1、第一章 集合与常用逻辑用语 12 常用逻辑用语常用逻辑用语 【教材梳理】 1充分条件与必要条件 (1)如果 pq，则称 p 是 q 的_，q 是 p 的_ (2)如果_，且_，那么称 p 是 q 的充分必要条件，简称 p 是 q 的 _，记作_ (3)如果 pq，但 q p，那么称 p 是 q 的_条件 (4)如果_，但_，那么称 p 是 q 的必要不充分条件 (5)如果_，且_，那么称 p 是 q 的既不充分也不必要条件 2全称量词与存在量词 (1)全称量词 “所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做_，并 用符号“_”表示含有全称量词的命题称为_，全称命题“对 M 中 任意一个
2、 x，有 p(x)成立”可用符号简记为：xM，p(x) (2)存在量词 “存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做_，并用符 号“_”表示含有存在量词的命题称为_，特称命题“存在 M 中 的元素 x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为：x0M，p(x0) 注：特称命题也称存在性命题 (3)含有一个量词的命题的否定 命 题 命题的否定 xM，p(x) x0M，p(x0) 因此，全称命题的否定是_命题；特称命题的否定是_命题 【常用结论】 3以下说法等价 (1)pq (2)p 是 q 的充分条件 (3)q 是 p 的必要条件 (4)p 的一个必要条件是 q (5)q 的一个充分条件是 p
3、4关键量词的否定 (1)常用全称量词的否定 每一个 所有的 一个也没有 任意 存在一个 有的 至少有一个 存在 (2)常用存在量词的否定 至少有 n 个 至多有一个 存在 至多有 n1 个 至少有两个 任意 (3)一些常见判断词的否定 是 一定是 都 是 大于 小于 不 大 于 不 是 不一 定是 不 都 是 小于 或等于 大于 或等于 大 于 【自查自纠】 1(1)充分条件 必要条件 (2)pq qp 充要条件 pq (3)充分不必要 (4)p q qp (5)p q q p 2(1)全称量词 全称命题 (2)存在量词 特称命题 (3)x0M，p(x0) xM，p(x) 特称 全称 判断下列
4、命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件 ( ) (2)若 pq，则 p 是 q 的充分不必要条件 ( ) (3)当 p 是 q 的充要条件时，也可说成 q 成立当且仅当 p 成立 ( ) (4)“长方形的对角线相等”是特称命题 ( ) (5)命题“所有素数都是奇数”的否定是“所有素数都不是奇数” ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) (2020天津卷)设 aR，则“a1”是“a2a”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解： 由 a2a 可得 a1 或 a1”
5、是“a2a” 的充分不必要条件故 选 A (2018北京卷)设 a，b 均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是 “ab”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：|a3b|3ab|的两边平方得|a|26a b9|b|29|a|26a b|b|2，所以 8|a|212a b8|b|20， 所以 2|a|23a b2|b|20因为|a|b|1， 所以 3a b0， 所以 a b0，所以 ab反之，步步可逆，故是充分必要条件故选 C (2021四川绵阳期末)设命题 p：xR，x2x10，则p 为( ) Ax0R，x2 0 x010 Bx0R，x2
6、0 x010，则p 为：x0R，x2 0 x010故选 C 若“x 0， 6 ，2sinxm”是真命题，则实数 m 的最小值为 _ 解：因为 0 x 6，所以 02sinx1因为“x 0， 6 ，2sinxm”是 真命题，所以 m1，所以实数 m 的最小值为 1故填 1 考点一考点一 充分、必要条件的判定充分、必要条件的判定 (1)(2020四省八校联考)等比数列an中，a10，则“a1a4”是“a3a5”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：a10，则 a1a4a1a1q3q31q1 a10， 则 a3a5a1q2a1q4q2(q21)0q1
7、或 q1(1， ) ( ，1)(1，)故选 A (2)(2020北京卷)已知 ， R，则“存在 kZ 使得 k(1)k ”是“sin sin ”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：当存在 kZ 使得 k(1)k时， 若 k 为偶数，则 sinsin(k)sin； 若 k 为奇数，则 sinsin(k)sin(k1)sin()sin； 当 sinsin时，2m 或 2m，mZ，即 k(1)k(k2m)或 k(1)k(k2m1)，即存在 kZ 使得 k(1)k 所以， “存在 kZ 使得 k(1)k”是“sinsin”的充分必要条件故选
8、C 【点拨】 充要条件的三种判断方法：定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结 论；第二步，判断 pq 及 qp 的真假；第三步，下结论集合法：写出集合 Ax|p(x) 及 Bx|q(x)，利用集合之间的包含关系加以判断：(i)若 AB，则 p 是 q 的充分条件；(ii) 若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件；(iii)若 BA，则 p 是 q 的必要条件；(iv)若 B A， 则 p 是 q 的必要不充分条件；(v)若 AB，则 p 是 q 的充要条件；(vi)若 AB 且 BA，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件等价转化法：将命题转化为另一个等价且容易判断真 假的命题一般地，
9、这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻 辑推理判断真假 (1)(2019天津卷)设 xR，则“x25x0”是“|x1|1”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：由 x25x0 可得 0 x5，由|x1|1 可得 0 x0，b0，则“ab4”是“ab4”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解： 当 a0， b0 时， ab2 ab， 则当 ab4 时， 有 2 abab4， 解得 ab4， 充分性成立；当 a1，b4 时，满足 ab4，但此时 ab54，必要性不成立 综上
10、所述， “ab4”是“ab4”的充分不必要条件 故选 A 考点二考点二 充分、必要条件的综合应用充分、必要条件的综合应用 “直线 xyk0 与圆(x1)2y22 有两个不同的交点”的一个充分不必要条 件可以是 ( ) A1k3 B1k3 C0k3 Dk3 解：直线 xyk0 与圆(x1)2y22 有两个不同交点等价于|10k| 2 2，解得 k(1，3)四个选项中只有(0，3)是(1，3)的一个真子集，故充分不必要条件可以是 “0k3”故选 C 【点拨】 求解充要条件的应用问题时，一般是把充分条件、必要 条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出 关于参数的不等式(组)求解
11、；求解参数的取值范围时，一定要注意对 区间端点值进行检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值 范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现 错误 (2019湖南师大附中3月考)设 p：ln(2x1)0，q：(xa)x (a1)0，若 q 是 p 的必要而不充分条件，则实数 a 的取值范围是 ( ) A 0，1 2 B 0，1 2 C(，0 1 2， D(，0) 1 2， 解： 由 p 得： 1 2x1， 由 q 得： axa1， 因为 q 是 p 的必要而不充分条件， 所以 1 2，1 a，a1，所以 a1 2且 a11，所以 0a 1 2故选 A 考点三考点三 全称
12、命题与特称命题全称命题与特称命题 命题角度 1 全称命题与特称命题的否定 (1)(2019合肥适应性考试)已知 f(x)sinxtanx，命题 p：x0 0， 2 ，f(x0)0，则( ) Ap 是假命题，p：x 0， 2 ，f(x)0 Bp 是假命题，p：x0 0， 2 ，f(x0)0 Cp 是真命题，p：x 0， 2 ，f(x)0 Dp 是真命题，p：x0 0， 2 ，f(x0)0 解：x 0， 2 时，sinx0，0cosx1，则 1 cosx1， sinx cosxsinx，故 sinxtanx 恒成立，所以命题 p 是真命题(或取 x 4知 p 为真)，排除 A，B； p：x 0，
13、2 ，f(x)0故选 C (2)(2020届山东新高考模拟)设命题 p：所有正方形都是平行四边形， 则綈 p 为( ) A所有正方形都不是平行四边形 B有的平行四边形不是正方形 C有的正方形不是平行四边形 D不是正方形的四边形不是平行四边形 解：由全称命题的否定为特称命题可知，C 正确故选 C 【点拨】 全称命题与特称命题真假的判断： (i)要判断全称命题是真命 题，需要对集合 M 中每个元素 x，证明 p(x)成立，如果在集合 M 中找到一个 元素 x0，使得 p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题；(ii)要判定一个特 称命题是真命题，只要在限定的集合 M 中，至少能找一个 xx0，
14、使 p(x0)成 立即可，否则，这一特称命题就是假命题否定全称(特称)命题分两步： 第一步，改变量词；第二步，否定结论没有量词的要结合命题的含义加上 量词全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题 (1)命题“nN*，f(n)N*且 f(n)n”的否定形式是( ) AnN*，f(n)N*且 f(n)n BnN*，f(n)N*或 f(n)n Cn0N*，f(n0)N*且 f(n0)n0 Dn0N*，f(n0)N*或 f(n0)n0 解：全称命题的否定为特称命题，因此原命题的否定形式是“n0N*，f(n0)N* 或 f(n0)n0”故选 D (2)(2020年浙江高一练习)命题“存在一个三
15、角形，内角和不等于 180” 的否定为 ( ) A存在一个三角形，内角和等于 180 B任意三角形，内角和都等于 180 C任意三角形，内角和都不等于 180 D很多三角形，内角和不等于 180 解：该命题是一个“特称命题”，于是“存在”否定为“任意”；“不等于” 否定为“都等于”，命题的否定为“任意三角形，内角和都等于 180”故选 B 命题角度 2 依据全称(特称)命题真假求参数取值范围 (2021陕西省高新学校期末)若命题“存在 x0R，x2 02ax090”为假 命题，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(，3)(3，) B(3，3) C(，33，) D3，3 解：命题“存在 x0R，
16、x2 02ax090”为假命题，等价于“xR，都 有 x22ax90”，所以(2a)24903a3故选 D 【点拨】 已知命题真假求参数范围，可根据命题的含义，利用 函数值域(或最值)求解，另外注意转换，如本例，将特称命题为假 命题转换为全称命题为真命题，从而转化为一元二次不等式恒成立 问题 已知“命题 p：x0R，ax2 02x010，132，又四个命题三真一假，故甲、乙必有 一个是假，由甲为假易知，符合题意，由乙为假推出矛盾故选 A 【点拨】 此题是基于数学知识背景下的逻辑推理问题， 实际考查中， 也可能基于数学文化，生活生产等，体现对逻辑推理素养及批判性思维 能力的考查逻辑推理是指从一些
17、事实和命题出发，依据规则推出其他 命题的素养主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主 要有归纳、类比，一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎 数学老师给出一个定义在 R 上的函数 f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各说 出了这个函数的一条性质： 甲：在(，0上函数单调递减； 乙：在0，)上函数单调递增； 丙：函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称； 丁：f(0)不是函数的最小值 老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同 学是_ 解：假设甲，乙两个同学回答正确，因为在0，)上函数 单调递增，所以丙说“函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称”错 误此时 f(0)是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，这与 “四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾，所以只有乙回答错 误故填乙
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