1、第二章第二章 机械振动机械振动 一、简谐运动的图像及应用 1.可以确定振动物体在任一时刻的位移。如图所示，对应 t1、t2时刻的位移分别 为 x17 cm，x25 cm。 2.确定振动的振幅。图中最大位移的大小就是振幅，如图表示振动的振幅是 10 cm。 3.确定振动的周期和频率。振动图像上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉 开的“长度”表示周期。 由图可知，OD、AE、BF 的间隔都等于振动周期，T0.2 s，频率 f1 T5 Hz。 4.确定质点的振动方向。例如图中的 t1时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方 向运动；在 t3时刻，质点正向着平衡位置向正方向运动。 【例 1】 如图所示
2、是一个质点做简谐运动的图像，根据图像回答下面的问题： (1)振动质点离开平衡位置的最大距离； (2)写出此振动质点的运动表达式； (3)振动质点在 00.6 s 的时间内通过的路程； (4)振动质点在 t0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s 时的振动方向； (5)振动质点在 0.60.8 s 这段时间内速度和加速度是怎样变化的？ (6)振动质点在 0.40.8 s 这段时间内的动能变化是多少？ 答案 见解析 解析 (1)由振动图像可以看出，质点振动的振幅为 5 cm，即为质点离开平衡位 置的最大距离。 (2)由此质点的振动图像可知 A5 cm，T0.8 s，0，所以 xAsin(t)
3、 Asin 2 T t 5sin 2 0.8t cm5sin(2.5t)cm。 (3)由振动图像可以看出，质点振动的周期为 T0.8 s，0.6 s3T 4，振动质点是 从平衡位置开始振动的，故在 00.6 s 的时间内质点通过的路程为 s3A 35 cm15 cm。 (4)在 t0.1 s 时，振动质点处在位移为正值的某一位置上，但若从 t0.1 s 起取 一段极短的时间间隔 t(t0)的话，从图像中可以看出振动质点的正方向的位 移将会越来越大，由此可以判断得出质点在 t0.1 s 时的振动方向是沿题中所设 的正方向。同理可以判断得出质点在 t0.3 s、0.5 s、0.7 s 时的振动方向
4、分别是 沿题中所设的负方向、负方向和正方向。 (5)由振动图像可以看出，在 0.60.8 s 这段时间内，振动质点从最大位移处向平 衡位置运动，故其速度是越来越大的；而质点所受的回复力是指向平衡位置的， 并且逐渐减小的，故其加速度的方向指向平衡位置且越来越小。 (6)由图像可看出，在 0.40.8 s 这段时间内质点从平衡位置经过半个周期又回到 了平衡位置，尽管初、末两个时刻的速度方向相反，但大小是相等的，故这段时 间内质点的动能变化为零。 【例 2】 (多选)一质点做简谐运动的图像如图所示，则该质点( ) A.在 0.015 s 时，速度和加速度都为 x 轴负方向 B.在 0.01 s 至
5、0.03 s 内，速度与加速度先反方向后同方向，且速度是先减小后增 大，加速度是先增大后减小 C.在第八个 0.01 s 内，速度与位移方向相同，且都在不断增大 D.在 1 s 内，回复力的瞬时功率有 100 次为零 答案 BD 解析 在 0.015 s 时，质点在由平衡位置向负向最大位移运动的过程中，速度的 方向为负方向，根据加速度 a k mx 可知，加速度的方向为正方向，A 错误； 在 0.01 s 至 0.02 s 内，质点由平衡位置运动到了负向最大位移处，速度与加速度 反向，速度减小，加速度增大，在 0.02 s 至 0.03 s 内，质点由负向最大位移处向 平衡位置运动，速度为正，
6、加速度为正，速度与加速度同向，速度增大，加速度 减小，B 正确；在第八个 0.01 s 内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速 度与位移方向都为正，但速度减小，位移增大，C 错误；由题图可知，质点的振 动周期为 0.04 s，则 1 s25T，一个周期内有两次速度为零，两次回复力为零， 根据 PFv 知，在 1 s 内，回复力的瞬时功率有 100 次为零，D 正确。 二、简谐运动的周期性和对称性 1.周期性：做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上个 全振动的形式，所以做简谐运动的物体经过同一位置可以对应不同的时刻，做简 谐运动的物体具有周期性。 2.对称性 (1)速率的对
7、称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率。 (2)加速度和回复力的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向 的加速度和回复力。 (3)时间的对称性：系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等，振动过 程中通过任意两点 A、B 的时间与逆向通过的时间相等。 【例 3】 弹簧振子以 O 点为平衡位置，在 B、C 两点间做简谐运动，在 t0 时 刻，从 O、B 间的 P 点以速度 v 向 B 点运动；在 t0.20 s 时，振子速度第一次 变为v；再经过 0.30 s 时，振子速度第二次变为v。 (1)求弹簧振子振动的周期 T； (2)若 B、C 之间的距离为 25 cm，求振
8、子在 4.0 s 内通过的路程。 思路引导 将物理过程模型化，画具体的图景，根据简谐运动的周期性和对称性 分析求解。 答案 (1)1.00 s (2)200 cm 解析 (1)由题意结合简谐运动的对称性知，t0.20 s 时，振子从 P 点运动到 B 点，又从 B 点第一次回到 P 点，再经 0.30 s 振子从 P 点经 O 点第一次运动到 P 点关于 O 点的对称点 P，如图所示。由图可以看出，tBP1 20.20 s0.10 s，tPO 1 20.30 s0.15 s。则 T 4tBPtPO0.25 s，所以 T1.00 s。 (2)振子的振幅 A12.5 cm，因 t4T，所以振子在
9、4.0 s 内通过的路程 s44A 200 cm。 【例 4】 (多选)一振子沿 x 轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t0 时振子的 位移为0.1 m，t1 s 时位移为 0.1 m，则( ) A.若振幅为 0.1 m，振子的周期可能为2 3 s B.若振幅为 0.1 m，振子的周期可能为4 5 s C.若振幅为 0.2 m，振子的周期可能为 4 s D.若振幅为 0.2 m，振子的周期可能为 6 s 答案 AD 解析 若振幅为 0.1 m，由题意知，t n1 2 T，n0，1，2，解得 T 2 2n1 s，n0，1，2，A 项正确，B 项错误；若振幅为 0.2 m，t0 时，由 质点简谐运动表达式 x0.2sin 2 T t0(m)可知，t0 时，0.2sin 0(m) 0.1 m，t1 s 时，有 0.2sin 2 T 0(m)0.1 m，解得 0 6或 0 5 6 ； 将 T6 s 代入 0.2sin 2 T 0 (m)0.1 m，可得，D 项正确；将 T4 s 代入 0.2sin 2 T 0(m)0.1 m，得 T4 s 不满足题意，C 项错误。
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