1、44 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 【教材梳理】 1“五点法”作图 (1)在确定正弦函数 ysinx 在0，2上的图象形状时，起关键作用的五个点是_， _，_，_，_ (2)在确定余弦函数 ycosx 在0，2上的图象形状时，起关键作用的五个点是_， _，_，_，_ 2周期函数的定义 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 _，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期如果在周期函 数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的_ 3三角函数的图象和性质 函数 性质 ysinx
2、ycosx ytanx 定义域 _ _ _ 图象 （一个周期） 值域 _ _ R 对称性 对称轴： _；对称中心： _ 对称轴： _； 对称中心： _ 无对称轴； 对称中心： _ 最小正 周期 _ _ _ 单调性 单调增区间 _； 单调增区间 _ 单调减区间 _； 单调减区间 _ 单调增区间 _ 奇偶性 _ _ 21_ 【常用结论】 4关于周期性的常用结论 (1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期不唯一例如，2，4，6， 以及2，4，6，都是正弦函数的周期同时，不是每一个周期函数都有最小正周期，如 f(x) 2(xR) (2)如果 T 是函数 f(x)的一个周期，则 nT
3、(nZ 且 n0)也是 f(x)的周期 (3)周期函数的定义域是无限集 (4)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质因此要研究某周期函数的性质，一般只需要研究 它在一个周期内的性质 5关于奇偶性的常用结论 (1)f(x)Asin(x)(A0)，则 f(x)为偶函数 2k(kZ) (2)f(x)Asin(x)(A0)，则 f(x)为奇函数k(kZ) 6正、余弦函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为 其半周期；图象与 x 轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是半周期；函数取最值 的点与其相邻的零点距离为1 4周期 【自查自纠】 1(1)(0，0) 2
4、，1 (，0) 3 2 ，1 (2，0) (2)(0，1) 2，0 (，1) 3 2，0 (2，1) 2f(xT)f(x) 最小正周期 3R R x|xk 2，kZ 1，1 1，1 xk 2(kZ) (k，0)(kZ) xk(kZ) k 2，0 (kZ) k 2 ，0 (kZ) 2 2 2k 2，2k 2 (kZ) 2k 2，2k 3 2 (kZ) 2k，2k(kZ) 2k，2k(kZ) k 2，k 2 (kZ) 奇函数 偶函数 21奇函数 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)ysinx 在(0，)是增函数 ( ) (2)常数函数 f(x)a 是周期函数，它没有最小
5、正周期( ) (3)ysin|x|是偶函数 ( ) (4)已知 yksinx1，xR，则 y 的最大值为 k1 ( ) (5)ytanx 的对称中心是(k，0)(kZ) ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 下列函数中，最小正周期为 的奇函数是 ( ) Aysin 2x 2 Bycos 2x 2 Cysin2xcos2x Dysinxcosx 解：对 A 项，ysin 2x 2 cos2x，最小正周期为 ，且为偶函数，不符合题意； 对 B 项，ycos 2x 2 sin2x，最小正周期为 ，且为奇函数，符合题意； 对 C 项，ysin2xcos2x 2sin 2x 4 ，
6、最小正周期为 ，为非奇非偶函数，不符合题意； 对 D 项，ysinxcosx 2sin x 4 ，最小正周期为 2，为非奇非偶函数，不符合题意故选 B (2021云南昆明一中高三)函数 f(x)sin2xcosx(x0， 2)的最 大值为 ( ) A1 B5 4 C 3 2 D2 解：因为 f(x)sin2xcosxcos2xcosx1 cosx1 2 2 5 4，由 x 0， 2 得 cosx0，1，所以当 cosx1 2时，f(x)max 5 4故选 B (2020天津卷)已知函数 f(x)sin x 3 给出下列结论： f(x)的最小正周期为 2； f 2 是 f(x)的最大值； 把函数
7、 ysinx 的图象上所有点向左平移 3个单位长度，可得到函数 y f(x)的图象 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 解：因为 f(x)sin x 3 ，所以最小正周期 T2，故正确；f 2 sin 2 3 sin5 6 1 21， 故不正确； 将函数 ysinx 的图象上所有点向左平移 3个单位长度， 得到 ysin x 3 的图象，故正确故选 B (2020全国卷)关于函数 f(x)sinx 1 sinx有如下四个命题： f(x)的图象关于 y 轴对称； f(x)的图象关于原点对称； f(x)的图象关于直线 x 2对称； f(x)的最小值为 2 其中所有真命题的序号是_ 解：
8、对于命题，f 6 1 22 5 2，f 6 1 22 5 2，则 f 6 f 6 ，所以函数 f(x)的图象 不关于 y 轴对称，命题错误；对于命题，函数 f(x)的定义域为x|xk，kZ，定义域关于原点 对称，f(x)sin(x) 1 sin（x）sinx 1 sinx sinx 1 sinx f(x)，所以函数 f(x)的图象关于 原点对称，命题正确；对于命题，因为 f 2x sin( 2x) 1 sin（ 2x） cosx 1 cosx，f 2x sin 2x 1 sin 2x cosx 1 cosx，则 f 2x f 2x ，所以函数 f(x)的图象关于直线 x 2对称，命 题正确；对
9、于命题，当x0 时，sinx0，则 f(x)sinx 1 sinx00， 解得 4x4， 2kx2k，kZ， 即4x 或 0 x0)在0，1上至少存在 50 个最小值点，则 的取值范围是_ 解：由 f(x)sinx(0)的图象知，每个周期内均有一个最小值点，若 f(x)在0， 1上至少存在 50 个最小值点， 则 149T3T 4 199T 4 199 4 2 ，所以 199 2 故填 199 2 ， 【点拨】 求三角函数周期的方法：利用周期函数的定义；利用公式 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2 |，yAtan(x)的最小 正周期为 |；对于形如 yasinxbcosx 的
10、函数，一般先将其化为 y a2b2sin(x)的形式再求周期；带绝对值的三角函数的周期是否减 半，要根据图象来确定 (1)(2019湖南师大附中期中)给出如下四个函数： f(x)( 3sinxcosx)( 3cosxsinx)； f(x)sin4xcos4x； f(x)sin2xbsinxc，b，c 为常数； f(x)|sin2xcos2x| 其中最小正周期一定为 的所有函数序号为( ) A B C D 解：f(x)( 3sinxcosx)( 3cosxsinx) 3(cos2xsin2x)2sinxcosx 3cos2xsin2x 2sin 2x 3 ，最小正周期为 ； f(x)sin4xc
11、os4x12sin2xcos2x11 2sin 22x3 4 1 4cos4x，最小正周期为 2； 对于 f(x)sin2xbsinxc，当 b0 时，易知 f(x)f(x)不恒成立，故周期不为 ； f(x)|sin2xcos2x 2sin 2x 4 ，最小正周期为 2因此仅满足故选 B (2)(2020 永州市第四中学高三月考)设 f(n)cos(n 2 4)，则 f(1)f(2) f(3)f(2 022)_ 解：由 f(n)cos n 2 4 可知，f(n)是周期 T4 的周期函数，f(1) 2 2 ，f(2) 2 2 ，f(3) 2 2 ，f(4) 2 2 ， 所以 f(1)f(2)f(
12、3)f(4)0 则 f(1)f(2)f(3)f(2 022)f(1)f(2) 2故填 2 考点三考点三 三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性 (1)判断下列函数的奇偶性 ()f(x)cos 22x cos(x)； ()f(x)2sin2x1； ()f(x)lg(sinx 1sin2x)； ()f(x)6cos 4x5sin2x4 cos2x 解：()f(x)cos 22x cos(x) (sin2x)(cosx)cosxsin2x 因为 f(x)cos(x)sin2(x)cosxsin2xf(x)，xR，所以 f(x)是奇函数 ()因为 2sin2x10，所以 sin2x 1 2 ，所以 6 2k
13、2x 5 6 2k(kZ)，即 x 12k， 5 12k (kZ)，定义域不关于原点对称，所以 f(x)是非奇非偶函数 ()定义域为 R，f(x)lgsin(x) 1sin2（x）lg(sinx 1sin2x)， 又因为 f(x)f(x)lg(sinx 1sin2x)(sinx 1sin2x)lg10，所以 f( x)f(x)，所以 f(x)是奇函数 ()由 cos2x0 得 2xk 2，kZ，解得 x k 2 4，kZ，所以 f(x)的定义域 为 x|xR，且xk 2 4，kZ 因为 f(x)的定义域关于原点对称，且 f(x)6cos 4（x）5sin2（x）4 cos（2x） 6cos 4
14、x5sin2x4 cos2x f(x) 所以 f(x)是偶函数 (2)(2021辽宁辽阳月考)函数 f(x)sin(2x) 3cos(2x)是偶函数 的充要条件是( ) Ak 6，kZ B2k 6，kZ Ck 3，kZ D2k 3，kZ 解：函数 f(x)sin(2x) 3cos(2x)2cos(2x 6)是偶函数，等价 于 6k，kZ，即 k 6，kZ故选 A 【点拨】 判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称，如 果是，再验证 f(x)是否等于f(x)或 f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是， 则该函数必为非奇非偶函数另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断， 也可直接
15、用x 取代 x，再化简判断，还可利用 f(x) f(x)0 是否成立来判断其 奇偶性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对 每个函数而言， “同奇才奇、一偶则偶”三角函数的对称性与奇偶性密不可分， 已知三角函数的奇偶性求参数时，可直接由 yAsinx 是奇函数，yAcosx 是 偶函数求解如：yAsin(x)是偶函数，则 k 2，kZ；yAcos(x) 是偶函数，则 k，kZ (1)判断下列函数的奇偶性 ()f(x) 2sin2x； ()f(x)sin 3x 4 3 2 ； ()f(x)sin|x|； ()f(x) 1cosx cosx1 解：()显然 xR，f(x)
16、 2sin(2x) 2sin2xf(x)， 所以 f(x) 2sin2x 是奇函数 ()显然 xR，f(x)sin 3x 4 3 2 cos3x 4 ， 所以 f(x)cos 3x 4 cos3x 4 f(x)， 所以函数 f(x)sin 3x 4 3 2 是偶函数 ()显然 xR，f(x)sin|x|sin|x|f(x)，所以函数 f(x)sin|x|是偶函数 ()由 1cosx0， cosx10，得 cosx1，所以 x2k，kZ， 此时 f(x)0，故该函数既是奇函数又是偶函数 (2)若将函数 f(x)cos(2x)(0)的图象向左平移 12个单位长度 所得到的图象关于原点对称，则 _
17、解：将函数 f(x)cos(2x)的图象向左平移 12个单位所得到的图象对应的解析 式为 ycos 2 x 12 cos 2x 6 ， 由题意得函数 ycos 2x 6 为奇函 数，所以 6 2k，kZ，所以 3k，kZ，又 0，所以令 k0，得 3故填 3 考点四考点四 三角函数的单调性三角函数的单调性 (1)求下列函数的单调区间 ()ycos 2x 3 的单调递减区间； ()y3tan 6 x 4 的单调区间； ()y sin x 4 的单调递减区间 解：()因为 ycos 2x 3 cos 2x 3 ， 所以由 2k2x 32k(kZ)， 得 k 6xk 2 3 (kZ) 即所求单调递减
18、区间为 k 6，k 2 3 (kZ) ()y3tan 6 x 4 3tan x 4 6 ， 由 k 2 x 4 6k 2(kZ)，解得 4k 4 3x0，函数 f(x)cos(x 6)在 2， 上单调递增， 则 的取值范围是 ( ) A 1 2， 5 4 B 1 2， 11 6 C 3 4， 5 3 D 5 3， 11 6 解：因为 f(x)在 2， 上单调递增，所以 2 ，即 02，当 x 2， 时， x 6 2 6， 6 ， 所以 2 62k， 62k， kZ， 解得7 34k 1 6 2k，kZ，又因为 00，0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式 求解(若 0，且需 ys
19、in 2x 4 单 调递增，所以 2k2x 4 22k，kZ，即 k 8xk 3 8 ，kZ故选 B (2)(2018全国卷)若 f(x)cosxsinx 在a，a上是减函数，则 a 的最大 值是 ( ) A 4 B 2 C 3 4 D 解：因为 f(x)cosxsinx 2cos x 4 ， 所以由 2kx 42k(kZ)，得 42kx 3 4 2k(kZ)， 因此a， a 4， 3 4 ， 所以 aa， a 4， a3 4 ， 所以 00)的最小正周期为 ，则该函数的图象( ) A关于点 3，0 对称 B关于直线 x 4对称 C关于点 4，0 对称 D关于直线 x 3对称 解：由 T 知，
20、2 T 2 2， 所以函数 f(x)cos 2x 3 令 2x 3k(kZ)，解得对称轴 x 6 k 2 (kZ)；函数 f(x)的对称中心 的横坐标满足 2x 3k 2(kZ)，解得 x 12 k 2 (kZ)故选 D (2)(2018江苏卷)已知函数 ysin (2x)( 2 2)的图象关于直线 x 3对 称，则 的值是_ 解： 由题意可得 sin 2 3 1， 所以2 3 2k， 6k(kZ), 因 为 2 2，所以 k0， 6故填 6 学科素养微专题 复合型三角函数性质研究中的数学探索 【多选题】(2021 年新高考八省模拟演练)设函数 f(x) cos2x 2sinxcosx，则(
21、) Af(x)f(x) Bf(x)的最大值为1 2 Cf(x)在 4，0 单调递增 Df(x)在 0， 4 单调递减 解：对于 A，f(x)的定义域为 R，且 f(x) cos2x 2sinxcosx 2cos2x 4sin2x f(x) cos（2x2） 2sin（x）cos（x） cos2x 2sinxcosxf(x)，故 A 正确； 对于 B，由 1 的代换弦化切，再由判别式法求值域， 或令 yf(x) 2cos2x 4sin2x， 则 4y2cos2xysin2x 4y2cos(2x)， 其中 cos 2 4y2，sin y 4y2， 故 4y 4y2 1，即 y2 4 15，故 2
22、15 15 y2 15 15 ， 当 y2 15 15 时， 有 cos 15 4 ， sin1 4， 此时 cos(2x)1， 即 xk 2， kZ 故 ymax2 15 15 ， 故 B 错误(或利用单位圆上的点与点(0，4)连线的斜率求)； f(x)4（14sin2x） （4sin2x）2 ，当 x 0， 4 时，f(x)0，故 f(x)在 0， 4 单调递减，故 D 正确(或 由复合函数判断)； 对于 C，由 f(0)0 知错误，或当 x 4，0 时，1sin2x0，故314sin2x0，即 f(x)0，故 f(x)在(x0，0)为减函数，故 C 不正确 故选 AD 【点拨】 三角函数
23、属于基本初等函数的范畴， 对其进行复合重构(新 函数)体现了新高考强化基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求， 属热点问题，解题的关键在于函数知识的灵活应用 【多选题】 (2021届武汉部分学校高三起点调研)已知函数 f(x)sin(sinx) cos(cosx)，下列关于该函数结论正确的是( ) Af(x)的图象关于直线 x 2对称 Bf(x)的一个周期是 2 Cf(x)的最大值为 2 Df(x)是区间 0， 2 上的增函数 解：因为 f(x)的定义域为 R，且 f(x)sin(sin(x)cos(cos(x)sin(sinx) cos(cosx)sin(sinx)cos(cosx)f(x)， 所以 f(x)的图象关于直线 x 2对称，A 正确； f(2x)sin(sin(2x)cos(cos(2x)sin(sinx)cos(cosx)f(x)，所以 f(x)的一个 周期为 2，B 正确； 因为 sinx1，1，cosx1，1，所以 sin(sinx)1，cos(cosx)1，则 f(x)2，故 C 错误； 因为 ysinx，ycosx 在 0， 2 分别为增函数和减函数，由复合函数的单调性知，函 数 ysin(sinx)，ycos(cosx)在 0， 2 均为增函数，故 f(x)在 0， 2 为增函数，故 D 正确 故选 ABD
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