1、综合突破二综合突破二 三角函数与解三角形的综合问题三角函数与解三角形的综合问题 考点一考点一 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质 (2020河南商丘期末)已知向量 a(2cosx，sinx)，b(cosx，2 3cosx)(01)，函 数 f(x)a b，直线 x 3是函数 f(x)的图象的一条对称轴 (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)将函数 f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再向右平移 6个单位长度得到 g(x)的图象，当 x 3， 4 时，求函数 g(x)的最值 解：(1)由题意得，f(x)a b2cos2x2 3cosxsinx1cos2x 3sin2x
2、2sin 2x 6 1， 因为 01，则 6 2 3 60，所以 cosB2sinB0，从而 cosB2 5 5 因此 sin B 2 cosB2 5 5 命题角度 2 长度、面积的取值范围 (1)(2020全国卷)ABC 中，sin2Asin2Bsin2C sinBsinC ()求 A； ()若 BC3，求ABC 周长的最大值 解：()由正弦定理和已知条件得 BC2AC2AB2AC AB， 由余弦定理得 BC2AC2AB22AC ABcosA， 由得，cosA1 2，因为 0A，所以 A 2 3 ()由正弦定理及()得 AC sinB AB sinC BC sinA2 3， 从而 AC2 3
3、sinB， AB2 3sin(AB)3cosB 3sinB 故 BCACAB3 3sinB 3cosB32 3sin(B 3) 又 0B 3，所以当 B 6时，ABC 周长取得最大值 32 3 (2)(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 asinAC 2 bsinA ()求 B； ()若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围 解：()由题设及正弦定理得 sinAsinAC 2 sinBsinA 因为 sinA0，所以 sinAC 2 sinB 由 ABC180，可得 sinAC 2 cosB 2，故 cos B 22sin B 2cos
4、B 2 因为 cosB 20，故 sin B 2 1 2，因此 B60 ()由题设及()知ABC 的面积 SABC 3 4 A 由正弦定理得 acsinA sinC sin（120C） sinC 3 2tanC 1 2 由于ABC 为锐角三角形，故 0A90，0C90，由(1)知 AC120，所以 30C 3 3 ，故1 2a2，从而 3 8 SABC 3 2 因此，ABC 面积的取值范围是 3 8 ， 3 2 【点拨】解三角形中的长度范围问题时，要着眼于边长之间的关系，可以将边 的关系转化为角的关系，也可以将角的关系转化为边的关系，这类问题的主要思路 是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，
5、借助于三角函数的有界性，从而求出 范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围或最值面积问题通常是边长 与角问题的综合，解题中既要考虑边的变化，也要考虑相关角的变化，通常是利用 面积公式，将其转化为同一类元素，然后利用三角函数范围或者实数的不等关系求 解，主要考查正、余弦定理和面积公式在解三角形中的应用，但是也会遇到一些借 助二次函数求解三角形面积的范围问题 (1)(2020 吉林洮北白城一中期末)ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b，c，已知(2ca)cosBbcosA0 ()求角 B 的大小； ()若 ac1，求 b 的取值范围 解：()依题意，由正弦定理可得，2sin
6、CcosBsinAcosBsinBcosA0，即 2sinCcosBsin(AB) sinC，因为 C 为三角形的内角，所以 sinC0，则 cosB1 2，因为 B(0，)，所以 B 3 ()因为 B 3，ac1，所以由余弦定理可得 b 2a2c2ac(ac)23ac(ac)23 ac 2 2 1 4，当且仅当 ac 1 2时，取等号 所以 b1 2，又因为 bac1，所以 1 2b1 所以 b 的取值范围是 1 2，1 (2)(2020云南高三一模)在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 3bsinC 3csinB4asinBsinC ()求角 A 的大小； (
7、)若 2bsinB2csinCbc 3a，求ABC 面积的最大值 解：()由 3bsinC 3csinB4asinBsinC 及正弦定理得， 3sinBsinC 3sinCsinB4sinAsinBsinC，因为 B，C 0， 2 ，所以 sinB0，sinC0，所以 sinA 3 2 ， 又 0A 2，所以 A 3 ()由正弦定理 b sinB c sinC a sinA 2 3 3 a， 得 sinB 3b 2a ，sinC 3c 2a ， 由 2bsinB2csinCbc 3a 得，2b 3b 2a 2c 3c 2a bc 3a，即 b2c2a2 3 3 abc 由余弦定理得 cosAb
8、 2c2a2 2bc 3 3 abc 2bc 3 6 a1 2，解得 a 3，所以 b 2c23bc，即 b2c2bc32bc， 得 bc3，当且仅当 bc 3时取等号，所以 SABC1 2bcsinA 3 3 4 ，即当 bc 3时，ABC 面积的最大值为3 3 4 命题角度 3 探索型问题 (2021届湖南高三8月开学联考)在2bc2acosC；ABC 的面积为 3（a2b2c2） 4 ；csinA3asinB 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若 问题中的三角形存在，求ABC 的周长；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b
9、，c，且 a 3b， c1，_？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解：方案一：选条件， 因为 2bc2acosC，由正弦定理得，2sinBsinC2sinAcosC， 即 2sin(AC)sinC2sinAcosC， 整理得 sinC(2cosA1)0， 因为 sinC0，所以 cosA1 2，解得 A 2 3 又因为 a 3b，所以 sinA 3sinB，即 sinB1 2，B 6，所以 C 6，b c1，a 3b 3， 所以ABC 的周长为 2 3 方案二：选条件， 因为 SABC1 2bcsinA 3（a2b2c2） 4 3（2bccosA） 4 ，即 tanA 3， 因
10、为 A(0，)，所以 A2 3 又因为 a 3b，所以 sinA 3sinB，即 sinB1 2，B 6，所以 C 6，bc1，a 3b 3， 所以ABC 的周长为 2 3 方案三：选条件， csinA3asinB，则 ac3ab，得 bc 3 1 3， 因为 a 3b，所以 a 3 3 又因为 ab 3 3 1 30，解得 x 31， 因此，cosBDCcosABDx 31 考点三考点三 三角函数与解三角形的综合三角函数与解三角形的综合 (2020江西省信丰中学月考)已知向量 a(sinx，3 4)，b(cosx，1)，设函 数 f(x)2(ab) b (1)当 ab 时，求 cos2xsi
11、n2x 的值； (2)已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a 3，b2， sinB 6 3 ，求当 0 x 4时，g(x)f(x)4cos 2A 6 的取值范围 解：(1)因为 ab，所以3 4cosxsinx0，所以 tanx 3 4， 所以 cos2xsin2xcos 2x2sinxcosx sin2xcos2x 12tanx 1tan2x 8 5 (2)因为 a bsinxcosx3 4，b 2cos2x1， 所以 f(x)2(ab) b2a b2b22sinxcosx3 22cos 2x2sin2xcos2x3 2 2sin 2x 4 3 2， 由正弦定理
12、得， 3 sinA b sinB 2 6 3 ，得 sinA 2 2 ，所以 A 4或 A 3 4 ， 因为 ba，所以 BA，即 A 是锐角，所以 A 4，所以 g(x)f(x)4cos 2A 6 2sin 2x 4 3 24cos 2 3 2 sin 2x 4 1 2，因为 0 x 4，所以 42x 4 3 4 ， 所以 2 2 sin 2x 4 1，所以1 2 2sin 2x 4 1 2 2 1 2，即 g(x) 1 2， 2 1 2 【点拨】 三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、 余弦定 理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围 (2020江西南昌二中高三)已知 f(x)
13、 3cos2x2sin(3 2 x)sin(x)，xR， (1)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f(A) 3，a3，求 BC 边上高的最大值 解：(1)f(x) 3cos2x2sin 3 2 x sin(x) 3cos2x2cosxsinx 3cos2xsin2x2cos 2x 6 ， f(x)的最小正周期 T2 2 当 2k2x 62k2(kZ)时，即当 k 5 12xk 11 12 (kZ)时，函数 f(x)单调递增，所以函数 f(x)的单 调递增区间为 k5 12，k 11 12 (kZ) (2)因为 f(A)2cos 2A 6 3， 所以 cos(2A 6) 3 2 ， 因为 A 0， 2 ，所以 2A 6 6， 7 6 ，所以 2A 6 5 6 ，所以 A 3 设 BC 边上的高为 h，所以有1 2ah 1 2bcsinAh 3 6 bc，由余弦定理可知，a2b2c22bccosA9b2c2bc，因为 b2c22bc，所以 bc9(当且仅当 bc 时，取等号)，所以 h 3 6 bc3 3 2 ，因此 BC 边上高的最大值为3 3 2
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