1、第第 3 3 节节 简谐运动的回复力和能量简谐运动的回复力和能量 学习目标要求 核心素养和关键能力 1.理解回复力的概念和特点。 2.会用动力学方法分析简谐运动中位移、 速度、回复力和加速度的变化规律。 3.会用能量守恒的观点分析弹簧振子动 能、势能、总能量的变化规律。 1.核心素养 (1)利用能量守恒定律研究弹簧振子， 物理建模法理解简谐运动。 (2)利用“对称性”和“周期性”思维 方法，理解简谐运动。 2.关键能力 物理建模能力和综合分析能力。 一、简谐运动的回复力 1.回复力：能够使物体在平衡位置附近做往复运动的力。 2.效果：把物体拉回到平衡位置。 3.方向：总是与位移 x 的方向相反
2、，即总是指向平衡位置。 4.表达式：Fkx，该式表明做简谐运动的物体的回复力与位移的关系，“” 表明回复力与位移的方向始终相反。 5.简谐运动的动力学定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位 移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 【判一判】 (1)回复力的方向总是与位移的方向相反。() (2)回复力的方向总是与速度方向相反。() (3)回复力的方向总是与加速度的方向相反。() (4)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此加速度一定为零。() (5)回复力可以是一个力的分力，也可以是几个力的合力。() 二、简谐运动的能量 1.简谐运动的能量：指振动系
3、统的机械能。振动过程就是动能和势能相互转化的 过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能最小为零。 (2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。 2.决定能量大小的因素 (1)振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能越大，振动越强。 (2)在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，所以简谐运动是等幅振动，是一种理 想化模型。 【做一做】 (多选)(2021 河北玉田一中高二月考)如图所示，一弹簧振子在 B、C 间做简谐运 动，平衡位置为 O，振幅为 A，已知振子的质量为 M。若振子运动到 C 处时，将 一质量为 m 的物体轻放到 M 的上面，m 和 M 一起运动且无相对滑动，下列叙述 正确的是( )
4、 A.振幅不变 B.振幅减小 C.最大动能不变 D.最大动能减小 答案 AC 解析 由题意可得，地面光滑，在物体 M 上放 m 后，不改变原来系统的能量， 所以不改变最大的弹性势能，由于弹性势能与振子的质量无关，所以振幅不变； 在弹性势能为 0 时，物体有最大速度，由于总能量不变，所以最大动能不变，由 于质量变大，则最大速度减小。 探究 1 简谐运动的动力学分析 情境导入 如图所示为穿在光滑水平杆上的弹簧振子的模型，O 点为振子的平衡位置，A、O 间和 B、O 间距离都是 x。 (1)振子在 O 点时受到几个力的作用？分别是什么力？ (2)振子在 A、B 点时受到哪些力的作用？ (3)除重力、
5、支持力、弹簧弹力外，振子在 O、A、B 点还受到回复力的作用吗？ 回复力有什么特点？ 答案 (1)两个力；重力、支持力。 (2)A 点：重力、支持力、弹簧对其向右的弹力；B 点：重力、支持力、弹簧对其 向左的弹力。 (3)不受。回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来 命名的，不是一种新型的力，所以分析物体的受力时，不分析回复力。 回复力可以由某一个力提供(如弹力)，也可能是几个力的合力，还可能是某一个 力的分力，归纳起来，回复力一定等于物体沿振动方向所受的合力。 归纳拓展 1.简谐运动中回复力的来源 (1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的
6、作用 效果来命名的。 (2)回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可 能是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和物体所受的重 力的合力；还可能是某一力的分力。 2.Fkx式中 k值的理解： 公式 Fkx中的 k指的是回复力与位移的比例系数， 而不一定是弹簧的劲度系数，系数 k 由振动系统自身决定。 3.简谐运动的加速度的特点：根据牛顿第二定律得 aF m k mx，表明弹簧振子做 简谐运动时， 振子的加速度大小与位移大小成正比， 加速度方向与位移方向相反。 4.简谐运动的回复力的规律：因 xAsin(x)，故回复力 FkxkAsin(x )，可见回复
7、力随时间按正弦规律变化。 【例 1】 (多选)(2020 浙江宁波诺丁汉大学附中高二月考)关于简谐运动的回复力， 下列说法正确的是( ) A.简谐运动的回复力可能是恒力 B.做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反 C.简谐运动中回复力的公式 Fkx 中 k 是弹簧的劲度系数，x 是弹簧的长度 D.做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力一定为零 答案 BD 解析 根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，回复力为 Fkx，k 是比 例系数，不一定是弹簧的劲度系数，x 是物体相对平衡位置的位移，不是弹簧长 度，因 x 是变化的，回复力不可能是恒力，故 A、C 错误；回复力方向总是与位 移方
8、向相反，根据牛顿第二定律，加速度的方向也必定与位移方向相反，故 B 正 确；做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力一定为零，故 D 正确。 【针对训练 1】 如图所示，A、B 两物体组成弹簧振子，在振动过程中，A、B 始 终保持相对静止。 图中能正确反映振动过程中 A 所受摩擦力 Ff与振子的位移 x 关 系的图像应为( ) 答案 C 解析 A、B 整体在水平方向只受到弹簧的弹力作用，因此，应做简谐运动，故 A 也应做简谐运动，即 A 的回复力也应满足 Fkx 的结论，即选项 C 正确。当然 本题也可从整体法与隔离法的思想求出 A 受到的静摩擦力的表达式。在振动过程 中 A、B 始终保持相对静
9、止，可以把 A、B 看成整体。设 A、B 的质量为 mA、mB， 弹簧的劲度系数为 k，则有kx(mAmB)a。得 a kx mAmB。受到的摩擦力 Ff mAa mA mAmBkx。 探究 2 简谐运动的能量 1.弹簧振子在各位置的能量变化如下(如图所示) 位置 Q QO O OP P 位移的大小 最大(负值) 0 最大(正值) 速度的大小 0 最大 0 动能 0 最大 0 弹性势能 最大 0 最大 机械能 不变 不变 不变 不变 不变 2.简谐运动的机械能由振幅决定 对同一振动系统来说，振幅越大，振动的能量越大。如果没有能量损耗，振幅保 持不变，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅
10、振动。 【例 2】 如图所示，一弹簧振子在 A、B 间做简谐运动，平衡位置为 O，已知振 子的质量为 M。 (1)简谐运动的能量取决于_，振子振动时动能和_相互转化，总 机械能_。 (2)(多选)振子在振动过程中，下列说法中正确的是_。 A.振子在平衡位置，动能最大，势能最小 B.振子在最大位移处，势能最大，动能最小 C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小 D.在任意时刻，动能与势能之和保持不变 答案 (1)振幅 弹性势能 守恒 (2)ABD 解析 (1)简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总 机械能守恒。 (2)振子在平衡位置处速度达到最大，动能
11、最大，势能最小，所以 A 正确；在最大 位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，势能最大，所以选项 B 正 确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，振子的振幅不变，选项 C 错误，D 正确。 探究 3 简谐运动中各物理量的变化规律 1.简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移不同，回复力不同， 但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。 2.简谐运动中的最大位移处，F、Ep最大，Ek0；平衡位置处，F0，Ep最小， Ek最大。 3.位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回 复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。 4.机械能变化规律：振子
12、振动过程中，动能和势能相互转化，转化过程中机械能 守恒。 【例 3】 (多选)(2020 北京八中高二期末)如图所示，在光滑水平面上有一轻质弹 簧左端固定，右端与一质量为 m 的小球相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于 原长时小球位于 O 点。现使小球以 O 点为平衡位置，在 C、B 两点间沿光滑水平 面做简谐运动， 关于这个弹簧振子做简谐运动的过程， 下列说法中正确的是( ) A.小球从 O 位置向 B 位置运动过程中做匀减速运动 B.小球每次通过同一位置时的加速度一定相同 C.小球从 C 位置向 B 位置运动过程中，弹簧振子所具有的势能持续增加 D.小球在 C 位置弹簧振子所具有的势能与在
13、 B 位置弹簧振子所具有的势能相等 答案 BD 解析 小球在 O 点时弹簧的弹性势能是零， 所以小球的动能最大， 小球从 O 位置 向 B 位置运动过程中受到弹簧的向左的拉力，与小球速度的方向相反，所以小球 做减速运动，但是小球受到弹簧的弹力在变化，则加速度在变化，所以不是匀减 速运动，A 错误；小球每次通过同一位置时的回复力 Fkx，都是相同的，所 以加速度一定相同， B 正确； 根据能量守恒， 小球从 C 位置向 O 位置运动过程中， 速度增大，所以动能逐渐增大，弹簧振子所具有的势能逐渐减小；从 O 位置向 B 位置运动过程中，速度减小，所以动能逐渐减小，弹簧振子所具有的势能逐渐增 大，C
14、 错误；小球在运动的过程中，动能与弹性势能相互转化，由于小球在 C 点 与在 B 点的速度都是零， 所以小球在 C 位置弹簧振子所具有的势能与在 B 位置弹 簧振子所具有的势能相等，D 正确。 【针对训练 2】 (2020 山东高二期中)关于简谐运动，下列说法中正确的是( ) A.物体的位移增大时，动能减少，势能增加 B.若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为负值 C.物体通过平衡位置时，所受合力为零，回复力为零，处于平衡状态 D.物体每次通过同一位置时，其加速度相同，速度也一定相同 答案 A 解析 做简谐运动的物体，位移增大时，动能减少，势能增加，故 A 正确；若位 移为负值，则速度
15、可能为正值也可能为负值，加速度一定为正值，故 B 错误；物 体通过平衡位置时所受回复力为零，合外力不一定为零，不一定处于平衡状态， 故 C 错误；物体每次通过同一位置时，其加速度相同，速度不一定相同，故 D 错 误。 1.(简谐运动的回复力)关于简谐运动的回复力 Fkx 的含义， 下列说法正确的是 ( ) A.k 是弹簧的劲度系数，x 是弹簧的长度 B.k 是回复力跟位移的比值，x 是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移 C.根据 kF x可以认为 k 与 F 成正比 D.表达式中的“”号表示 F 始终阻碍物体的运动 答案 B 解析 对弹簧振子来说，k 为劲度系数，x 为质点离开平衡位置的位移，
16、对于其他 简谐运动 k 不是劲度系数，而是一个比例系数，故 A 错误，B 正确；该系数由系 统本身结构决定，与力 F 和位移 x 无关，C 错误；“”只表示回复力与位移反 向，回复力有时是动力有时是阻力，D 错误。 2.(简谐运动的动力学分析)在光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子的质量是 2 kg， 当它运动到平衡位置左侧 2 cm 时，受到的回复力是 4 N，当它运动到平衡位置右 侧 4 cm 时，它的加速度是( ) A.2 m/s2，方向水平向右 B.2 m/s2，方向水平向左 C.4 m/s2，方向水平向右 D.4 m/s2，方向水平向左 答案 D 解析 当弹簧振子运动到平衡位置左侧 2
17、cm 时，回复力的大小为 F1kx1，x1 2 cm，当它运动到平衡位置右侧 4 cm 时，回复力的大小为 F2kx2，x24 cm， 解得 F28 N，方向水平向左，故加速度的大小 a2F2 m 8 2 m/s 24 m/s2，方向水 平向左，选项 D 正确。 3.(简谐运动的能量分析)(多选)(2021 枣庄市三中高二月考)如图所示， 轻弹簧拴着 小球放在光滑水平面上，O 为弹簧的原长处。现将小球拉至 A 处后释放，则小球 在 A、B 间往复运动，下列说法正确的是( ) A.从 BO，速度不断减小 B.在 O 处弹性势能最小 C.从 BO，速度不断增大 D.在 B 处弹性势能最小 答案 B
18、C 解析 从 BO 过程中， 弹力对小球做正功， 速度不断增大， 故 A 错误， C 正确； 弹簧的弹性势能与形变量有关，在 O 点处为弹簧的原长，弹性势能最小，故 B 正 确，D 错误。 4.(简谐运动各物理量的变化规律)(2020 福建安溪高二期末)有一个在 x 方向上做 简谐运动的物体，其振动图像如图所示。下列关于图甲、乙、丙、丁的判断正确 的是(选项中 v、 F、 a、 Ek分别表示物体的速度、 受到的回复力、 加速度和动能)( ) A.甲可作为该物体的 vt 图像 B.乙可作为该物体的 Ft 图像 C.丙可作为该物体的 at 图像 D.丁可作为该物体的 Ekt 图像 答案 C 解析 因为 Fkx，akx m，故图丙可作为 Ft、at 图像；而 v 随 x 增大而 减小，故 vt 图像应为图乙，C 正确，A、B、D 错误。
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