1、95 二项分布与正态分布二项分布与正态分布 【教材梳理】 1条件概率及其性质 (1)一般地，设 A，B 为两个事件，且 P(A)0，称_为事件 A 发生的条件下， 事件 B 发生的条件概率P(B|A)读作_ 在 古 典 概 型 中 ， 若 用 n(A) 表 示 事 件 A 中 基 本 事 件 的 个 数 ， 则 P(B|A) _ (2)条件概率具有的性质 _； 如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)_ 2相互独立事件 (1)对于事件 A，B，若事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率，则称_ (2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)_， P(AB)_ (3)若 A 与
2、 B 相互独立，则_，_，_也都相互独立 (4)若 P(AB)P(A)P(B)，则_ 3独立重复试验 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每 一次试验只有两种结果， 即要么发生、 要么不发生， 且任何一次试验中事件发生的概率都是一样的在 相同条件下重复做的 n 次试验称为_， 若 Ai(i1， 2， ， n)是第 i 次试验的结果， 则 P(A1A2 An)_ 4二项分布 在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生 k 次的概率为(每次试验中事件 A 发生的概率为 p)_， 事件 A 发生的次数是一个随机变量 X， 其分布列为_(k0， 1， 2，
3、， n)，此时称随机变量 X 服从_，记为_ 5两点分布与二项分布的分布列 (1)两点分布(又称 01 分布、伯努利分布) 随机变量 X 的分布列为(0p0 为参数我们称 f(x)为正态密度函数，称它的 图象(如图)为正态密度曲线简称，若随机变量 X 的概率分布密度函数为 f(x)，则称随机变量 X 服从 正态分布，记为 特别地，当 0， 1 时，随机变量 X 服从标准正态分布 (2)正态曲线的性质 曲线位于 x 轴_，与 x 轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线_对称； 曲线在 x 处达到峰值_； 曲线与 x 轴之间的面积为_； 当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着_的变化而沿 x 轴平
4、移，如 图 1 所示 当 一定时，曲线的形状由 确定， 越_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图 2 所示 (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(X)0682 7； P(2X2)0954 5； P(3X3)0997 3 可以看到，正态总体几乎总取值于区间(3， 3)之内而在此区间以外取值的概率大约只有 0002 7， 通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生在实际应用中， 通常认为服从于正态分布 N(， 2)的随机变量 X 只取(3， 3)之间的值，并简称之为 3 原则 【常用结论】 8n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率与
5、第 k 次才发生的概率计算公 式分别是 Pn(k)Ck np k(1p)nk 与 Pk(1p)k 1p 9正态分布计算中常用的几个结论 (1)若 XN(， 2)，则 E(X)，D(X)2 (2)P(Xa)1P(Xa) (3)P(X0，则 P(Xb)1P（bXb） 2 【自查自纠】 1(1)P(B|A)P（AB） P（A） A 发生的条件下 B 发生的概率 n（AB） n（A） P（AB） P（A） (2)0P(B|A)1 P(B|A)P(C|A) 2(1)事件 A 与事件 B 相互独立 (2)P(B) P(A)P(B) (3) A与B A与 B A 与B (4)A，B 相互独立 3n 次独立重
6、复试验 P(A1)P(A2)P(An) 4Ck np k(1p)nk P(Xk)Ck np k(1p)nk 二项分布 XB(n，p) 5(1)1p (2)Ck np kqnk Ck np kqnk 6(1)p np (2)p(1p) np(1p) 7(1)正态曲线 XN(，2) (2)上方 x 1 2 1 小 大 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)相互独立事件就是互斥事件 ( ) (2)对于任意两个事件，公式 P(AB)P(A)P(B)都成立 ( ) (3)P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，P(AB)表示事件 A，B 同时发生的概率
7、( ) (4)正态曲线不一定位于 x 轴上方，它与 x 轴可能有交点 ( ) (5)当 一定时，正态曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“瘦高”，表示总体 的分布越集中 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A “4 个人去的景点不相同”，事件 B“小赵独自去一个景点”，则 P(A|B) ( ) A2 9 B 1 3 C4 9 D 5 9 解：小赵独自去一个景点，则有 4 个景点可选，剩下三人只能在小赵选剩下的三个 景点中选择，可能有 33327 种方案，所以小赵独自去一个景点所有方案有 4333108 种
8、，因为四个人去的不同景点的方案有 432124(种)，所以 P (A|B) 24 108 2 9故选 A (2019江门一模)某射手每次射击击中目标的概率是2 3， 且各次射击的结果 互不影响假设这名射手射击 5 次，则有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中 目标的概率为 ( ) A8 9 B 73 81 C 8 81 D 1 9 解：因为射手每次射击击中目标的概率是2 3，则每次射击不中的概率为 1 3，设“第 i 次射击 击中目标”为事件 Ai(i1，2，3，4，5)， “射手在 5 次射击中，有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标”为事件 A，则 P(A)P(A1A2A3 4
9、 A 5 A )P( 1 A A2A3A4 5 A )P( 1 A 2 A A3A4A5) (2 3) 3(1 3) 21 3( 2 3) 31 3( 1 3) 2(2 3) 3 8 81故选 C (2020山西灵丘豪洋中学高二期末)已知随机变量 22，若 B(10，04)，则 E()，D()分别是( ) A4 和 06 B4 和 24 C1 和 24 D1 和 06 解：因为 B(10，04)，则 E()10044， D()1004(104)24， 由 22，得 2 1， 则 E()E 2 1 1 2E()1 1 2411， D() 1 2 2 D()1 42406故选 D (2019届湖南
10、省益阳市高三4月模拟)某市高三年级 26 000 名学生参加了本月中旬 的全市模拟考试，已知数学考试成绩 XN(100， 2)统计结果显示数学考试成绩 X 在 80 分到 120 分之间的人数约为总人数的3 4，则数学成绩不低于 120 分的学生人数约为 _ 解：因为成绩 XN(100，2)，所以正态分布曲线关于 X100 对称，又成绩在 80 分 到 120 分之间的人数约占总人数的3 4， 由对称性知， 成绩不低于 120 分的学生约为总人数的 1 2(1 3 4) 1 8，所以此次考试成绩不低于 120 分的学生人数约为 1 826 0003 250故填 3 250 考点一考点一 条件概
11、率条件概率 (1)从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 A 为“取到的 2 个数之和 为偶数”，事件 B 为“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)等于( ) A1 8 B 1 4 C2 5 D 1 2 解法一：P(A)C 2 3C 2 2 C2 5 2 5，P(AB) C2 2 C2 5 1 10，P(B|A) P（AB） P（A） 1 4 解法二：事件 A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共 4 个 事件 AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即 n(AB)1 得 P(B|A)n（AB） n（A） 1 4故选 B (2)(2020年湖北
12、沙市中学高二月考)“幻方”最早记载于我国公元前 500 年的春秋时期大 戴礼中，n 阶幻方(n3，nN*)是由前 n2个正整数组成的一个 n 阶方阵，其各行各列及两条 对角线所含的 n 个数之和(简称幻和)相等，例如 3 阶幻方的幻和为 15现从如图所示的 3 阶幻 方中任取 3 个不同的数，记“取到的 3 个数和为 15”为事件 A， “取到的 3 个数可以构成一个 等差数列”为事件 B，则 P(B|A) ( ) A3 4 B 2 3 C1 3 D 1 2 解：根据题意，事件 A 包含的基本事件有(8，1，6)，(3，5，7)，(4，9，2)， (8，3，4)，(1，5，9)，(6，7，2)
13、，(8，5，2)，(4，5，6)，共 8 个； 事件 AB 同时发生包含的基本事件有(3，5，7)，(1，5，9)，(8，5，2)，(4， 5，6)，共 4 个，所以 P(B|A)n（AB） n（A） 4 8 1 2故选 D 【点拨】 解决条件概率问题的步骤：第一步，判断是否为条件概率，若题目中出 现“在条件下” “在前提下”等字眼，一般为条件概率；题目中若没有出现上 述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率若为 条件概率，则进行第二步，计算概率，这里有两种思路思路一：缩减样本空间法计 算条件概率如求 P(A|B)，可分别求出事件 B，AB 包含的基本事件的个数，再
14、利用公 式 P(A|B)n（AB） n（B） 计算；思路二：直接利用条件概率的计算公式计算条件概率，即 先分别计算出 P(AB)，P(B)，再利用公式 P(A|B)P（AB） P（B） 计算 (1)(2020届湖北武汉六月供题)某班有 6 名班干部，其中男生 4 人，女生 2 人，任选 3 人参加学校组织的义务植树活动，设“男生甲被选中”为事件 A， “女 生乙被选中”为事件 B则 P(B|A)_ 解：由题意“男生甲被选中”的方法数是 n(A)C2 510， “男生甲女生乙同时 被选中”的方法数为 n(AB)C1 44，所以 P(B|A)n（AB） n（A） 4 10 2 5故填 2 5 (2
15、)(2020辽宁锦州高二期末)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从 下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ” ，如图就是一重卦在所有重卦中随机 取一重卦， 记事件 A“取出的重卦中至少有 2 个阴爻”， 事件 B“取出的重卦中恰有 3 个阳爻”则 P(B|A) ( ) A 5 16 B 11 32 C21 32 D 20 57 解：由题意知，P(A)1 1 26 C1 6 26 57 64，事件 AB“取出的重卦中恰有 3 个阳爻， 3 个阴爻”， 则 P(AB)C 3 6 26 5 16， 所以 P(B|A) P（AB） P（A） 5 16 57 64 20
16、57 故 选 D 考点二考点二 相互独立事件与二项分布相互独立事件与二项分布 命题角度 1 相互独立事件的概率 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2 3和 3 5 现安 排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B设甲、乙两组的研发相互独立 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计 企业可获利润 100 万元求该企业可获利润的分布列 解：记 E“甲组研发新产品成功”，F“乙组研发新产品成功”，由题设知 P(E) 2 3，P( E)1 3，P(F) 3 5，P( F)2 5，且事件 E
17、 与 F，E 与 F，E与 F，E与F都相互独 立 (1)记 H“至少有一种新产品研发成功”，则HEF， 于是 P(H)P(E)P(F)1 3 2 5 2 15， 故所求的概率为 P(H)1P(H)1 2 15 13 15 (2)设企业可获利润为 X(万元)，则 X 的可能取值为 0，100，120，220，因为 P(X 0)P(EF)1 3 2 5 2 15， P(X100)P(EF)1 3 3 5 3 15 1 5， P(X120)P(EF)2 3 2 5 4 15， P(X220)P(EF)2 3 3 5 6 15 2 5 故所求的分布列为 X 0 100 120 220 P 2 15
18、1 5 4 15 2 5 【点拨】 求解该类问题在于正确分析所求事件的构成， 将其转化为 彼此互斥事件的和或相互独立事件的积， 然后利用相关公式进行计算求 相互独立事件同时发生的概率的主要方法：利用相互独立事件的概率 乘法公式直接求解； 正面计算较繁(如求用“至少”表达的事件的概率) 或难以入手时，可从其对立事件入手计算 (2021新高考八省模拟演练)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部 件 1，2，3 需要调整的概率分别为 01，02，03，各部件的状态相互独立 (1)求设备在一天的运转中，部件 1，2 中至少有 1 个需要调整的概率； (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数
19、为 X，求 X 的分布列及数学期望 解：(1)设“部件 1 需要调整”为事件 A， “部件 2 需要调整”为事件 B， “部件 3 需要调 整”为事件 C， 由题意可知：P(A)01，P(B)02，P(C)03 部件 1，2 中至少有 1 个需要调整的概率为： 1P(A B)11P(A)1P(B)109081072028 (2)由题意可知 X 的取值为 0，1，2，3 P(X0)1P(A)1P(B)1P(C) (101)(102)(103)0504， P(X1)P(A)1P(B)1P(C)1P(A) P(B)1P(C)1P(A)1P(B)P(C) 010807090207090803 0398
20、， P(X2)P(A)P(B)1P(C)P(A)1P(B) P(C)1P(A)P(C)P(B) 010207010803090203 0092 P(X3)P(A)P(B)P(C)0102030006， 故 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P(X) 0504 0398 0092 0006 其数学期望 E(X)0504003981009220006306 命题角度 2 n 次独立重复试验 (2021届湖南师大附中第二次月考)现有 4 个人去参加某项娱乐活动，该活动 有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均 匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2
21、 的人去参加甲游戏，掷出点数 大于 2 的人去参加乙游戏 (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率； (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用 X, Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 |XY|，求随机 变量 的分布列与数学期望 E() 解：(1)依题意可得：参加甲游戏的概率为 P12 6 1 3， 参加乙游戏的概率为 P24 6 2 3， 设事件 Ai为“有 i 个人参加甲游戏”，i0，1，2，3，4，则 P(Ai)Ci4 1 3 i 2 3 4i ， 所以 P(A2)C2 4 1 3 2 2 3 2 8 27 (2)设事
22、件 B 为“甲游戏人数大于乙游戏人数”， 则 BA3A4， 所以 P(B)P(A3 A4)P(A3)P(A4)C3 4 1 3 3 2 3C 4 4 1 3 4 1 9 (3) 的所有可能取值为 0，2，4， 所以 P(0)P(A2)C2 4 1 3 2 2 3 2 8 27， P(2)P(A1)P(A3) C1 41 3 2 3 3 C3 4 1 3 3 2 3 40 81， P(4)P(A0)P(A4)C0 4 2 3 4 C4 4 1 3 4 17 81， 0 2 4 P 8 27 40 81 17 81 所以 E()0 8 272 40 814 17 81 148 81 【点拨】 在求
23、 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时， 首先要确定好 n 和 k 的值，再准确利用公式求概率 (2020辽宁调兵山一中高三月考)某检疫部门对可能遭受污染的某海产品在进 入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售已知该 海产品第一轮检测不合格的概率为1 6， 第二轮检测不合格的概率为 1 10， 两轮检测是否合格 相互没有影响 (1)求该海产品不能销售的概率； (2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利 40 元；如果该海产品不能销售，则 每件产品亏损 80 元(即获利80 元)已知一箱中有该海产品 4 件， 记一箱该海产品获利 元，求 的分布列 解：(
24、1)设“该海产品不能销售”为事件 A， 则 P(A)1 11 6 1 1 10 1 4 所以，该海产品不能销售的概率为1 4 (2)由已知可知 的可能取值为320，200，80，40，160 P(320) 1 4 4 1 256，P(200)C 1 4 1 4 3 3 4 3 64， P(80)C2 4 1 4 2 3 4 2 27 128， P(40)C3 41 4 3 4 3 27 64，P(160) 3 4 4 81 256 所以 的分布列为 320 200 80 40 160 P 1 256 3 64 27 128 27 64 81 256 命题角度 3 二项分布 (2019天津卷)设
25、甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率 均为2 3 假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独 立 (1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； (2)设 M 为事件“上学期间的三天中， 甲同学在 7： 30 之前到校的天数比乙同 学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率 解：(1)由题意知 XB 3，2 3 ， 从而 P(Xk)Ck 3 2 3 k 1 3 3k，k0，1，2，3 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27
26、随机变量 X 的数学期望 E(X)32 32 (2)设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为 Y， 则 YB 3，2 3 ，且 MX3，Y1X2，Y0 由题意知事件X3，Y1与X2，Y0互斥， 且事件X3与Y1，事件X2与Y0均相互独立， 从而由(1)知 P(M)P(X3，Y1X2，Y0) P(X3，Y1)P(X2，Y0) P(X3)P(Y1)P(X2)P(Y0) 8 27 2 9 4 9 1 27 20 243 【点拨】 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：试验是否 为 n 次独立重复试验；随机变量是否为这 n 次独立重复试验中某事件发生 的次数 (2021届辽宁六校一联
27、)某省实行的“新高考方案：312”模式，其中“3”指统 一高考的语文、数学、外语 3 个科目， “1”指考生在物理、历史 2 个科目中选择一个；“2” 指考生在思想政治、地理、化学、生物 4 个科目中选择 2 个某校根据统计，选物理的学生 人数占整个学生人数的3 4，在选物理的条件下，选择地理的概率为 2 3，在选历史的条件下，选 地理的概率为4 5 (1)求该校最终选地理的学生概率； (2)设该校甲、乙、丙三人中选地理的人数为随机变量 X求 X 的概率分布列以及数学期 望 解：(1)该校最终选地理的学生记为事件 A， 则 P(A)3 4 2 3 1 4 4 5 7 10 (2)由题意可知，X
28、B 3， 7 10 ，所以 P(X0) 3 10 3 27 1 000， P(X1)C13 7 10 3 10 2 189 1 000， P(X2)C23 7 10 2 3 10 441 1 000， P(X3)C33 7 10 3 343 1 000， 所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 1 000 189 1 000 441 1 000 343 1 000 所以 E(X)3 7 10 21 10 考点三考点三 正态分布正态分布 命题角度 1 正态曲线的应用 (1)【多选题】(2020年江苏镇江吕叔湘中学高二下期中)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别 服从正态分
29、布 N(1， 2 1)，N(2， 2 2)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是 ( ) A甲类水果的平均质量 104 kg B乙类水果的平均质量 2199 kg C甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近 解：由图象可知，甲图象关于直线 x04 对称，乙图象关于直线 x 08 对称，所以 104，208，且 12，故 A，C 正确，B 不 正确；甲图比乙图更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更 集中于平均值左右，故 D 正确故选 ACD (2)【多选题】(2021届江苏徐州高三上第一次调研)如图是正态分布 N(0，1)
30、的正态 曲线图，可以表示图中阴影部分面积的式子有( ) A1 2P(Xt) BP(X1t) 1 2 CP(Xt)1 2 D 1 2P(Xt) 解：因为正态分布曲线的对称轴为 0，1，在 y 轴左右两侧面积各占1 2， P(tX0)P(0Xt)，故 A，C，D 均正确故选 ACD 【点拨】 利用正态曲线解题的关键是， 利用对称性把待求区间内的概率向 已知区间内的概率转化解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形 结合思想及化归思想的运用 (1)(2020山东潍坊高三期末)老师想要了解全班 50 位同学的成绩状况，为此随机抽查了 10 位学生某次考试 的数学与物理成绩，结果列表如下： 学生 甲
31、 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 平均 标准差 数学 88 62 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 X60 (X) 94 物理 75 63 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 Y65 (Y) 23 若这 10 位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚 线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的 是 ( ) A B C D 解：由 X(Y)，知数学成绩 分布曲线即实线应“矮胖”，而物理成绩分布曲线应相对“瘦高”， 排除 C，D，应选 A故选 A (2)(2019届湖北钟祥市高三第一次模拟)某班有 50 名学生， 一次
32、数学考试的成绩 服 从正态分布 N(105，102)，已知 P(95 105)034，估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为( ) A10 B9 C8 D7 解：因为考试的成绩 服从正态分布 N(105，102) 所以正态分布曲线关于 105 对称， 因为 P(95105)034， 所以 P(115)1 2(12034)016， 所以该班数学成绩在 115 分以上的人数为 016508故选 C 命题角度 2 综合应用 (2020届吉林吉化一中测试)某市决定参加创建“全国文明卫生城”测评为 确保创建全国文明城市各项目标顺利完成，该市不断加大宣传力度和管理力度，在此 期间通过网络对市民进行
33、了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随 机抽样，得到参加问卷调查的 100 人中，得分统计结果如下表所示： 组别 30，40) 40， 50) 50， 60) 60， 70) 70， 80) 80， 90) 90， 100 频数 2 13 21 25 24 11 4 (1)由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 N(，198)， 近似为这 100 人 得分的平均值，利用该正态分布求 P(375795)(注：同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表) (2)在(1)的条件下，为鼓励市民参与“创建”，该市对参加问卷调查的市民制定了如下奖 励方案： 得分不低于 的可以获赠 2
34、次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费； 每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额(元) 20 50 概率 2 3 1 3 现有市民甲参加此次问卷调查，记 X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X 的分布列与数学期望 附：352451355216525752485119546 550； 19814; 若 XN(， 2)，则 P( X )0682 7，P(2X2)0954 5，P( 3 X 3)0997 3 解：(1)由题意，可得， 3524513552165248511954 100 655， 19814， 所 以 P(375795) P( 2 ) 0954 5
35、 0954 50682 7 2 0818 6 (2)由题意，可得 P()P()1 2， 则获赠话费 X 的可能取值为 20，40，50，70，100， P(X20)1 2 2 3 1 3， P(X40)1 2 2 3 2 3 2 9， P(X50)1 2 1 3 1 6， P(X70)1 2 2 3 1 3 1 2 1 3 2 3 2 9， P(X100)1 2 1 3 1 3 1 18， 则 X 的分布列为 X 20 40 50 70 100 P 1 3 2 9 1 6 2 9 1 18 所以期望 E(X)201 340 2 950 1 670 2 9100 1 1845 【点拨】 解决正态
36、分布问题有三个关键点：对称轴 x标准 差 分布区间利用对称性可求指定范围内的概率值；由 ，分 布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 ，2或 3 特殊区间，从而 求出所求概率 在某市高中数学竞赛中，某一个区 4 000 名考生的参赛成绩统计如图所示 (1)求这 4 000 名考生的竞赛平均成绩 x(同一组中数据用该组区间中点值作代表)； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩 z 服从正态分布 N(， 2)，其中 ，2 分别取考生的平均成绩 x 和考生成绩的 方差 s2，那么该区 4 000 名考生成绩超过 8481 分(含 8481 分)的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估
37、计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取 4 名考生， 记成绩不超过 8481 分的考生人数为 ，求 P(3)(精确到 0001) 附：s220475， 204751431；zN(， 2)，则 P(z)0682 7；P(2z2) 0954 5；0841 3540501 解：(1)由题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95 概率 01 015 02 03 015 01 所以 x 45015501565027503850159501705， 所以这 4 000 名考生的竞赛平均成绩 x 为 705 分 (2)依题意 z 服从正态分布 N(，2)，其中 x705，2s220475，1431， 所以 z 服从正态分布 N(，2)，即 N(705，14312)， 而 P(z)P(5619z8481)0682 7， 所以 P(z8481)10682 7 2 0158 65 所以竞赛成绩超过 8481 分的人数估计为 0158 654 0006346635 人 (3)全市竞赛考生成绩不超过 8481 分的概率为 10158 650841 35 而 B(4，0841 35)，所以 P(3)1P(4)1C4 40841 35 4105010499
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