1、27 函数的图象函数的图象 【教材梳理】 1利用描点法作图的步骤 (1)确定函数定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点并作出函数图象 2利用图象变换法作图的步骤 (1)平移变换 水平平移：yf(x)的图象向左平移 a(a0)个单位长度，得到_的图象；yf(xa)(a 0)的图象可由 yf(x)的图象向_平移 a 个单位长度而得到 竖直平移：yf(x)的图象向上平移 b(b0)个单位长度，得到_的图象；yf(x)b(b 0)的图象可由 yf(x)的图象向_平移 b 个单位长度而得到 总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减
2、” (2)对称变换 yf(x)，yf(x)，yf(x)三个函数的图象与 yf(x)的图象分别关于_、 _、_对称 若对定义域内的一切 x 均有 f(mx)f(mx)，则 yf(x)的图象关于直线对称 (3)伸缩变换 要得到 yAf(x)(A0)的图象， 可将 yf(x)的图象上每点的纵坐标伸(A1 时)或缩(A0)的图象，可将 yf(x)的图象上每点的横坐标伸(a1 时)到原来 的_ (4)翻折变换 y|f(x)|的图象作法：作出 yf(x)的图象，将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，上方的部分不变 yf(|x|)的图象作法： 作出 yf(x)在 y 轴右边的图象
3、， 以 y 轴为对称轴将其翻折到左边得 yf(|x|) 在 y 轴左边的图象，右边的部分不变 【常用结论】 3图象对称性的证明 (1)证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的 对称点仍在图象上 (2)证明曲线 C1与 C2的对称性，即证明 C1上任一点关于对称中心(或对称轴)的 对称点在 C2上，反之亦然 【自查自纠】 2(1)yf(xa) 右 yf(x)b 下 (2)y 轴 x 轴 原点 xm (3)A 倍 1 a倍 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“” ，错误的画“” (1)当 x(0，)时，函数 y|f(x)|与 yf(|x|)的图象相同 ( ) (2)
4、函数 yaf(x)与 yf(ax)(a0，且 a1)的图象相同 ( ) (3)函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于原点对称 ( ) (4)若函数 yf(x)满足 f(1x)f(1x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称 ( ) (5)将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 yf(x1)的图 象 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 设函数 f(x)2x，则如图所示的函数图象对应的函数是( ) Ayf(|x|) By|f(x)| Cyf(|x|) Dyf(|x|) 解：图中是函数 y2 |x|的图象，即函数 yf(|x|)的图 象故选 C (201
5、9河北衡水二中月考)若函数 f(x)axb 的图象如图所示，则( ) Aa1，b1 Ba1，0b1 C0a1 D0a1，0b1 解：由图象从左向右下降，知 0a1又 yf(x)与 y 轴的交点为(0，1b)，所以 01 b1，则 0b0，选 项 B 错误故选 A 已知函数 f(x)的部分图象如图所示，若不等式2f(xt)0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y 1 2 |x| 的图象，如图 1 实线部分 图 1 图 2 (2)将函数 ylog2x 的图象向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得 到函数 y|log2(x1)|的图象，如图 2 (3)因为 y2 1 x1
6、，故函数图象可由 y 1 x图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位即得，如图 3 图 3 图 4 (4)y x22x1，x0， x22x1，x0其图象如图 4 【点拨】 画函数图象的一般方法：直接法：当函数解析式(或变 形后的解析式)是熟悉的基本函数时， 就可根据这些函数的特征描出图象 的关键点直接作出图象变换法：若函数图象可由基本函数的图象经 过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，此时应注意平移变换 与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 作出下列函数的图象： (1)y|x24x3|； (2)y2x1 x1 ； (3)y10|lgx| 解：(1)先画出函数 yx24x3 的
7、图象，再将其 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，如图 1 (2)y2x1 x1 2 1 x1，可由 y 1 x的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得 到，如图 2 (3)y10|lgx| x，x1， 1 x，0 x1， 如图 3 所示 图 1 图 2 图 3 考点二考点二 识图识图 命题角度 1 给出函数确定图象 (1)(2018浙江卷)函数 y2|x|sin2x 的图象可能是( ) A B C D 解：函数 y2|x|sin2x 是奇函数，故排除 A，B 选项不论 x 取何值， 2|x|始终大于 0当 x 0， 2 时，sin2x0，故 y2|x|sin2x0，图象在 x 轴
8、的 上方；当 x 2， 时，sin2x0，故 y2 |x|sin2x0，排除选项 D； f(6) 263 262 67，排除选项 A故选 B 【点拨】 确定函数的图象主要用排除法要抓住函数的性质，定性分析： 从函数的定义域， 判断图象的左右位置； 从函数的值域， 判断图象的上下位置 从函数的单调性，判断图象的变化趋势从周期性，判断图象的循环往复 从函数的奇偶性，判断图象的对称性同时要善于抓住图象的特征，定量计算： 从函数的特征点入手，利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题 (1)(2020 安徽省庐江金牛中学高三模拟)函数 y sin2x 1cosx的部分图象大致为( ) A B C D 解：
9、由题意知， 函数 y sin2x 1cosx为奇函数，故排除 B；当 x 时， y0，故排除 D；当 x1 时，y sin2 1cos10，故排除 A故选 C (2)函数 f(x)exln|x|的大致图象为( ) A B C D 解： 函数 f(x)ex ln|x|， f(x)e x ln|x|， f(x)f(x)， f(x)f( x)，则函数 f(x)为非奇非偶函数，图象不关于 y 轴对称，排除 C，D；当 x，f(x)，排除 B故选 A (3)(2020湖北高三模拟)函数 y2x2e|x|在2，2的图象大致为( ) A B C D 解：函数 f(x)在2，2上是偶函数，其图象关于 y 轴对
10、称，因为 f(2) 8e2，08e20 时，y0；当 x0 时，y0 时， f(x)0，m2 显然不满足，所以 2m0，即 m0在 1 ， 1 上 恒 成 立 ， f (x) （2m）（x2m）2x2（2m） （x2m）2 （m2）（x 2m） （x2m）2 0，因为 m20， 所以只需要 x2m1，综上所述，1m0，b0，c0 Ba0，c0 Ca0，c0 Da0，b0，c0，c0，所以 b0，由 f(x)0，得 axb0，即 xb a0，所以 a0所以 a0，c0故选 C 考点三考点三 用图用图 命题角度 1 利用图象研究函数的性质 【多选题】 (20202021 学年福建仙游一中高一上期中
11、)定义 min(a， b) a，a0 时，xf(x) 解：由题可知，f(x)min(x2，1) x2，x21， 1，x21， 即 f(x) 1，x1， x2，1xf(x)，故 D 不正确故选 ABC 【点拨】 函数图象应用广泛， 是研究函数性质不可或缺的工具数 形结合应以快、准为前提，充分利用“数”的严谨和“形”的直观， 互为补充，互相渗透 【多选题】(2021 届广东中山市六校高三上一联)函数 f(x) |x21|，x1， lnx，x1， 则 下列说法正确的是( ) A函数 f(x)是偶函数 B函数 f(x)的最小值是 0 C函数 f(x)的单调递增区间是1，) D不等式 f(x)1 的解集
12、为 2，e 解：作出函数 f(x)的图象如图所示 可知函数 f(x)是非奇非偶函数，A 错误； 函数 f(x)的最小值是 0，B 正确； 函数 f(x)的单调递增区间是1，)，(1，0)，C 错误； 由 f(x)1 知，x 2或 x0 或 xe，结合图象易知 D 正确故选 BD 命题角度 2 利用图象解不等式 (2020北京卷)已知函数 f(x)2xx1，则不等式 f(x)0 的解集是( ) A(1，1) B(，1)(1，) C(0，1) D(，0)(1，) 解：因为 f(x)2xx1，所以 f(x)0 等价于 2xx1，在同一直角坐标系中作 出 y2x和 yx1 的图象如图， 两函数图象的交
13、点坐标为(0，1)，(1，2)， 不等式 2xx1 的解为 x1 所以不等式 f(x)0 的解集为(，0)(1，)故选 D 【点拨】 与指、对、幂混合型函数相关的不等式问题，常通过数形结 合转化为函数图象的交点和在交点两侧图象的上、下位置关系来求解 (2019福建双十中学模拟)设函数 yf(x1)是定义在(，0)(0，) 上的偶函数， 在区间(， 0)上是减函数， 且图象过点(1， 0)， 则不等式(x1)f(x)0 的解集为_ 解：画出 f(x)的大致图象如图所示 不等式(x1)f(x)0 可化为 x1， f（x）0或 x1， f（x）0 由图可知符合条件的解集为x|x0 或 1x2 故填x|x0 或 1x2
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