1、第第 3 3 节节 带电粒子在匀强磁场中的运动带电粒子在匀强磁场中的运动 核心 素养 目标 物理 观念 1.知道带电粒子沿着垂直于磁场的方向射入匀强磁场会做匀速圆周运动。 2.理解洛伦兹力对运动电荷不做功。 科学 思维 1.掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的分析方法， 会推导匀速圆 周运动的半径公式和周期公式。 2.能够用学过的知识分析、计算有关带电粒子在匀强磁场中受力、运动问 题。 知识点一 带电粒子在匀强磁场中的运动 观图助学 当带电粒子 q 以速度 v 垂直进入匀强磁场中，它将做什么运动？ 1.洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子 速度的大小。 2.沿
2、着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子， 在匀强磁场中做匀速圆周运动。 洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功。 若 vB，洛伦兹力 F0，带电粒子以速度 v 做匀速直线运动。 知识点二 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 观图助学 垂直射入磁场的带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，圆周的半径可能与 哪些因素有关？周期可能与哪些因素有关？ 1.运动条件：不计重力的带电粒子沿着与磁场垂直的方向进入 匀强磁场。 2.洛伦兹力作用：提供带电粒子做圆周运动的向心力，即 qvBmv 2 r 。 3.基本公式 半径：rmv qB。 周期：T2r v 2m qB 。 思考判断
3、(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径跟粒子的速率成正比。() (2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比。() (3)运动电荷在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度增大而减小。() 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期与粒子运动速率和半径无关。 核心要点 带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题 观察探究 如图所示，可用洛伦兹力演示仪观察运动电子在匀强磁场中的偏转。 (1)不加磁场时，电子束的运动轨迹如何？加上磁场时，电子束的运动轨 迹如何？ (2)如果保持出射电子的速度不变，增大磁感应强度，轨迹圆半径如何变化？如果保持磁感应 强度不变，增大出射电子的速度，圆半径如何变
4、化？ 答案 (1)一条直线 圆 (2)减小 增大 探究归纳 1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，匀速圆周运动的周期 T2r v 。将 rmv qB代入可得 T 2m qB 。 2.同一粒子在同一磁场中，由 rmv qB知，r 与 v 成正比；由 T 2m qB 知，T 与速度无关，与半径 大小无关。 试题案例 例 1 如图所示，MN 为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于纸面的 匀强磁场(未画出)。一带电粒子从紧贴铝板上表面的 P 点垂直于铝板向上射 出，从 Q 点穿越铝板后到达 PQ 的中点 O。已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向 和电荷量不变，不计重力。铝板上方和下方的磁感
5、应强度大小之比为( ) A.12 B.21 C. 22 D. 21 解析 设带电粒子在 P 点时初速度为 v1，从 Q 点穿过铝板后速度为 v2，则 Ek11 2mv 2 1，Ek21 2 mv22； 由题意可知 Ek12Ek2， 即1 2mv 2 1mv22， 则v 1 v2 2 1 。 由洛伦兹力提供向心力， 即 qvBmv 2 r ， 得 Bmv qr ，由题意可知r1 r2 2 1，所以 B1 B2 v1r2 v2r1 2 2 ，选项 C 正确。 答案 C 针对训练 1 质子和 粒子由静止出发经同一加速电场加速后， 沿垂直磁感线方向进入同一匀 强磁场，则它们在磁场中的各物理量间的关系正
6、确的是( ) A.速度之比为 21 B.周期之比为 12 C.半径之比为 12 D.角速度之比为 11 解析 由 qU1 2mv 2 和 qvBmv 2 r m2r 得 v 2qU m ，qB m ，r1 B 2mU q ，而 m4mH，q 2qH，故 vHv 21，H21，rHr1 2，又 T2m qB ，故 THT12。 选项 B 正确。 答案 B 核心要点 带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 要点归纳 在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时， 着重把握“一找圆心， 二求半径， 三定时间” 的方法。 1.圆心的确定方法：两线定一“心” (1)圆心一定在垂直于速度的直线上。 如图甲所示，
7、已知入射点 P(或出射点 M)的速度方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线， 两条直线的交点就是圆心。 (2)圆心一定在弦的中垂线上。 如图乙所示，作 P、M 连线的中垂线，与任一速度的垂线的交点为圆心。 2.求半径 方法(1)：由公式 qvBmv 2 r ，得半径 rmv qB； 方法(2)：由轨迹和约束边界间的几何关系求解半径 r。 3.定时间 粒子在磁场中运动一周的时间为 T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为 时，其运动时间为 t 360 T(或 t 2T)。 4.圆心角与偏向角、圆周角的关系 两个重要结论：(1)带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间 的夹角叫作偏向角， 偏
8、向角等于圆弧PM 对应的圆心角 ， 即 ，如图所示。 (2)圆弧PM 所对应圆心角 等于弦 PM 与切线的夹角(弦切角) 的 2倍，即 2，如图所示。 试题案例 例 2 如图所示，一带电荷量为 2.010 9 C、质量为 1.81016 kg 的粒子， 在直线上一点 O 沿与直线夹角为 30 方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场中， 经过 1.510 6 s 后到达直线上另一点 P，不计重力，求： (1)粒子做圆周运动的周期； (2)磁感应强度 B 的大小； (3)若 O、P 之间的距离为 0.1 m，则粒子的运动速度多大？ 解析 (1)作出粒子轨迹，如图所示，由图可知粒子由 O 到 P 的大
9、圆弧所对的 圆心角为 300 ，则 t T 300 360 ， 周期 T6 5t 6 51.510 6 s1.8106 s。 (2)由于粒子做圆周运动所需的向心力为洛伦兹力，得 qvBmv 2 R ， 所以 Bmv qR m q 2m qT 23.141.810 16 2.010 91.8106 T 0.314 T。 (3)由几何知识可知，半径 ROP0.1 m，故粒子的速度 vBqR m 0.3142.010 90.1 1.810 16 m/s3.49105 m/s。 答案 (1)1.810 6 s (2)0.314 T (3)3.49105 m/s 温馨提示 处理带电粒子在磁场中的运动问题
10、时按“三”步进行 (1)画轨迹：即确定圆心，画出轨迹并通过几何方法求半径。 (2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系， 运动的时间与周期相联系。 (3)用规律：运用牛顿第二定律和匀速圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公 式。 针对训练 2 如图所示，带负电的粒子沿垂直磁场方向进入圆形匀强磁场区域， 出磁场时速度偏离原方向 60 角，带电粒子质量 m3 10 20 kg，电荷量 q1013 C，速度 v 0105 m/s，磁场区域的半径 R310 1 m，不计粒子的 重力，求磁场的磁感应强度 B。 解析 画进、出磁场速度方向的垂线得交点 O，O点即为
11、粒子做圆周运动的圆 心，据此作出运动轨迹AB ，如图所示，设此圆半径记为 r，则OA OAtan 60 ，所 以 r 3R。带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 有 qv0Bmv 2 0 r ， 所以 Bmv0 qr 310 20105 10 133 3101 T 3 3 10 1 T。 答案 3 3 10 1 T 核心要点 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题 要点归纳 带电粒子在有界磁场中的圆周运动的几种常见情形 (1)直线边界(进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等，如图所示) (2)平行边界(存在临界条件，如图所示) (3)圆形边界(沿径向射入必沿径
12、向射出，如图所示) 试题案例 例 3 如图所示，在真空中宽为 d 的区域内有匀强磁场，磁感应强度为 B，质 量为 m、带电荷量为 e、速率为 v0的电子从边界 CD 外侧垂直射入磁场，入射 方向与 CD 边夹角为 ，为了使电子能从磁场的另一边界 EF 射出，v0满足的 条件是什么？(不计重力作用) 解析 当入射速率很小时， 电子在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出， 速 度越大，轨道半径越大，当轨道与右边界相切时，电子恰好不能从磁场另一边 界射出， 如图所示，由几何知识可得 rrcos d 又 ev0Bmv 2 0 r ，解得 v0 Bed m（1cos ） 所以为了使电子能从磁场的另一边界
13、EF 射出，电子的速度 v0 Bed m（1cos ）。 答案 v0 Bed m（1cos ） 针对训练 3 (多选)长为 l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强 度为 B，板间距离也为 l，极板不带电。现有质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒 子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度 v 水平射入磁场，欲 使粒子不打在极板上，可采用的办法是( ) A.使粒子的速度 v5Bql 4m C.使粒子的速度 vBql m D.使粒子的速度Bql 4mv 5Bql 4m 解析 如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有 r21 r1l 2 2 l2 又 r1mv1 Bq ，所以
14、 v15Bql 4m 粒子刚好打在极板左边缘时 有 r2l 4 mv2 Bq ，v2Bql 4m 综合上述分析可知，选项 A、B 正确。 答案 AB 1.(带电粒子的运动分析)如图所示，水平导线中有电流 I 通过，导线正下方的电 子初速度的方向与电流 I 的方向相同，则电子将( ) A.沿路径 a 运动，轨迹是圆 B.沿路径 a 运动，轨迹半径越来越大 C.沿路径 a 运动，轨迹半径越来越小 D.沿路径 b 运动，轨迹半径越来越小 解析 水平导线在导线下方产生的磁场方向垂直纸面向外， 由左手定则可判断电子运动轨迹向 下弯曲，又由 rmv qB知，B 减小，r 越来越大，故电子的径迹是 a。故选
15、项 B 正确。 答案 B 2.(带电粒子的圆周运动)如图所示，ab 是一弯管，其中心线是半径为 R 的一段 圆弧，将它置于一给定的匀强磁场中，磁场方向垂直于圆弧所在平面，并且 指向纸外。有一束粒子对准 a 端射入弯管，粒子有不同的质量、不同的速度，不计重力，但都 是一价正离子，则( ) A.只有速度 v 大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管 B.只有质量 m 大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管 C.只有质量 m 与速度 v 的乘积大小一定的粒子才可以沿中心线通过弯管 D.只有动能 Ek大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管 解析 因为粒子能沿中心线通过弯管要有一定的半径，其半径 rRmv qB，由于
16、 q、B 都相同， 只有当 mv 一定时，粒子才能通过弯管。选项 C 正确。 答案 C 3.(带电粒子在匀强磁场中的圆周运动)如图所示，a 和 b 带电荷量相同，以相同 动能从 A 点射入磁场，在匀强磁场中做圆周运动的半径 ra2rb，则可知(重力 不计)( ) A.两粒子都带正电，质量比ma mb4 B.两粒子都带负电，质量比ma mb4 C.两粒子都带正电，质量比ma mb 1 4 D.两粒子都带负电，质量比ma mb 1 4 解析 由于 qaqb、EkaEkb，动能 Ek1 2mv 2 和粒子偏转半径 rmv qB，可得 m r2q2B2 2Ek ，可见 m 与半径 r 的平方成正比，故 mamb41，再根据左手定则判知粒子应带负电，故选项 B 正 确。 答案 B
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