1、第第 2 节节 位移变化规律位移变化规律 学习目标要求 核心素养和关键能力 1.利用微积分方法推导位移公式。 2.能用公式、图像等方法研究匀变速直线运 动。 3.能用匀变速直线运动的规律解释生活中的 一些现象， 具有与直线运动相关的初步的运动 观念。 1.科学探究 用科学研究中的极限方法分析物 理问题，通过推理，获得结论。 2.关键能力 利用数学思维来研究物理问题的 能力。 一、匀变速直线运动的位移时间关系 1如图所示 梯形“面积”在数值上等于匀变速直线 运动的位移大小，即s1 2（v0vt）t 速度时间公式：vtv0at 2思想方法：公式推导中用到了微积分的思想，即无限分割微元求和、逐渐逼
2、近真实状况的思想。在物理学研究中常常用到这种思想。 【判一判】 (1)物体运动的初速度越大，位移越大。() (2)物体运动的加速度越大，位移越大。() (3)物体运动的平均速度越大，相同时间内的位移越大。() 二、匀变速直线运动的位移速度关系 1公式：v2tv202as。 2推导 速度公式 vtv0at 和位移公式 sv0t1 2at 2 联立。 消去 t，可得： 【想一想】 如图所示，A、B、C 三个标志牌间距相等为 s，汽车做匀加速直线运动，加速度 为 a，已知汽车经过标志牌 A 的速度为 vA，你能求出汽车经过标志牌 B 和 C 的 速度 vB和 vC吗？ 答案 vB v2A2as vC
3、 v2A4as 【判一判】 (1)公式 v2tv202as 适用于任何直线运动。() (2)物体运动的末速度越大，位移越大。() (3)对匀减速直线运动，公式 v2tv202as 中的 a 必须取负值。() 探究 1 对 sv0t1 2at 2 的理解及应用 1适用条件：位移公式 sv0t1 2at 2 只适用于匀变速直线运动。 2公式的矢量性：公式 sv0t1 2at 2 为矢量公式，其中 s、v0、a 都是矢量，应 用时必须选取统一的正方向。一般选 v0的方向为正方向。 3公式的两种特殊形式 (1)当 a0 时，sv0t(匀速直线运动)。 (2)当 v00 时，s1 2at 2(由静止开始
4、的匀加速直线运动)。 【例 1】 (2021 大荔县同州中学月考)图中 ae 为珠港澳大桥上四段 110 m 的等跨 钢箱连续梁桥，若汽车从 a 点由静止开始做匀加速直线运动，通过 ab 段的时间 为 t，则通过 be 段的时间为( ) At B. 3t C3t D9t 答案 A 解析 设通过 be 段的时间为 tx，通过 ab 段过程中，由位移公式得 s1 2at 2，通 过 ae 段过程中， 由位移公式得 4s1 2a(txt) 2， 由式解得 txt， 故 A 正确， B、C、D 错误。 【针对训练 1】 (多选)(2021 四川成都外国语学校高一上学期期中)冰壶(Curling)， 又
5、称掷冰壶、冰上溜石，是以队为单位在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，属冬 奥会比赛项目，并设有冰壶世锦赛。中国冰壶队于 2003 年成立，中国女子冰壶 队在 2009 年世锦赛上战胜诸多劲旅夺冠，已成长为冰壶领域的生力军。在某次 比赛中，冰壶被投出后，如果做匀减速直线运动，用时 20 s 停止，最后 1 s 内位 移大小为 0.2 m，则下列说法正确的是( ) A冰壶的加速度大小是 0.3 m/s2 B冰壶的加速度大小是 0.4 m/s2 C冰壶第 1 s 内的位移大小是 7.8 m D冰壶的初速度大小是 6 m/s 答案 BC 解析 整个过程的逆过程是初速度为零的匀加速直线运动， 最后 1 s
6、的位移为 0.2 m，根据位移公式 s11 2at 2 1，代入数据解得 a0.4 m/s2，故 B 正确，A 错误；根 据速度公式得初速度为 v0at0.4 m/s220 s8 m/s，则冰壶第 1 s 内的位移大 小为 s1v0t1 2at 28 m/s1 s1 20.4 m/s 212 s27.8 m， 故 C 正确， D 错误。 探究 2 对 v2tv202as 的理解及应用 情境导入 提示 法一 由 vtat 得 tvt a 360 m/s 20 m/s218 s 位移 s1 2at 21 220 m/s 2(18 s)23 240 m。 法二 由 v2tv202as 得 sv 2
7、t 2a （360 m/s）2 220 m/s23 240 m。 第二种计算方法较简单。 归纳拓展 1公式的意义：公式 v2tv202as 反映了初速度 v0、末速度 vt、加速度 a、位移 s 之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量。 2公式的矢量性：公式中 v0、vt、a、s 都是矢量，应用时必须选取统一的正方 向，一般选 v0方向为正方向。 3两种特殊形式 (1)当 v00 时，v2t2as。(初速度为零的匀加速直线运动) (2)当 vt0 时，v202as。(末速度为零的匀减速直线运动) 【例 2】 随着机动车数量的增加， 交通安全问题日益凸显。 分析交通违法事例， 将警
8、示我们遵守交通法规，珍惜生命。一货车严重超载后的总质量为 49 t，以 54 km/h 的速率匀速行驶。发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加 速度的大小为 2.5 m/s2(不超载时则为 5 m/s2)。 (1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？ (2)若超载货车刹车时正前方 25 m 处停着总质量为 1 t 的轿车， 两车将发生碰撞， 求相撞时货车的速度。 答案 (1)45 m 22.5 m (2)10 m/s 解析 (1)设货车刹车时速度大小为 v0，加速度大小为 a，末速度大小为 vt，刹车 距离为 s，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得
9、 v2tv202as 由题意知，v054 km/h15 m/s，vt0，a12.5 m/s2， a25 m/s2 代入数据得，超载时 s145 m 不超载时 s222.5 m。 (2)超载货车与轿车碰撞时，由 v2tv202as 知 相撞时货车的速度 vt v202as （15 m/s）222.5 m/s22.5 m10 m/s。 【针对训练 2】 (2020 天津学业考试)我国自行研制的大飞机 C919 在某次测试 中，飞机在水平跑道上做初速度为零的匀加速直线运动。通过距离 1.6103 m， 速度达到 80 m/s，飞机的加速度为( ) A1 m/s2 B2 m/s2 C4 m/s2 D8
10、 m/s2 答案 B 解析 根据 v2tv202as 可得 av 2 tv20 2s （80 m/s） 20 21.6103 m 2 m/s2，故选项 B 正 确。 探究 3 匀变速直线运动的平均速度 推论： 做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时 刻的瞬时速度，也等于这段时间初、末速度和的一半，即v v t 2 v0vt 2 。 【例 3】 如图所示，在某段平直的铁路上，一列以 324 km/h 高速行驶的列车某 时刻开始匀减速行驶，5 min 后恰好停在某车站，并在该站停留 4 min，随后匀 加速驶离车站，经 8.1 km 后恢复到原速 324 km/h。求：
11、(1)列车减速时的加速度大小； (2)列车从开始减速到恢复原速这段时间内的平均速度。 答案 (1)0.3 m/s2 (2)30 m/s 解析 (1)324 km/h90 m/s，5 min300 s，4 min240 s， 则列车减速时的加速度大小为 a1v0 t1 90 m/s 300 s 0.3 m/s2。 (2)匀减速直线运动的位移为 s1v0 2 t190 m/s 2 300 s13 500m 根据 s2v0 2 t3得加速的时间为 t3180 s 则列车从开始减速到恢复原速这段时间内的平均速度大小为v s1s2 t1t2t3 解得v 30 m/s。 【针对训练 3】 冰壶比赛是冬奥会
12、的重要项目。比赛中冰壶在水平冰面上的运 动可视为匀减速直线运动直至停止，已知一冰壶被运动员推出的初速度大小为 3 m/s，其加速度大小为 0.2 m/s2，求： (1)冰壶整个过程平均速度的大小； (2)冰壶 10 s 末的速度大小； (3)冰壶在 20 s 内的位移大小。 答案 (1)1.5 m/s (2)1 m/s (3)22.5 m 解析 (1)冰壶平均速度v v 0vt 2 3 m/s0 2 m/s1.5 m/s。 (2)冰壶运动的总时间 t2v tv0 a 03 m/s 0.2 m/s215 s，10 s 时冰壶未停止运动，10 s 末的速度大小 v1v0at13 m/s(0.2 m
13、/s2)10 s1 m/s。 (3)冰壶 15 s 时已停下，所以 20 s 内位移是前 15 s 内位移 sv0 2 t03 m/s 2 15 s 22.5 m。 【推理思维】 在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小， 速度的变化就非常小， 在这段时间内就可以近似地应用匀速直线运动的公式来计 算位移，如图甲所示；如果我们把每一小段 t 内的运动看作匀速运动，则矩形 面积之和等于各段匀速直线运动的位移之和， 显然小于匀变速直线运动在该时间 内的位移，但所取时间段t 越小，各匀速直线运动位移之和与匀变速直线运动 位移之间的差值就越小，如图乙所示，当 t0 时，各矩形面积之和趋近于
14、 v t 图线下面的面积，可以想象，如果把整个运动过程划分得非常细，很多小矩形 的面积之和就能准确代表物体的位移了， 位移的大小就等于图丙所示的梯形面积。 【题目示例】 在匀速直线运动中，物体运动的速度不变，因此位移 svt，这在数值上恰好等 于 vt 图像中阴影部分的面积，如图甲所示。证明：在初速度为 v0、加速度为 a 的匀变速直线运动中，如图乙，梯形的面积在数值上等于匀变速直线运动的位 移大小；并推导出位移公式(用 v0、a、t 表示)。 【详细解答】 匀变速直线运动，物体的位移对应 vt 图线和时间轴所包围的图 像的“面积”。 在图中 vt 图线和时间轴所包围的图像的“面积”为 S1
15、2(OCAB)OA 与之对应的物体的位移为 s1 2(v0vt)t 又 vtv0at 联立解得 sv0t1 2at 2。 【题后感悟】 对于匀变速直线运动位移公式的推理，运用了“无限分割，逐步逼近”的微分思 想， 在今后学习重力做功与路径的关系中还会用到。此推理方法实质上是微积分 思想在高中物理的体现。 1 (对 sv0t1 2at 2 的应用)(2021 四川广安市高一上学期检测)飞机起飞的过程是 由静止开始在平直跑道上做匀加速直线运动的过程。 飞机在跑道上加速到某速度 值时离地升空飞行。已知飞机在跑道上加速前进的距离为 1 600 m，所用时间为 40 s，则飞机的加速度和离地速度分别为(
16、 ) A2 m/s2 80 m/s B2 m/s2 40 m/s C1 m/s2 40 m/s D1 m/s2 80 m/s 答案 A 解析 根据 s1 2at 2 得 a2s t22 m/s 2，飞机离地速度为 vtat80 m/s。 2(对 sv0t1 2at 2 的应用)(2021 江苏月考)航空母舰的舰载机在航母上降落时， 需用阻拦索使飞机迅速停下来，将这段运动视为匀减速直线运动。若某次飞机着 舰时的速度为 80 m/s，加速度的大小为 32 m/s2，则飞机着舰后的 3 s 内滑行距离 为( ) A100 m B96 m C16 m D4 m 答案 A 解析 设飞机运动方向为正方向，
17、已知 v080 m/s，vt0，a32 m/s2，飞机 的刹车时间 tv tv0 a 080 m/s 32 m/s22.5 s3 s，所以飞机在 2.5 s 时停止运动滑行 距离为 sv0t1 2at 280 m/s2.5 s1 2(32 m/s 2)(2.5 s)2100 m，故选项 A 正确。 3(对 v2tv202as 的应用)如图所示，物体 A 在斜面上匀加速由静止滑下 s1后， 又匀减速地在平面上滑过 s2后停下，测得 s22s1，则物体在斜面上的加速度大 小 a1与平面上加速度大小 a2的关系为( ) Aa1a2 Ba12a2 Ca11 2a2 Da14a2 答案 B 解析 设物体在斜面末端时的速度为 vt，由 v2tv202as 得 v2t022a1s1，02 v2t2(a2)s2，联立解得 a12a2。选项 B 正确。 4(匀变速直线运动的平均速度)中国歼20 隐形战斗机进行了飞行测试并成功 着陆。 假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度 v 所需时 间为 t，则起飞前的运动距离为( ) Avt B.vt 2 C2vt D不能确定 答案 B 解析 sv t0v 2 tvt 2。
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