专题拓展课4：小船过河与关联速度问题 学案（含答案）

1、专题拓展课专题拓展课 4 小船过河与关联速度问题小船过河与关联速度问题 【学习目标】 1.通过实例分析进一步理解运动的合成与分解的原理。 2.会用运动 合成与分解的理论分析小船过河问题。3.会分析实际运动中的关联速度问题。 拓展点 1 小船过河问题 1.小船参与的两个分运动 (1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。 (2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。 2.两类最值问题 (1)渡河时间最短问题 由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此若要渡河时 间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由上图可知，tmin d v船，此时船渡河的 位移 s

2、 d sin ，位移方向满足 tan v船 v水。 (2)渡河位移最短问题 v水v船 最短的位移为河宽 d，此时渡河所用时间 t d v船sin ，船头与上游河岸夹角 满足 v船cos v水，如下图所示。 v水v船 如下图所示，以 v水矢量的末端为圆心，以 v船的大小为半径作圆，当合速度的方 向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为 )，此时航程最短。由图可 知 sin v 船 v水，最短航程为 s d sin v水 v船d。此时船头指向应与上游河岸成 角，且 cos v 船 v水。 3.注意：(1)小船渡河时间最短与位移最小是两种不同的运动情景，时间最短时， 位移不是最小。 (2)求

3、最小渡河位移时，要先弄清船在静水中的速度与水流速度的大小关系，不要 盲目地认为最小渡河位移一定等于河的宽度。 (3)最短渡河时间与水流速度的大小无关，只要船头指向与河岸垂直，渡河时间即 为最短。 【例 1】 (多选)(2020 山东省高一期末)野外求生时必须具备一些基本常识，才能 在享受野外探险刺激的同时，保证最基本的安全。如图所示，为一野外求生人员 进入河中岛的情境。已知河宽 80 m，水流速度为 3 m/s，人在静水中游泳的速度 为 5 m/s，P 为河正中央的小岛，O 为河边一位置，OP 垂直河岸，人要从河边某 处游到小岛 P 处，则该人员运动的( ) A.最短位移为 40 m B.最短

4、位移为 50 m C.最短时间为 10 s，应从 O 点左侧 30 m 处开始游动 D.最短时间为 8 s，应从 O 点左侧 24 m 处开始游动 解析 由题意可知，人在静水中的速度大于水流速度，则人可以垂直河岸沿 OP 运动到 P 点，即最短位移为 40 m，故 A 正确，B 错误；当人在静水中的速度方 向垂直河岸时，所用时间最短即为 tmin40 5 s8 s，应从 O 点左 dv水tmin38 m24 m 处开始游动，故 C 错误，D 正确。 答案 AD 【针对训练 1】 (多选)(2020 广州实验学校高一月考)在一条宽度 d16 m 的河流 中，水流速度 v水5 m/s，船在静水中的

5、速度 v静4 m/s，小船从 A 码头出发， 取 sin 37 0.6，cos 37 0.8，则下列说法正确的是( ) A.小船可以沿图中虚线所示路径从 A 码头运动到正对岸 B 码头 B.小船渡河的最短时间为 4 s C.小船渡河的最短位移为 20 m D.小船船头与上游河岸成 37 角渡河时，位移最小 解析 因为水流速度大于船在静水中的速度，所以合速度的方向不可能与河岸方 向垂直，不能沿虚线到达正对岸，故 A 错误；当船头与河岸方向垂直时，渡河时 间最短，最短时间 t16 4 s4 s，故 B 正确；当合速度的方向与船头垂直时，渡 河位移最短，设船头与上游所成的夹角为 ，则 cos v 静

6、 v水 4 50.8 得 37 ，最 短位移 s d sin（90 ）20 m，故 C、D 正确。 答案 BCD 拓展点 2 实际运动中的两类“关联速度模型”(模型建构) 关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。 高中阶段研究的绳都是 不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变。绳、杆 等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆 方向的速度大小相等，我们称之为关联速度。 1.解决关联速度问题的一般步骤 第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。 第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效果，改 变速度的大小；

7、二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果，改变速度的方向。即将 实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量。 第三步：按平行四边形定则进行分解，作出速度矢量图。 第四步：根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。 2.速度投影规律 不可伸长的杆和绳，各点速度不同，但各点速度沿杆和绳方向的投影速度相等。 3.两类关联模型 (1)绳关联模型 单个物体的绳子末端速度的分解：切勿将绳子速度分解，v一定要分解在垂直于 绳子方向，这样 v的大小就是绳子收缩的速率，即拉绳的速率 两个物体的绳子末端速度的分解：两个物体的速度都需要分解，其中两个物体的 速度沿着绳子方向的分速度是相等的 将圆环的

8、速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，B 的速度与 A 沿绳方向 的分速度相等 (2)杆关联模型 将杆连接的两个物体的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则两个物体沿杆方 向的分速度大小相等 【例 2】 如图所示， 套在竖直细杆上的轻环 A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与 重物 B 相连。由于 B 的质量较大，故在释放 B 后，A 将沿杆上升，当 A 环上升至 与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度 v10，若这时 B 的速度为 v2，则 ( ) A.v2v1 B.v2v1 C.v20 D.v20 解析 环上升过程其速度 v1可分解为两个分速度 v和 v，如图所示，其中 v为 沿绳方向的速

9、度，其大小等于重物 B 的速度 v2；v为绕定滑轮转动的线速度。关 系式为 vv1cos ， 为 v1与 v间的夹角。当 A 上升至与定滑轮的连线水平的 位置时，90 ，cos 0，即此时 v20。D 正确。 答案 D 【针对训练 2】 (湖北武汉华中师范大学第一附属中学 2019 高一下期末)固定在 竖直平面内的半圆形刚性铁环，半径为 R，铁环上穿着小球，铁环圆心 O 的正上 方固定一个小定滑轮。用一条不可伸长的细绳，通过定滑轮以一定速度拉着小球 从 A 点开始沿铁环运动， 某时刻小球运动至如图所示位置， 若绳末端的速度为 v， 则小球此时的速度为( ) A.2 3 3 v B. 2v C.

10、 3v D.2v 解析 小球的速度方向沿铁环的切线方向，将小球的速度分解为沿绳方向和垂直 于绳方向的分量，沿绳方向的速度为 v，则 vcos 30v，解得 v2 3 3 v，选项 A 正确。 答案 A 【例 3】 (江西南昌八一中学 2019 高一下月考)如图所示， 一根长直轻杆 AB 靠在 墙角沿竖直墙和水平地面向下滑动。当 AB 杆和墙的夹角为 时，杆的 A 端沿墙 下滑的速度大小为 v1， B 端沿地面滑动的速度大小为 v2， 则 v1、 v2的关系是( ) A.v1v2 B.v1v2cos C.v1v2tan D.v1v2sin 解析 将 A、B 两端的速度分解为沿 AB 方向和垂直于

11、 AB 方向，由于 AB 不可伸 长， A、 B 两端沿 AB 方向的速度分量相同， 则有 v1cos v2sin ， 即 v1v2tan ， 故 C 正确，A、B、D 错误。 答案 C 【题目示例】 (多选)小明、小美、园园和小芳去划船，碰到一条宽 90 m 的小河，他们在静水中 划船的速度为 3 m/s，现在他们观察到河水的流速为 5 m/s，关于渡河的运动，他 们有各自的看法，其中正确的是( ) A.小芳说：要想到达正对岸就得船头正对河岸划船 B.小美说：不论怎样调整船头方向都不能垂直到达正对岸 C.小明说：渡过这条河的最短距离是 150 m D.园园说：以最短位移渡河时，需要用时 30

12、 s 【思维建构】 【动态图解法】 类比于只有一个力方向发生变化的动态平衡问题，可应用动态矢量三角形解决问 题： 1.固定水速矢量箭头不动，将船速矢量箭头绕水速矢量箭头的末端转动，如图所 示，则船速矢量箭头的末端在一个圆周上移动，根据三角形法则，合速度矢量的 末端也就在这个圆周上移动。 2.当 vv船时，合速度 v 与 v水方向夹角最大，位移最小。 【规范分析】 如图(1)所示，船头正对对岸划船，合速度方向指向对岸下游，无法到达正对岸， A 选项错误；如图(2)若要垂直到达正对岸，需要满足 v船 v水，该题中 v水 v船， 所以不论怎样调整船头方向都不能垂直到达正对岸，B 选项正确；如图(3)

13、所示， 当 vv船时，合速度 v 与 v水方向夹角最大，位移最小。根据三角形相似d s v船 v水， 解得 s150 m， C 选项正确； 以最短位移渡河时， 所需时间 t s v2水v2船37.5 s， D 选项错误。 答案 BC 【方法感悟】 解决最短位移渡河问题，首先要分成两类，一类：船速大于水速，可以垂直河岸 渡河；第二类：当船速小于水速，无法垂直河岸渡河时，要通过动态矢量三角形 确定合速度的方向，也就是实际速度的方向，进而找到最小位移，最后求解对应 的时间。 所有矢量运算都满足平行四边形定则和三角形法则。当碰到一个矢量大小方向不 变，另一个矢量要么大小不变，要么方向不变，求解第三个矢

14、量时，我们就可以 大胆尝试用这种动态图解法画图，往往垂直“出”最小，大家体会一下。 1.(小船过河问题)(2020 黑龙江哈尔滨三中高一月考)某人以一定的速率垂直于河 岸向对岸划船，当水流匀速时，对于他过河所需时间、发生的位移与水速的关系 描述正确的是( ) A.水速小时，位移小，时间短 B.水速大时，位移大，时间长 C.水速大时，位移大，时间不变 D.位移、时间与水速无关 解析 由分运动和分运动具有独立性和等时性可知，水速对过河时间没有影响， 水速大时，合速度大，位移大，故只有 C 项正确。 答案 C 2.(小船过河问题)(2020 高台县一中高一期中)小船过河时，船头偏向上游与水流 方向成

15、 角，船相对静水的速度为 v，其航线恰好垂直于河岸。现水流速度稍有 增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是( ) A.增大 角，增大船速 v B.减小 角，增大船速 v C.减小 角，保持船速 v 不变 D.增大 角，保持船速 v 不变 解析 由题意可知，船相对静水的速度为 v，其航线恰好垂直于河岸。因为合速 度方向指向河岸且大小不变， 如图所示， 可得当水流速度增大时， 可增大船速 v， 同时增大 角，故 A 符合题意，B、C、D 不符合题意。 答案 A 3.(绳关联模型)如图所示， 一轻绳通过光滑的轻质定滑轮与套在光滑水平杆上的小 物块 A 连接，另一端与小球 B 连接。

16、物块 A 经过图示位置时向右运动的速度大小 为 vA，小球 B 的速度大小为 vB，轻绳与杆的夹角为 (0 a90 )则此时( ) A.vAvBcos B.vA vB sin C.小球 B 一定处于失重状态 D.轻绳对物块 A 和小球 B 的拉力做功的功率大小相等 解析 将 A 速度分解为沿绳和垂直绳方向可知，vBvAcos ，故 A、B 错误；轻 绳与杆的夹角为 (0 a90 )时，小球 B 速度在变小，由牛顿第二定律可知，绳子 拉力大于重力，故 C 错误；轻绳对物块 A 做功的功率为 PATvAcos ，轻绳对小 球 B 做功的功率为 PBTvB，由于 vBvAcos ，所以轻绳对物块 A

17、 和小球 B 的拉 力做功的功率大小相等，故 D 正确。 答案 D 4.(杆关联模型)如图所示，一轻杆两端分别固定两个可视为质点的小球 A 和 B，将 其放到一个光滑的球形容器中并在竖直面上运动，当轻杆到达 A 球与球形容器球 心等高时，A 球速度大小为 v1，已知此时轻杆与水平方向成 30 角，B 球的速 度大小为 v2，则( ) A.v2v1 B.v22v1 C.v2v1 2 D.v2 3v1 解析 根据题意，将 A 球的速度沿着杆与垂直于杆两方向分解，同时将 B 球的速 度也沿着杆与垂直于杆两方向分解，A 球：v0v1sin ，B 球：v0v2sin ，由于 是同一轻杆，则有 v1sin v2sin ，所以 v2v1，故 A 正确，B、C、D 错误。 答案 A