与直线 l2： （m3）x2y50 垂直”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：由 l1l2得，2（m1） （m3）2（m3）0，解得 m
6、3 或 m2所以 m3 是 l1l2的充分不必要条件 答案：A 2 （2021 衡水中学一调）直线 l1： （3a）x4y53a 和直线 l2：2x（5a）y8 平行， 则 a（ ） A7 或1 B7 C7 或 1 D1 解析：由题意，得 （3a）（5a）240， （3a）82（53a）0，解得 a7 答案：B 3 （2021 洛阳统一考试）已知 b0，直线（b21）xay20 与直线 xb2y10 垂直， 则 ab 的最小值为（ ） A1 B2 C2 2 D2 3 解析： 由已知两直线垂直可得， （b21） ab20， 即 ab2b21， 又 b0， 所以 abb1 b 由 基本不等式得 b
7、1 b 2b 1 b2，当且仅当 b1 时等号成立，所以（ab）min2 答案：B 两直线位置关系的三种判断方法 方法 平行 垂直 适合题型 化成斜 截式 k1k2，且 b1b2 k1k21 斜率存在 一般式 设直线 l1：A1xB1yC1 0， l2： A2xB2yC20， l1l2A1B2A2B10， 且 B1C2B2C10 设直线 l1：A1xB1yC1 0， l2： A2xB2yC20， l1l2A1A2B1B20 无限制 直接法 k1与k2都不存在， 且b1b2 k1与 k2中一个不存在，另 一个为零 k 不存在 题型二 距离问题 1 （2020 高考全国卷）点（0，1）到直线 yk
8、（x1）距离的最大值为（ ） A1 B 2 C 3 D2 解析：设点 A（0，1） ，直线 l：yk（x1） ，由 l 过定点 B（1，0） ，知当 ABl 时，距 离最大，最大值为 2 答案：B 2过点 P（3，1）引直线，使点 A（2，3） ，B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的 方程为（ ） Ax3 B4xy130 C4xy130 Dx3 或 4xy130 解析：若直线的斜率不存在，则其方程为 x3，满足条件； 若直线的斜率存在， 设其方程为 y1k （x3） ， 即 kxy3k10， 由题意得|2k33k1| k21 |4k53k1| k21 ， 解得 k4， 此时直线方程为 4x
9、y130， 综上，直线的方程为 x3 或 4xy130 答案：D 3 （2021 厦门模拟）若两平行直线 3x2y10，6xayc0 之间的距离为2 13 13 ，则 c 的 值是（ ） A2 B2 C2 或6 D6 解析：依题意知，6 3 a 2 c 1，解得 a4，c2，即直线 6xayc0 可化为 3x2y c 20，又两平行线之间的距离为 2 13 13 ，所以 |c 21| 32（2）2 2 13 13 ，解得 c2 或6 答案：C 4 （2021 广州模拟）已知点 P（4，a）到直线 4x3y10 的距离不大于 3，则 a 的取值范 围是（ ） A0，10 B （0，10） C0，
10、5 D5，10 解析：由题意得，点 P 到直线的距离为|443a1| 5 |153a| 5 又|153a| 5 3，即|15 3a|15，解得 0a10，所以 a 的取值范围是0，10 答案：A 距离问题的常见题型及解题策略 （1）求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的 形状等 （2）解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距 离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在 （3）求两条平行线间的距离要先将直线方程中 x，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利 用距离公式求解也可以转化成点到直线的距离问题 题型三
11、对称问题 对称问题是高考常考内容之一，也是考查转化能力的一种常见题型常见的命题角度 有： （1）点关于点对称； （2）点关于线对称； （3）线关于线对称 考法（一） 点关于点对称 例 1 过点 P（0，1）作直线 l 使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段 被点 P 平分，则直线 l 的方程为_ 解析 设 l1与 l 的交点为 A（a，82a） ， 则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B（a，2a6）在 l2上，把 B 点坐标代入 l2的方程得 a3（2a6）100， 解得 a4，即点 A（4，0）在直线 l 上， 所以由两点式得直线 l 的方程为：x4y40
12、答案 x4y40 点 P（x，y）关于 O（a，b）的对称点 P（x，y）满足 x2ax， y2by. 考法（二） 点关于线对称 例 2 （2021 长沙一调）已知入射光线经过点 M（3，4） ，被直线 l：xy30 反射， 反射光线经过点 N（2，6） ，则反射光线所在直线的方程为_ 解析 设点 M（3，4）关于直线 l：xy30 的对称点为 M（a，b） ，则反射光线所在 直线过点 M， 所以 b4 a（3） 11， 3a 2 b4 2 30， 解得 a1， b0. 又反射光线经过点 N（2，6） ， 所以所求直线的方程为y0 60 x1 21，即 6xy60 答案 6xy60 解决点关于
13、直线对称的问题要把握两点，点 M 与点 N 关于直线 l 对称，则线段 MN 的中点在 直线 l 上，直线 l 与直线 MN 垂直 考法（三） 线关于线对称 例 3 已知直线 l：xy10，l1：2xy20若直线 l2与 l1关于 l 对称，则 l2的方程是 （ ） Ax2y10 Bx2y10 Cxy10 Dx2y10 解析 由 xy10， 2xy20，得交点（1，0） ，取 l 1上的点（0，2） ，其关于直线 l 的对称点为 （1，1） ，故直线 l2的方程为 y0 10 x1 11，即 x2y10 答案 B 线关于线的对称的求解方法 （1）若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关
14、于轴的对称点，然后用点斜式求 解 （2）若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴对称的对称 点，最后由两点式求解 对点训练 已知直线 l：2x3y10，点 A（1，2） 求： （1）点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标； （2）直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程； （3）直线 l 关于点 A（1，2）对称的直线 l的方程 解析： （1）设 A（x，y） ， 由已知得 y2 x1 2 31， 2x1 2 3y2 2 10， 解得 x 33 13， y 4 13. 所以 A 33 13， 4 13 （2）在直线 m 上取一点，如 M（2，0）
15、， 则 M（2，0）关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上 设 M（a，b） ，则 2a2 2 3b0 2 10， b0 a2 2 31. 解得 M 6 13， 30 13 设直线 m 与直线 l 的交点为 N， 则由 2x3y10， 3x2y60，得 N （4， 3） 又因为 m经过点 N （4， 3） ， 所以由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020 （3）设 P（x，y）为 l上任意一点，则 P（x，y）关于点 A（1，2）的对称点为 P（2 x，4y） ，因为 P在直线 l 上，所以 2（2x）3（4y）10，即 2x3y9 0 两直线位置关系应用中的核心素养 数学运算直线系方
16、程的应用 1平行直线系 由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次 项系数与常数项有必然的联系 例 1 求与直线 3x4y50 平行且过点（2，3）的直线 l 的方程 解析 依题意，设所求直线方程为 3x4yC10（C15） ，因为直线过点（2，3） ， 所以 3243C10，解得 C118 因此，所求直线方程为 3x4y180 先设与直线 AxByC0 平行的直线系方程为 AxByC10（C1C） ，再由其他条件求 C1 2垂直直线系 由于直线 A1xB1yC10 与 A2xB2yC20 垂直的充要条件为 A1A2B1B20，因此，当 两直线垂直时，它们
17、的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解 例 2 求经过 A（2，4） ，且与直线 2xy10 垂直的直线 l 的方程 解析 因为所求直线与直线 2xy10 垂直，所以设该直线方程为 x2yC10，又直线 过点 A（2，4） ，所以有 224C10，解得 C16，所以所求直线方程为 x2y60 先设与直线 AxByC0 垂直的直线系方程为 BxAyC10，再由其他条件求出 C1 3过直线交点的直线系 例 3 过直线 x2y10 与直线 2xy10 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线 方程为_ 解析 设所求直线方程为 x2y1（2xy1）0，当直线过原点时，10 得， 1，此时所求
18、直线方程为 x3y0；当直线不过原点时，令 x0，得 y1 2，令 y0， 得 x 1 21 由题意得1 2 1 21， 解得 1 3或 1（舍） 此时所求直线方程为 5x5y40 综上所述，所求直线方程为 x3y0 或 5x5y40 答案 x3y0 或 5x5y40 过直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 交点的直线系方程为 A1xB1yC1 （A2xB2yC2）0（ 为参数） ，其中不包括直线 l2 4过定点的直线系 例 4 直线（m1）x（m3）y（m11）0（m 为常数）恒过定点的坐标为_ 解析 法一：将方程变为x3y11m（xy1）0，由 x3y110，
19、xy10， 得 x 7 2， y5 2， 故直线恒过定点 7 2， 5 2 法二：分别令 m1，m3，得 4y100， 4x140， 所以 x 7 2， y5 2， 故直线恒过定点 7 2， 5 2 答案 7 2， 5 2 1过定点（x0，y0）的直线系方程为 yy0k（xx0） （k 为直线的斜率）或 A（xx0）B （yy0）0（A、B 不同时为 0） 2求直线系过定点问题的常用方法 恒等式法：将直线方程化为参数的恒等式形式，利用参数取值的任意性，得关于 x，y 的方程 组求出定点坐标 特殊直线法：给出任意两个参数值，得到两条直线，求其交点即为定点 题组突破 1 与直线 x2y30 平行，
20、 且与两坐标轴围成的三角形的面积为 4 的直线方程是_ 解析：设所求直线方程为 x2y0， 令 x0，得 y 2；令 y0，得 x由题意，得 1 2 2 |4，解得 4故所求直线 方程为 x2y 40 答案：x2y 40 2直线 mxym10（m 为参数）经过定点的坐标为_ 解析：法一： （恒等式法）直线方程化为 m（x1）y10，由 x10， y10，得 x1，y1故 直线 mxym10 过定点（1，1） 法二： （特殊直线法）取 m0，得 y1， 取 m1，得 xy20， 由得 x1，y1 故直线 mxym10 过定点（1，1） 答案： （1，1） 3过直线 x2y40 和直线 xy20 的交点，且与直线 3x4y50 垂直的直线方程 为_ 解析：设所求直线方程为 x2y4（xy2）0， 即（1）x（2）y（42）0， 则其斜率 k1 2， 由题意可知，1 2 3 41， 解得 11 故所求直线方程为 4x3y60 答案：4x3y60
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