1、2021 年河南省南阳市邓州市中考数学一模试卷年河南省南阳市邓州市中考数学一模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。 1 （3 分）下列各数中，比1 小的数是（ ） A|2| B （2） 1 C0 D2 2 （3 分）如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A B C D 3 （3 分）下列调查中，最适宜采用普查方式的是（ ） A调查黄河水中的泥沙含量 B了解我市中学生的睡眠情况 C调查全国中学生视力和用眼卫生情况 D检查我国即将发射的“神舟十二号载人飞船
2、”各零部件的情况 4 （3 分）将一副直角三角板（AFDE90，F45，C60，点 D 在边 AB 上）按图中所 示位置摆放，两条斜边为 EF，BC，且 EFBC，则ADF 等于（ ） A70 B75 C80 D85 5 （3 分）目前代表华为手机最强芯片的麒麟 990 处理器采用 7nm 工艺制造，已知 1nm10 3um，1um10 3mm，则 7nm 等于（ ） A710 3mm B710 5mm C710 6mm D710 7mm 6 （3 分）点 A（x1，1） ，B（x2，2） ，C（x3，3）都在双曲线 y= 上（k0）上，则 x1，x2，x3 大小关 系（ ） Ax1x2x3
3、Bx2x3x1 Cx1x3x2 Dx3x1x2 7 （3 分）直线 yx+a 不经过第二象限，则关于 x 的方程 ax2+2x+10 实数解的个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 8 （3 分）我国古代数学名著孙子算经中记载： “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳 量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再 量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为（ ） A = + 4.5 0.5 = 1 B = + 4.5 = 2 1 C = 4.5 0.5 =
4、 + 1 D = 4.5 = 2 1 9 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，按以下步骤作图：分别以点 C 和点 D 为圆心，大于1 2CD 的同样的长 为半径作弧，两弧交于 M，N 两点；作直线 MN，交 CD 于点 E，连接 BE若直线 MN 恰好经过点 A， 则下列说法错误的是（ ） AABC60 BtanABE= 3 2 CSABE2SADE D若 AB4，则 BE47 10 （3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上，OAOB2，AD42，将矩形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 2021 次旋转结束时，点 C 的坐标为（ ） A
5、（4，6） B （6，4） C （6，4） D （4，6） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）计算：|2|8 3 = 12 （3 分）不等式组 2 + 1 0 1 1 20 的最大整数解为 13 （3 分）一个不透明的袋子里有 4 个小球，上面分别标有数字2，1，1，2，小球除所标数字不同外， 其它完全相同，摇匀后摸出一球，记下数字为 a，不放回，再摸出一球，记下数字为 b，若点 M 的坐标 为（a，b） ，则点 M 落在双曲线 y= 2 上的概率为 14 （3 分）如图，AB 是O 的直径，且 AB10，过点 O 作 OCAB 交O 于点
6、 C，CAD30，点 P 是直径 AB 上的动点，求 PC，PD， 所围成的图形周长最小值为 15 （3 分）如图，正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 3 和 1，点 F，G 分别在边 BC，CD 上，P 为 AE 的中点，连接 PG，则 PG 的长为 三、解答题（共三、解答题（共 75 分）分） 16 （8 分）化简求值： （ 3 +2 +m2） 22+1 +2 ；其中 m= 2 +1 17 （9 分）某校为了解学生对我国社会主义现代化建设中“两个一百年”奋斗目标的知晓情况，对全校学 生进行了相关知识测试 （满分为 100 分） ， 并从七、 八年级各随机抽取了 10 名同学
7、的成绩， 收集数据为： 七年级：90，95，95，80，90，80，85，90，85，100； 八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90； 整理数据： 分数 人数 年级 80 85 90 95 100 七年级 2 2 3 2 1 八年级 1 2 a 2 1 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 89 b 90 39 八年级 90 90 c 30 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中 a，b，c 的值； （2）通过数据分析你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由； （3）该校七、八年级共有 600 人，本次测试成绩不低于 90 分的为“优秀“，估
8、计这两个年级共有多少 名学生达到“优秀” 18 （9 分）如图，在ABC 中，ABAC，BC 为的直径，D 为O 上任意一点，连接 AD 交 BC 于点 F， 过 A 作 EAAD 交 DB 的延长线于 E，连接 CD （1）求证：BECD； （2）填空：当EAB 时，四边形 ABDC 是正方形 若四边形 ABDC 的面积为 6，则 AD 的长为 19 （9 分）邓州杏山地质公园位于河南省邓州市西南约 50 公里处，紧邻丹江口水库南水北调渠首，面积 32.5 平方公里公园地质景观及自然景观为原始状态，是一座集岩溶地貌、典型底层剖面和地质构造为 主，水体为辅、人文和生态相互辉映的综合性公园（如图
9、 1） 双休日期间，小明携带测量工具随妈妈到 杏山地质公园游览，为测量杏山主峰的高度如图 2，小明在坡角为 30（CDE30）的斜坡 C 处 测得峰顶 A 的仰角为 31，沿斜坡 CD 走 80m 到平坦地面上点 D 处，测得峰顶 A 的仰角为 45 （1）求主峰到地面的高度 AB（结果保留整数；参考数据 sin310.5，cos310.9，tan310.6， 3 1.73） （2）妈妈借助手机某项功能得到杏山主峰海拔为 469m，所测水平地面的海拔为 263m，请你算出小明测 量主峰高度的误差，并帮助他提一条减小误差的方法 20 （9 分）共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向 310
10、km 的出行市场现有 A、B 两种品牌 的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中 A 品牌收费方式对应 y1，B 品牌的收费 方式对应 y2 （1）请求出两个函数关系式，并说明 B 品牌的收费方案 （2）如果小明每天早上需要骑行 A 品牌或 B 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车 的平均行驶速度均为 20km/h，小明家到工厂的距离为 6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱 呢？ （3）直接写出第几分钟，两种收费相差 1.5 元 21 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 过（1，0） ， （3，0） ， （0，6）三点，边长为 4 的正方形 O
11、ABC 的顶 点 A，C 分别在 x 轴上，y 轴上 （1）求抛物线解析式，并直接写出当1x4 时，y 的最大值与最小值的差 （2）将正方形 OABC 向右平移，平移距离记为 h， 当点 C 首次落在抛物线上，求 h 的值 当抛物线落在正方形内的部分，满足 y 随 x 的增大而减小时，请直接写出 h 的取值范围 22 （10 分）如图 1，在扇形 OAB 中，AOB90，BO10cm，C 是半径 BO 上一动点，过点 B 作 AC 的垂线交线段 AC 的延长线于点 D，交线段 AO 的延长线于点 E，连接 DO 明明发现，随着点 C 位置的改变，ODE 的三边都随之改变，所以，明明决定以 BC
12、 的长度为自变量， 设 BC 的长为 xcm，借助学习函数的经验来研究ODE 三边的变化规律，请你将下面的探究过程补充完 整 （1）根据点 C 在 OB 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 OD，OE 的长度，得到如表的几组对 应值 BC/cm 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 OD/cm a 9.7 8.8 8.1 7.3 6.3 5.3 4.1 2.8 1.4 0 DE/cm 14.1 12.7 11.2 9.8 8.2 6.7 5.2 3.7 2.4 1.1 0 如表中 a 的值为 OE 与自变量 BC 的长度具有某种关系，所以
13、无需测量 OE，通过推理并计算可以得到，请说明理由 （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，以 BC 的长为 x，OD 的长为 y1，DE 的长为 y2，如图 2，已经画出 了 y2的函数图象，请你描点并画出 y1的函数图象 （3）结合函数图象，请直接写出以下问题的答案 （结果保留一位小数） 当 ODDE 时，BC 的长度约为 当ODE 的三边中某一边的长度为 9cm 时，BC 的长度约为 23 （11 分）等腰ABC，ABAC，BAC120，AFBC 于 F，将腰 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB，记 旋转角为 ，连接 BB，过 C 作 CE 垂直于直线 BB，垂足为 E，连接 CB （1
14、） 问题发现： 如图 1， 当 40时， CBE 的度数为 ； 连接 EF， 则 的值为 （2）拓展探究：当 0360，且 120时 （1） 中的两个结论是否仍然成立？如果成立， 请仅就图 2 的情形进行证明； 如果不成立， 请说明理由； 解决问题：当 A，E，F 三点共线时，请直接写出 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。 1 （3 分）下列各数中，比1 小的数是（ ） A|2| B （2） 1 C0 D2 【解答】解：A|2|21，故此选项不
15、合题意； B （2） 1|= 1 2 1，故此选项不合题意； C.01，故此选项不合题意； D21，故此选项符合题意 故选：D 2 （3 分）如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A B C D 【解答】解：观察图形可知，这个几何体的俯视图是 故选：A 3 （3 分）下列调查中，最适宜采用普查方式的是（ ） A调查黄河水中的泥沙含量 B了解我市中学生的睡眠情况 C调查全国中学生视力和用眼卫生情况 D检查我国即将发射的“神舟十二号载人飞船”各零部件的情况 【解答】解：A调查黄河水中的泥沙含量，采用抽样调查，故选项不符合题意； B了解我市中学生的睡眠情况，采用抽样调
16、查，故选项不符合题意； C调查全国中学生视力和用眼卫生情况，采用抽样调查，故选项不符合题意； D检查我国即将发射的“神舟十二号载人飞船”各零部件的情况，采用全面调查，故选项符合题意； 故选：D 4 （3 分）将一副直角三角板（AFDE90，F45，C60，点 D 在边 AB 上）按图中所 示位置摆放，两条斜边为 EF，BC，且 EFBC，则ADF 等于（ ） A70 B75 C80 D85 【解答】解：如图所示，CB 与 FD 交点为 G， EFBC， FBGD45， 又ADG 是BDG 的外角，B30， ADGB+BGD30+4575， 故选：B 5 （3 分）目前代表华为手机最强芯片的麒麟
17、 990 处理器采用 7nm 工艺制造，已知 1nm10 3um，1um10 3mm，则 7nm 等于（ ） A710 3mm B710 5mm C710 6mm D710 7mm 【解答】解：1nm10 3um，1um103mm， 7nm710 6mm 故选：C 6 （3 分）点 A（x1，1） ，B（x2，2） ，C（x3，3）都在双曲线 y= 上（k0）上，则 x1，x2，x3 大小关 系（ ） Ax1x2x3 Bx2x3x1 Cx1x3x2 Dx3x1x2 【解答】解：k0， 反比例函数图象分布在第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小， x10，x2x30， x1x3x2
18、 故选：C 7 （3 分）直线 yx+a 不经过第二象限，则关于 x 的方程 ax2+2x+10 实数解的个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 【解答】解：直线 yx+a 不经过第二象限， a0， 当 a0 时，关于 x 的方程 ax2+2x+10 是一次方程，解为 x= 1 2， 当 a0 时，关于 x 的方程 ax2+2x+10 是二次方程， 224a0， 方程有两个不相等的实数根 故选：D 8 （3 分）我国古代数学名著孙子算经中记载： “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳 量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余 4.
19、5 尺；将绳子对折再 量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为（ ） A = + 4.5 0.5 = 1 B = + 4.5 = 2 1 C = 4.5 0.5 = + 1 D = 4.5 = 2 1 【解答】解：设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为： = + 4.5 0.5 = 1 故选：A 9 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，按以下步骤作图：分别以点 C 和点 D 为圆心，大于1 2CD 的同样的长 为半径作弧，两弧交于 M，N 两点；作直线 MN，交 CD 于点 E，连接 BE若直线 MN 恰好经过点 A， 则下
20、列说法错误的是（ ） AABC60 BtanABE= 3 2 CSABE2SADE D若 AB4，则 BE47 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD， 由作图可知，MN 垂直平分线段 CD， ECDE，ADE90， AD2DE， DAE30， DABC60，故选项 A 正确， ABDE，AB2DE， SABE2SADE，故选项 C 正确， 设 DECEm，则 ADAB2m，AE= 3m， ABCD，AECD， ABAE， BAE90， tanABE= 3 2 ，故选项 B 正确， 当 AB4 时，DEEC2，AE= 3， BE=42+ (3)2= 19，故选项 D 错误 故
21、选：D 10 （3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上，OAOB2，AD42，将矩形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 2021 次旋转结束时，点 C 的坐标为（ ） A （4，6） B （6，4） C （6，4） D （4，6） 【解答】解：矩形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90， 旋转 360时与原矩形 ABCD 重合， 202145051， 第 2021 次旋转结束时与矩形 ABCD 旋转 90的位置一样， 过 C作 CEx 轴交于点 E， OAOB2， BAO45， BAO45， BAC90， CAE45， CEAE，
22、AD42， AECE4， C（6，4） ， 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）计算：|2|8 3 = 0 【解答】解：|2|8 3 22 0 故答案为：0 12 （3 分）不等式组 2 + 1 0 1 1 20 的最大整数解为 1 【解答】解：解不等式 2x+10，得：x 1 2， 解不等式 1 1 2x0，得：x2， 则不等式组的解集为 1 2 x2， 所以不等式组的最大整数解为 1 故答案为：1 13 （3 分）一个不透明的袋子里有 4 个小球，上面分别标有数字2，1，1，2，小球除所标数字不同外， 其它完全相同，摇匀后摸出一
23、球，记下数字为 a，不放回，再摸出一球，记下数字为 b，若点 M 的坐标 为（a，b） ，则点 M 落在双曲线 y= 2 上的概率为 1 3 【解答】解：画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，其中点 M 落在双曲线 y= 2 上的有： （1，2） 、 （2，1） 、 （1，2） 、 （ 2，1）这 4 个， 所以点 M 落在双曲线 y= 2 上的概率为1 3， 故答案为1 3 14 （3 分）如图，AB 是O 的直径，且 AB10，过点 O 作 OCAB 交O 于点 C，CAD30，点 P 是直径 AB 上的动点，求 PC，PD， 所围成的图形周长最小值为 53 + 5 3 【解答】解：如
24、图，连接 OD CAD30，连接 OD，根据圆周角定理可 COD60， 又 AB 是O 的直径，且 AB10， = 605 180 = 5 3 作点 C 关于 AB 的对应点 C，连接 DC交 AB 于 P， 此时 PC+PD 的值最小，最小值为 DC的长 连接 CD，则CDC90， CCAD30， CD= 1 2CC5，DC= 3CD53， PC，PD， 所围成的图形周长最小值为 53 + 5 3 故答案为：53 + 5 3 15 （3 分）如图，正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 3 和 1，点 F，G 分别在边 BC，CD 上，P 为 AE 的中点，连接 PG，则 PG
25、的长为 5 【解答】解：方法 1、延长 GE 交 AB 于点 O，作 PHOE 于点 H 则 PHAB P 是 AE 的中点， PH 是AOE 的中位线， PH= 1 2OA= 1 2（31）1 直角AOE 中，OAE45， AOE 是等腰直角三角形，即 OAOE2， 同理PHE 中，HEPH1 HGHE+EG1+12 在 RtPHG 中，PG= 2+ 2= 12+ 22= 5 故答案是：5 方法 2、如图 1， 延长 DA，GP 相交于 H， 四边形 ABCD 和四边形 EFCG 是正方形， EGBCAD， HPGE，HAPGEP， 点 P 是 AE 的中点， APEP， AHPEGP， A
26、HEG1，PGPH= 1 2HG， DHAD+AH4，DGCDCG2， 根据勾股定理得，HG= 2+ 2=25， PG= 5， 故答案为5 三、解答题（共三、解答题（共 75 分）分） 16 （8 分）化简求值： （ 3 +2 +m2） 22+1 +2 ；其中 m= 2 +1 【解答】解：原式（ 3 +2 + 24 +2 ） (1)2 +2 = (+1)(1) +2 +2 (1)2 = +1 1， 当 m= 2 +1 时， 原式= 2+1+1 2+11 = 2 + 1 17 （9 分）某校为了解学生对我国社会主义现代化建设中“两个一百年”奋斗目标的知晓情况，对全校学 生进行了相关知识测试 （满
27、分为 100 分） ， 并从七、 八年级各随机抽取了 10 名同学的成绩， 收集数据为： 七年级：90，95，95，80，90，80，85，90，85，100； 八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90； 整理数据： 分数 人数 80 85 90 95 100 年级 七年级 2 2 3 2 1 八年级 1 2 a 2 1 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 89 b 90 39 八年级 90 90 c 30 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中 a，b，c 的值； （2）通过数据分析你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由； （3）该校七、八
28、年级共有 600 人，本次测试成绩不低于 90 分的为“优秀“，估计这两个年级共有多少 名学生达到“优秀” 【解答】解： （1）由题意可得，a4 将七年级抽样成绩重新排列为：80，80，85，85，90，90，90，95，95，100， 位于中间位置的两个数都是 90，所以中位数 b= 90+90 2 =90， 90 出现了 3 次，次数最多，所以众数 c90； （2）八年级的成绩比较好理由如下： 虽然七、八年级成绩的中位数与众数相同，但是八年级的成绩的平均数比七年级高，方差比七年级小， 所以八年级的成绩比较好； （3）600 3+2+1+4+2+1 10+10 =390（人） ， 故估计这两
29、个年级共有 390 名学生达到“优秀” 18 （9 分）如图，在ABC 中，ABAC，BC 为的直径，D 为O 上任意一点，连接 AD 交 BC 于点 F， 过 A 作 EAAD 交 DB 的延长线于 E，连接 CD （1）求证：BECD； （2）填空：当EAB 45 时，四边形 ABDC 是正方形 若四边形 ABDC 的面积为 6，则 AD 的长为 23 【解答】 （1）证明：BC 为O 直径， BACBDC90， ABD+ACD180， 又ABD+ABE180， ABEACD， EAAD， BAD+CADBAD+BAE90， CADBAE， 在ABE 和ACD 中， = = = ， ABE
30、ACD（ASA） ， BECD； （2）解：当EAB45时，四边形 ABDC 是正方形 理由：由（1）知，EABCAD， CAD45， BAD904545， = ， BDCD， ABC，BCD 都是等腰直角三角形， 在ABC 和DBC 中， = = 45 = = = 45 ， ABCDBC（ASA） ， ABACBDCD， 四边形 ABDC 是菱形， BAC90， 四边形 ABDC 是正方形 故答案为：45； 由（1）知，ABEACD， AEAD，SABESADC， SAEDS四边形ABDC6， 1 2AD 26， AD23， 故答案为：23 19 （9 分）邓州杏山地质公园位于河南省邓州市西
31、南约 50 公里处，紧邻丹江口水库南水北调渠首，面积 32.5 平方公里公园地质景观及自然景观为原始状态，是一座集岩溶地貌、典型底层剖面和地质构造为 主，水体为辅、人文和生态相互辉映的综合性公园（如图 1） 双休日期间，小明携带测量工具随妈妈到 杏山地质公园游览，为测量杏山主峰的高度如图 2，小明在坡角为 30（CDE30）的斜坡 C 处 测得峰顶 A 的仰角为 31，沿斜坡 CD 走 80m 到平坦地面上点 D 处，测得峰顶 A 的仰角为 45 （1）求主峰到地面的高度 AB（结果保留整数；参考数据 sin310.5，cos310.9，tan310.6， 3 1.73） （2）妈妈借助手机某
32、项功能得到杏山主峰海拔为 469m，所测水平地面的海拔为 263m，请你算出小明测 量主峰高度的误差，并帮助他提一条减小误差的方法 【解答】解： （1）过点 D 作 CFDE 于点 F，CGAB 于点 G，如图 2 所示： 则四边形 CGBF 为矩形， CFBG，CGBF， ADB45，ABBD， ABD 是等腰直角三角形， ABBD， CDE30，CFDE， CF= 1 2CD40（m） ，DFCDcos30800.972（m） ， 设 ABBDxm， AGABBGABCF（x40） （m） ，CGBFBD+DF（x+72） （m） ， 在 RtACG 中，tanACG= ， 即 tan31
33、= 40 +72， 40 +72 0.6， 解得：x208（m） ， 主峰到地面的高度 AB 约为 208m； （2）主峰高度为：469263206（m） ，小明测量主峰高度的误差为：2082062（m） ， 减小误差的方法：小明沿斜坡 CD 多测几次，再取平均值即可 20 （9 分）共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向 310km 的出行市场现有 A、B 两种品牌 的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中 A 品牌收费方式对应 y1，B 品牌的收费 方式对应 y2 （1）请求出两个函数关系式，并说明 B 品牌的收费方案 （2）如果小明每天早上需要骑行 A 品牌或 B
34、品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车 的平均行驶速度均为 20km/h，小明家到工厂的距离为 6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱 呢？ （3）直接写出第几分钟，两种收费相差 1.5 元 【解答】解： （1）设 y1k1x， 把点（20，4）代入 y1k1x， 得：k10.2， y10.2x（x0） ； 由图象可知，当 0 x10 时，y23， 当 x10 时，设 y2k2x+b， 把点（10，3）和点（20，4）代入 y2k2x+b 中， 得：102 + = 3 202+ = 4， 解得：2 = 0.1 = 2 ， y20.1x+2， 综上：2= 3(0 10) 0.
35、1 + 2(10)， B 品牌的收费方案：当骑行时间不超过 10min 时，收费 3 元； 当骑行时间超过 10min 时，除了收费 3 元，每多骑行 1min，加收 0.1 元； （2）6200.3（h） ，0.3h18 min， 1820， 由图象可知，当骑行时间不足 20min 时，y1y2， ，即骑行 A 品牌的共享电动车更省钱 .小明选择 A 品牌的共享电动车更省钱； （3）当 x20min 时两种收费相同， 两种收费相差 1.5 元分 20min 前和 20min 后两种情况， 当 x20 时，离 20min 越近收费相差的越少， 当 x10 时，y10.2102，y23， y2y
36、1321， 要使两种收费相差 1.5 元，x 应小于 10， y2y130.2x1.5， 解得：x7.5； 当 x20 时，0.2x（0.1x+2）1.5， 解得：x35 在 7.5 分钟或 35 分钟，两种收费相差 1.5 元 21 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 过（1，0） ， （3，0） ， （0，6）三点，边长为 4 的正方形 OABC 的顶 点 A，C 分别在 x 轴上，y 轴上 （1）求抛物线解析式，并直接写出当1x4 时，y 的最大值与最小值的差 （2）将正方形 OABC 向右平移，平移距离记为 h， 当点 C 首次落在抛物线上，求 h 的值 当抛物线落在正方形内
37、的部分，满足 y 随 x 的增大而减小时，请直接写出 h 的取值范围 【解答】解： （1）由题意得： + + = 0 9 + 3 + = 0 = 6 ，解得 = 2 = 8 = 6 ， 故抛物线的表达式为 y2x28x+6， 由抛物线的表达式知，其顶点坐标为（2，2） ， 当 x1 时，y2x28x+616， 故当1x4 时，x1 时，y 取得最大值 16，而在顶点处取得最小值2， y 的最大值与最小值的差为 16（2）18； （2）当点 C 首次落在抛物线上，yC42x28x+6，解得 x23， 因为点 C 首次落在抛物线上，x2+3舍弃， 则 hx23； 当点 C 首次落在抛物线上，h23
38、，当 h23时，抛物线落在正方形内的部分，满足 y 随 x 的增 大而减小， 当 h3 时， 即正方形运动到点 （3， 0） 处， 此时抛物线落在正方形内的部分， 满足 y 随 x 的增大而减小， 当 h3 时，对称轴右侧的抛物线进入正方形内，即满足 y 随 x 的增大而减小，故 h3； 故 23h3 22 （10 分）如图 1，在扇形 OAB 中，AOB90，BO10cm，C 是半径 BO 上一动点，过点 B 作 AC 的垂线交线段 AC 的延长线于点 D，交线段 AO 的延长线于点 E，连接 DO 明明发现，随着点 C 位置的改变，ODE 的三边都随之改变，所以，明明决定以 BC 的长度为
39、自变量， 设 BC 的长为 xcm，借助学习函数的经验来研究ODE 三边的变化规律，请你将下面的探究过程补充完 整 （1）根据点 C 在 OB 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 OD，OE 的长度，得到如表的几组对 应值 BC/cm 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 OD/cm a 9.7 8.8 8.1 7.3 6.3 5.3 4.1 2.8 1.4 0 DE/cm 14.1 12.7 11.2 9.8 8.2 6.7 5.2 3.7 2.4 1.1 0 如表中 a 的值为 10 OE 与自变量 BC 的长度具有某种关系，所以无需
40、测量 OE，通过推理并计算可以得到，请说明理由 （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，以 BC 的长为 x，OD 的长为 y1，DE 的长为 y2，如图 2，已经画出 了 y2的函数图象，请你描点并画出 y1的函数图象 （3）结合函数图象，请直接写出以下问题的答案 （结果保留一位小数） 当 ODDE 时，BC 的长度约为 5.8cm 当ODE 的三边中某一边的长度为 9cm 时，BC 的长度约为 1.0cm 或 1.8cm 或 3.5cm 【解答】解： （1）当 BC0 时，则点 B、C、D 三点重合， OD10cm， 故答案为：10； AOB90，ADBD， AOBBOEBDC90， BC
41、DACO， DBCCAO， OAOB， OACOBE（ASA） ， OCOE， OEOCOBBC10BC， 无需测量 OE，通过推理并计算可以得到， （2）如图所示： （3）由图象可知：当 ODDE 时，BC5.8cm， 故答案为：5.8cm； 当 OE9cm 时，由（1）知 OCOE9cm， BC1.0cm， 当 OD9cm 时，由图象知 BC1.8cm； 当 DE9cm 时，BC3.5cm， 综上：BC1.0cm 或 1.8cm 或 3.5cm 故答案为：1.0cm 或 1.8cm 或 3.5cm 23 （11 分）等腰ABC，ABAC，BAC120，AFBC 于 F，将腰 AB 绕点 A
42、 逆时针旋转至 AB，记 旋转角为 ，连接 BB，过 C 作 CE 垂直于直线 BB，垂足为 E，连接 CB （1）问题发现：如图 1，当 40时，CBE 的度数为 60 ；连接 EF，则 的值为 3 2 （2）拓展探究：当 0360，且 120时 （1） 中的两个结论是否仍然成立？如果成立， 请仅就图 2 的情形进行证明； 如果不成立， 请说明理由； 解决问题：当 A，E，F 三点共线时，请直接写出 的值 【解答】解： （1）ABAC，BAC120，AFBC 于 F， ABCACB30，BFFC， 根据旋转的性质得：ABACAB， ABBABB= 18040 2 =70， ACAB，BAC1
43、204080， ABC= 18080 2 =50， CBE180705060， 连接 EF， BFFC， EFBFFC， 在 RtABF 中，cos30= = 3 2 ， = = 3 2 ， 故答案为：60， 3 2 ； （2）（1）中的两个结论仍然成立，理由如下： 连接 EF， 根据旋转的性质得：ABACAB， 在等腰ABB中，BAB， ABB= 180 2 =90 1 2， 在等腰ABC 中，CAB120， ABC= 180(120) 2 =150 1 2， CBE（150 1 2）（90 1 2）60， ABAC，BAC120，AFBC， FAC60， RtCEB中， =sin60= 3
44、 2 ， RtCFA 中， =sin60= 3 2 ， = ， FCE30+ACEACB， CEFCBA， = = 3 2 ； 当 A，E，F 三点共线时，分以下两种情况讨论： 当点 E 在 FA 的延长线上时，如图， 由可知，B60， CEBB， CEB90， BFFC， BC2EF2BF，BECE， 设 BFx，则 EFCFx，BECE= 2x， 在 RtCBE 中，BECEtan30= 6 3 ， BBEB+BE= 32+6 3 x， = 32+6 3 2 = 3+3 3 ； 当点 E 在 AF 的延长线上时，如图， 同理可得，CBE60，BC2EF2BF， CEBB， CEBCEB90，BECE， 设 BFx，则 EFCFx，BECE= 2x， 在 RtCBE 中，BECEtan30= 6 3 x， BBBEBE= 326 3 x， = 326 3 2 = 33 3 ； 综上， 的值为3+3 3 或33 3
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