2021年河南省焦作市武陟县中考数学一检试卷（含答案解析）

1、2021 年河南省焦作市武陟县中考数学一检试卷年河南省焦作市武陟县中考数学一检试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1若 a 的相反数为，则 a 的值为（ ） A B C D 22020 年，某市从强化政策支持、做强电商园区、培育龙头企业、发展直播电商、开展电商扶贫等方面发 力，累计实现网络交易额 1805.2 亿元，数据“1805.2 亿”用科学记数法表示为（ ） A0.180521012 B1.80521011 C1.80521012 D0.180521011 3如图，ABCD，GHEF 于 G，128，则2 的度数为（

2、） A28 B152 C62 D118 4如图是由大小相同的正方体搭成的几何体，将小正方体去掉后，下列说法正确的是（ ） A主视图不变 B俯视图不变 C左视图不变 D三种视图都不变 5计算m2n（mn3）的结果是（ ） Am4n3 Bm3n3 Cm3n4 Dm3n4 6 某超市销售 A， B， C， D 四种品牌的冷饮， 某天的销售情况如图所示， 则该超市应多进的冷饮品牌是 （ ） AA 品牌 BB 品牌 CC 品牌 DD 品牌 7已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c0，其中 b，c 在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情 况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根

3、 C无实数根 D只有一个实数根 8已知点 A（1，6），B（m，y1），C（m+1，y2）在反比例函数 y的图象上，若 m0，则 y1，y2 的大小关系是（ ） Ay1y26 By1y26 Cy1y26 D无法确定 9如图，在ABCD 中，以点 B 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 AB，BC 于点 F，G，再分别以点 F， G 为圆心，大于FG 长为半径作弧，两弧交于点 H，作射线 BH 交 AD 于点 E，连接 CE，若 AE10， DE6，CE8，则 BE 的长为（ ） A4 B8 C2 D40 10如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是菱形，AOC120，点 B 的坐标为（6

4、，0），点 D 是边 BC 的中点，现将菱形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，每秒旋转 60，则第 2021 秒时，点 D 的坐标为 （ ） A（，） B（，） C（， ） D（，） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11请写出一个大于小于的整数： 12不等式组的解集是 13一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 4 个红球和 1 个黄球，从袋子中随机摸出两个球，则摸出的两 个球的颜色相同的概率是 14 如图， 某图书阅览室摆放桌椅如下： 按此规律摆放， 2n+1 （n 是不小于 4 的自然数） 人需要 张 桌子 15如图，在扇形 BOC 中，BOC60，点

5、D 是的中点，点 E，F 分别为半径 OC，OB 上的动点若 OB2，则DEF 周长的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16先化简，再求值：，其中 a 17 为了了解同学们每月零花钱的数额， 校园小记者随机调查了本校 50 名同学， 并将调查的结果进行收集， 整理，绘制成如图（表）的频数分布表和频数分布直方图： a零花钱数额的频数分布表 零花钱数额 （元） 0 x30 30 x60 60 x90 90 x120 120 x150 频数 4 m 20 n 2 b零花钱数额的频数分布直方图 c零花钱数额在 90 x120 这一组的为：

6、 90 90 91 93 95 100 100 105 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 m 的值为 ，n 的值为 ； （2）请补全频数分布直方图； （3）该校共有学生 2800 人，若零花钱数额超过 100 元（含 100）的视为“零花钱较多”，请估计该校 学生中“花钱较多”的人数 18如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 为半圆上不与 A，B 重合的一动点，连接 AC，CD，AD， BC，延长 BC 交 AD 于 F，交半圆 O 的切线 AE 于 E （1）求证：AEF 是等腰三角形； （2）填空： 若 AE，BE5，则 BF 的长为 ； 当E 的度数为 时，四边形 OACD 为

7、菱形 19某“综合实践”小组在学习了“利用三角函数测高”这节后，开展了测量底部可以到达的物体的高度 的实践活动，并撰写如下活动报告（不完整）： 数学活动报告 活动小组：清北组 活动地点：学校操场 活动时间：2020 年 12 月 22 日 活动记录：小航 活动课 题 测量旗杆的高度 活动工 具 测倾器和皮尺 测量示 意图 说明：线段 MN 表示旗杆，测点 A 到旗杆底 部 N 的水平距离 AN 可以直接测得，点 C 在 MN 上 测量数 据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角MBC 21 23 a 水平距离 AN 25.4m 25.6m b 测倾器的高度 AB 1.5m 1.5m c 计算

8、过 程 测量结 果 （1）填空：a ，b ，c ； （2）活动报告中设置“平均值”栏的主要目的是 ； （3）根据以上信息，请补全报告中的计算过程和测量结果（精确到 0.1m参考数据：sin220.37， cos220.93，tan220.40） 20某商店销售 A、B 两种品牌的书包，已知购买 1 个 A 品牌书包和 2 个 B 品牌书包共需 550 元；购买 2 个 A 品牌书包和 1 个 B 品牌书包共需 500 元 （1）求这两种品牌书包的单价； （2）某商店对这两种品牌的书包给出优惠活动：A 种品牌的书包按原价的八折销售，B 种品牌的书包 10 个以上超出部分按原价的五折销售 设购买

9、x 个 A 品牌书包的费用为 y1元，购买 x 个 B 品牌书包的费用为 y2元，请分别求出 y1，y2与 x 的 函数关系式； 学校准备购买同一种品牌的书包，如何选择购买更省钱？ 21如图，抛物线 yx2+2xc 与 x 轴负半轴，y 轴负半轴分别交于点 A，点 C，OAOC，它的对称轴为直 线 l （1）求抛物线的表达式及顶点坐标 （2）P 是直线 AC 上方对称轴上的一动点，过点 P 作 PQAC 于点 Q，若 PQPO，求点 P 的坐标 22小航在学习中遇到这样一个问题： 如图，点 C 是上一动点，直径 AB8cm，过点 C 作 CDAB 交于 D，O 为 AB 的中点连接 OC， O

10、D，当ABC 的面积为 3.5cm2时，求线段 CD 的长 小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点 C 在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 CD，OC 的长度和OCD 的面积，得到 下表的几组对应值（当点 C 与点 A 或点 B 重合时，OCD 的面积为 0） CD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 SOCD/cm2 0 1.9 3.9 5.6 m 7.8 7.9 6.8 0 填空：m .（结果保留一位小数） （2）将线段 CD 的长度作为自变量 x，OCD 的面积是 x 的函数，记为 y，请在平面直角坐标系

11、xOy 中 画出函数的图象，并写出OCD 面积的最大值； （3）在同一坐标系中画出所需的图象，并结合图象直接写出：当OCD 的面积为 3.5cm2时，线段 CD 长度的近似值（结果保留一位小数） 23（1）问题发现 如图 1，ABC 与ADE 都是等腰直角三角形，且BACDAE90，直线 BD，CE 交于点 F，直 线 BD，AC 交于点 G则线段 BD 和 CE 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）类比探究 如图 2，在ABC 和ADE 中，ABCADE，ACBAED，直线 BD，CE 交于点 F，AC 与 BD 相交于点 G若 ABkAC，试判断线段 BD 和 CE 的数量关系以及直线

12、BD 和 CE 相交所成的较小 角的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 如图 3，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标为（3.0），点 N 为 y 轴上一动点，连接 MN将线段 MN 绕 点 M 逆时针旋转 90得到线段 MP，连接 NP，OP请直接写出线段 OP 长度的最小值及此时点 N 的坐 标 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1若 a 的相反数为，则 a 的值为（ ） A B C D 【分析】直接利用互为相反数的意义判断得出答案 解：a 的相反数是，则 a 的值是： 故选：B 22020 年，某市从强化政

13、策支持、做强电商园区、培育龙头企业、发展直播电商、开展电商扶贫等方面发 力，累计实现网络交易额 1805.2 亿元，数据“1805.2 亿”用科学记数法表示为（ ） A0.180521012 B1.80521011 C1.80521012 D0.180521011 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 解：1805.21805200000001.80521011 故选：B 3如图，ABC

14、D，GHEF 于 G，128，则2 的度数为（ ） A28 B152 C62 D118 【分析】根据三角形外角的性质得到3 的度数，再根据平行线的性质“两直线平行，同位相等”就可 求出2 的度数 解：GHEF 于 G， EGH90， 31+EGH28+90118， ABCD， 23118 故选：D 4如图是由大小相同的正方体搭成的几何体，将小正方体去掉后，下列说法正确的是（ ） A主视图不变 B俯视图不变 C左视图不变 D三种视图都不变 【分析】利用组合体的形状，结合三视图可得出左视图没有发生变化 解： 将小正方体去掉后， 主视图的底层由原来的三个小正方形变为两个小正方形， 故主视图发生变化；

15、 将小正方体去掉后，俯视图的上层由原来的两个小正方形变为一个小正方形，故俯视图发生变化； 将小正方体去掉后，左视图不变，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形 故选：C 5计算m2n（mn3）的结果是（ ） Am4n3 Bm3n3 Cm3n4 Dm3n4 【分析】根据单项式乘单项式的法则计算即可 解：原式m3n4， 故选：D 6 某超市销售 A， B， C， D 四种品牌的冷饮， 某天的销售情况如图所示， 则该超市应多进的冷饮品牌是 （ ） AA 品牌 BB 品牌 CC 品牌 DD 品牌 【分析】根据扇形统计图中四种品牌冷饮所占百分比可得答案 解：由扇形统计图知，C 品牌冷饮所占百分比最

16、多， 所以该超市应多进的冷饮品牌是 C 品牌， 故选：C 7已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c0，其中 b，c 在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情 况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D只有一个实数根 【分析】计算判别式的值即可判断 解：b0，c0， b24c0， 有两个不相等的实数根 故选：A 8已知点 A（1，6），B（m，y1），C（m+1，y2）在反比例函数 y的图象上，若 m0，则 y1，y2 的大小关系是（ ） Ay1y26 By1y26 Cy1y26 D无法确定 【分析】先求得 k 的值，然后根据反比例函数的性质，即可得到答案

17、 解：点 A（1，6）在反比例函数 y的图象上， k166， 反比例函数图象位于二、四象限，在每个象限 y 随 x 的增大而增大， m0， 点 A（1，6）在第二象限，B（m，y1），C（m+1，y2）在第四象限， y1y26， 故选：B 9如图，在ABCD 中，以点 B 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 AB，BC 于点 F，G，再分别以点 F， G 为圆心，大于FG 长为半径作弧，两弧交于点 H，作射线 BH 交 AD 于点 E，连接 CE，若 AE10， DE6，CE8，则 BE 的长为（ ） A4 B8 C2 D40 【分析】利用基本作图得到ABECBE，再根据平行四边形的性质得到

18、ADBC，BCAD16，AB CD， 再证明 ABAE10， 则 CD10， 接着利用勾股定理的逆定理判断CED 为直角三角形， CED 90，然后在 RtBCE 中利用勾股定理计算 BE 的长 解：由作法得 BE 平分ABC， ABECBE， 四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC，BCADAE+DE10+616，ABCD， CBEAEB， ABEAEB， ABAE10， CD10， 在CDE 中，DE6，CE8，CD10， DE2+CE2CD2， CED 为直角三角形， CED90， ADBC， BCECED90， 在 RtBCE 中，BE8 故选：B 10如图，在平面直角坐标系中，四

19、边形 OABC 是菱形，AOC120，点 B 的坐标为（6，0），点 D 是边 BC 的中点，现将菱形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，每秒旋转 60，则第 2021 秒时，点 D 的坐标为 （ ） A（，） B（，） C（， ） D（，） 【分析】根据菱形的性质，中点坐标公式分别求出前 9 秒时，D 点的坐标，再根据规律求得结果 解：如图，连接 OD，过点 C 作 CHOB 于 H， 四边形 OABC 是菱形，AOC120，点 B 的坐标为（6，0）， OB6，OCBC，BOC60， BOC 是等边三角形， OCOBBC6， 点 D 是 BC 中点， ODBC，BD3， ODBD3， CHO

20、B，COB60， OHBH3，CHOH3， 点 C（3，3）， 点 D 是 BC 中点， 点 D（，）， 将菱形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，每秒旋转 60， 第 1 秒后，点 D1坐标为（0，3），第 2 秒后，点 D2坐标为（ ，），第 3 秒后，点 D3坐标为（，），第 4 秒后，点 D4坐标为（0，3），第 5 秒后，点 D5坐标为（，）， 第 6 秒后，点 D6坐标为（，）， 由上可知，点 D 的坐标每 6 个为一组依次循环着， 202163715， 第 2021 秒时，点 D 的坐标为（，）， 故选：A 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 1

21、1请写出一个大于小于的整数： 0 【分析】首先估计两个无理数的大小，然后再看它们之间的整数又哪些，即可得到结果 解：5，459，2，124， 32，1 2， 与之间的整数有：2，1，0，1 故答案可以为 0 12不等式组的解集是 x1 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 解：解不等式x，得：x， 解不等式 x+32，得：x1， 则不等式组的解集为 x1， 故答案为：x1 13一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 4 个红球和 1 个黄球，从袋子中随机摸出两个球，则摸出的两 个球的颜色相同的概率是 【分析】画树状图，

22、共有 20 个等可能的结果，摸出的两个球的颜色相同的结果有 12 个，再由概率公式 求解即可 解：画树状图如图： 共有 20 个等可能的结果，摸出的两个球的颜色相同的结果有 12 个， 摸出的两个球的颜色相同的概率为， 故答案为： 14如图，某图书阅览室摆放桌椅如下：按此规律摆放，2n+1（n 是不小于 4 的自然数）人需要 （2n+6） 张桌子 【分析】第一张餐桌上可以摆放 8 把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放 2 把椅子第 n 张餐桌 共有 8+2（n1）（2n+6）人 解：由图可知，1 张桌子可坐 6+128 人， 2 张桌子拼在一起可坐 6+2210 人， 3 张桌子拼在一起可

23、坐 6+2312 人， 依此类推，每多一张桌子可多坐 2 人， 所以，n 张桌子拼在一起可坐（2n+6）； 故答案为：（2n+6） 15如图，在扇形 BOC 中，BOC60，点 D 是的中点，点 E，F 分别为半径 OC，OB 上的动点若 OB2，则DEF 周长的最小值为 2 【分析】连接 OD，分别作 D 点关于 OB、OC 的对称点 M、N，连接 OM、ON，MN，MN 交 OB 于 F， 交 OC 于 E，交 OD 于 P，如图，利用 EDEN，FMFB 得到DEF 的周长MN，根据两点之间线段 最短可判断此时DEF 的周长最小，接着证明MOPN120，OMON2，然后计算出 MN 即可

24、 解：连接 OD，分别作 D 点关于 OB、OC 的对称点 M、N，连接 OM、ON，MN，MN 交 OB 于 F，交 OC 于 E，交 OD 于 P，如图， EDEN，FMFB， DEF 的周长ED+EF+FDEN+EF+FMMN， 此时DEF 的周长最小， 点 D 是的中点， BODCODBOC30， M 点与 D 点关于 OB 对称， MOBBOD30，OMOD2， 同理得NOBCCOD30，ONOD2， MOPN120，OMON2， 而MOP60， OPMN，OMNONM30， PMPN， 在 RtOPM 中，OPOM1， PMOP， MN2PM2， DEF 周长的最小值为 2 故答案

25、为 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16先化简，再求值：，其中 a 【分析】先计算括号内分式的减法、将除式分子、分母因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可 化简原式，最后将 a 的值代入计算即可 解：原式（） ， 当 a时， 原式 17 为了了解同学们每月零花钱的数额， 校园小记者随机调查了本校 50 名同学， 并将调查的结果进行收集， 整理，绘制成如图（表）的频数分布表和频数分布直方图： a零花钱数额的频数分布表 零花钱数额 （元） 0 x30 30 x60 60 x90 90 x120 120 x150 频数 4 m 20 n

26、 2 b零花钱数额的频数分布直方图 c零花钱数额在 90 x120 这一组的为： 90 90 91 93 95 100 100 105 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 m 的值为 16 ，n 的值为 8 ； （2）请补全频数分布直方图； （3）该校共有学生 2800 人，若零花钱数额超过 100 元（含 100）的视为“零花钱较多”，请估计该校 学生中“花钱较多”的人数 【分析】（1）先根据 90 x120 这一组的数据得出 n 的值，再由各分组人数之和等于总人数得出 m 的 值； （2）根据以上所得 m、n 的值即可补全直方图； （3）用总人数乘以零花钱数额超过 100 元（含 1

27、00）的人数所占比例 解：（1）由题意知 n8，则 m50（4+20+8+2）16， 故答案为：16、8； （2）补全频数分布直方图如下： （3）估计该校学生中“花钱较多”的人数为 2800280（人） 18如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 为半圆上不与 A，B 重合的一动点，连接 AC，CD，AD， BC，延长 BC 交 AD 于 F，交半圆 O 的切线 AE 于 E （1）求证：AEF 是等腰三角形； （2）填空： 若 AE，BE5，则 BF 的长为 3 ； 当E 的度数为 60 时，四边形 OACD 为菱形 【分析】（1）利用弧相等，得到DCAD，BD，进而可得BCAD，再利用等角

28、的余角 相等证明AFCE，从而证得AEF 为等腰三角形； （2）先利用勾股定理求出 AB 长度，然后分别证明EABACB 以及ACFBCA，进而求的 BC 和 CF 的长度，BFBCCF 也就求出来了； 根据四边形 OACD 为菱形， 逆推AOC 为等边三角形， 从而求的ABE 的度数， 最后求出E 的度数 解：（1）， DCAD， 又BD， BCAD， AB 是直径， CAD+AFC90， AE 为半圆 O 的切线， EAB90， B+E90， AFCE， AEAF， AEF 是等腰三角形； （2）AE，BE5， AB， 在EAB 和ACB 中， EABACB90，且BB， EABACB，

29、， BC4， AC2， 同理可证：ACFBCA， ， CF1， BFBCCF3， 故答案为：3； 如图， 四边形 OACD 为菱形， OAODCDAC， 又OCODOA， ACOAOC， AOC 为等边三角形， AOC60， ACB90， ABE30， E60， 故答案为：60 19某“综合实践”小组在学习了“利用三角函数测高”这节后，开展了测量底部可以到达的物体的高度 的实践活动，并撰写如下活动报告（不完整）： 数学活动报告 活动小组：清北组 活动地点：学校操场 活动时间：2020 年 12 月 22 日 活动记录：小航 活动课 题 测量旗杆的高度 活动工 具 测倾器和皮尺 测量示 意图 说

30、明：线段 MN 表示旗杆，测点 A 到旗杆底 部 N 的水平距离 AN 可以直接测得，点 C 在 MN 上 测量数 据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角MBC 21 23 a 水平距离 AN 25.4m 25.6m b 测倾器的高度 AB 1.5m 1.5m c 计算过 程 测量结 果 （1）填空：a 22 ，b 25.5m ，c 1.5m ； （2）活动报告中设置“平均值”栏的主要目的是 减小误差 ； （3）根据以上信息，请补全报告中的计算过程和测量结果（精确到 0.1m参考数据：sin220.37， cos220.93，tan220.40） 【分析】（1）根据表格中两次的测量数据即可

31、求出平均值； （2）设置“平均值”栏的主要目的是减小误差； （3）根据矩形性质和锐角三角函数即可求出结果 解：（1）填空：a22，b25.5m，c1.5m； 故答案为：22，255m，1.5m； （2）活动报告中设置“平均值”栏的主要目的是减小误差； 故答案为：减小误差； （3）四边形 ABCN 为矩形， BCAN25.5m，CNAB1.5m， 在 RtBCN 中，tanMBC， MCBCtan2225.50.4010.2（m）， MNMC+CN10.2+1.511.7（m） 故旗杆 MN 的高度为 11.7m 20某商店销售 A、B 两种品牌的书包，已知购买 1 个 A 品牌书包和 2 个

32、B 品牌书包共需 550 元；购买 2 个 A 品牌书包和 1 个 B 品牌书包共需 500 元 （1）求这两种品牌书包的单价； （2）某商店对这两种品牌的书包给出优惠活动：A 种品牌的书包按原价的八折销售，B 种品牌的书包 10 个以上超出部分按原价的五折销售 设购买 x 个 A 品牌书包的费用为 y1元，购买 x 个 B 品牌书包的费用为 y2元，请分别求出 y1，y2与 x 的 函数关系式； 学校准备购买同一种品牌的书包，如何选择购买更省钱？ 【分析】（1）设购买一个 A 品牌的书包需 x 元，一个 B 品牌的书包需 b 元，根据题意列出方程组解答 即可； （2）根据“A 种品牌的书包按

33、原价的八折销售，B 种品牌的书包 10 个以上超出部分按原价的五折销 售”，即可得出 y1、y2关于 x 的函数关系式； 分别计算 y1y2、y1y2、y1y2得出 x 的取值范围，由此即可得出结论 解：（1）设购买一个 A 品牌的书包需 x 元，一个 B 品牌的书包需 b 元， 则由题意可得：， 解得：， 答：购买一个 A 品牌的书包需 150 元，一个 B 品牌的书包需 200 元； （2）由题意可得：y10.8150 x，即 y1120 x， 当 0 x10 时，y2200 x； 当 x10 时，y220010+200（x10）0.5，即 y2100 x+1000 y2 ； 当购买数量不

34、超过 10 个时，120 x200 x，购买 A 品牌的书包更省钱； 当购买数量超过 10 个时，y2100 x+1000 当 y1y2时，120 x100 x+1000， 解得：x50， 当购买数量超过 10 个而不足 50 个时，购买 A 品牌的书包更省钱； 当 y1y2时，120 x100 x+1000， 解得：x50， 当购买数量为 50 个时，购买两种品牌的书包花费相同； 当 y1y2时，120 x100 x+1000， 解得：x50 当购买数量超过 50 个时，购买 B 品牌的书包更省钱 21如图，抛物线 yx2+2xc 与 x 轴负半轴，y 轴负半轴分别交于点 A，点 C，OAO

35、C，它的对称轴为直 线 l （1）求抛物线的表达式及顶点坐标 （2）P 是直线 AC 上方对称轴上的一动点，过点 P 作 PQAC 于点 Q，若 PQPO，求点 P 的坐标 【分析】（1）由题意可知 A 的坐标为（c，0），代入解析式即可求得 c 的值，把解析式化成顶点式， 即可求得顶点坐标； （2）先设 P 的坐标为（1，t），则可计算 PO，由直线 AC 的解析式与对称轴直线 x1 可计算出其 交点坐标 D，则可计算 PD，由题意可知PQD 是等腰直角三角形，PD，PQPO，即可算出点 P 的坐标 解：（1）抛物线 yx2+2xc 与 y 轴交于点 C， C（0，c）， OAOC，且 A

36、点在 x 轴负半轴上， A（c，0）， 把 A（c，0），代入 yx2+2xc 得，c23c0， 解得 c13，c20（舍去）， 抛物线为 yx2+2x3， yx2+2x3（x+1）24， 顶点为（1，4）； （2）抛物线 yx2+2x3 的对称轴为直线 x1， 设点 P（1，t），如图， 则 OP， 设直线 AC 的解析式为 ykx+b， 把 A（3，0），C（0，3）代入上式得， ， 解得， 直线 AC 得解析式为 yx3， 取直线 AC 与对称轴直线 x1 的交点为 D， 则 D（1，2）， P 点在直线 AC 的上方， t2， PDt+2， 又AOCO3，AOC90， ACB45， 又

37、PQAC， QDPPQD45， PQDQ， ， 即 t+2， 解得 t12t22 2， 点 P 的坐标为 P（1，2+）或（1，2） 22小航在学习中遇到这样一个问题： 如图，点 C 是上一动点，直径 AB8cm，过点 C 作 CDAB 交于 D，O 为 AB 的中点连接 OC， OD，当ABC 的面积为 3.5cm2时，求线段 CD 的长 小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点 C 在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 CD，OC 的长度和OCD 的面积，得到 下表的几组对应值（当点 C 与点 A 或点 B 重合时，OCD 的面积为 0） CD/cm

38、 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 SOCD/cm2 0 1.9 3.9 5.6 m 7.8 7.9 6.8 0 填空：m 6.9 .（结果保留一位小数） （2）将线段 CD 的长度作为自变量 x，OCD 的面积是 x 的函数，记为 y，请在平面直角坐标系 xOy 中 画出函数的图象，并写出OCD 面积的最大值； （3）在同一坐标系中画出所需的图象，并结合图象直接写出：当OCD 的面积为 3.5cm2时，线段 CD 长度的近似值（结果保留一位小数） 【分析】（1）由直径 AB8cm，当 CD4 时，OCOD4，可得OCD 为等边三角形，即可求出 OCD 的面积

39、； （2）根据表格中的数据，先描点，再用光滑的曲线连接起来，即可画出函数图象；结合函数图象及表格 可得OCD 面积的最大值； （3）结合函数图象，直接估计答案即可 解：（1）直径 AB8cm， OCOD4.0cm， 当 CD4.0cm 时，OCD 为等边三角形， 设OCD 的高为 h，则 h4sin602， SOCD 441.736.9（cm2）， 故答案为：6.9； （2）图象如图所示， 结合函数图象及表格得，OCD 面积的最大值为 7.9cm2； （3）由图象可知：当 CDx 时，过 O 作 OHCD，垂足为 H，则 CH，OC4，设高 OHh，则 h216， 根据题意得，SOCDhx3.

40、5， h2x23.52， 将 h216 代入上式得，（16）x212.25， 将 x2看作整体即可求出 x2，从而求出 x 的值，而 CDx 即为所求， 当OCD 的面积为 3.5cm2时，线段 CD 长度的近似值为 1.7cm 或 7.8cm 答：线段 CD 长度的近似值为 1.7cm 或 7.8cm 23（1）问题发现 如图 1，ABC 与ADE 都是等腰直角三角形，且BACDAE90，直线 BD，CE 交于点 F，直 线 BD，AC 交于点 G则线段 BD 和 CE 的数量关系是 BDCE ，位置关系是 BDCE ； （2）类比探究 如图 2，在ABC 和ADE 中，ABCADE，ACB

41、AED，直线 BD，CE 交于点 F，AC 与 BD 相交于点 G若 ABkAC，试判断线段 BD 和 CE 的数量关系以及直线 BD 和 CE 相交所成的较小 角的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 如图 3，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标为（3.0），点 N 为 y 轴上一动点，连接 MN将线段 MN 绕 点 M 逆时针旋转 90得到线段 MP，连接 NP，OP请直接写出线段 OP 长度的最小值及此时点 N 的坐 标 【分析】 （1） 判定 BD 与 CE 的关系， 可以根据角的大小来判定 由BACDAE 可得BADCAE， 进而得BADCAE，所以CGF+ACF90所以 BDCE （

42、2）根据相似三角形的判定和性质解答即可； （3）根据旋转的性质和最值解答即可 解：（1）BDCE，BDCE， ABC、ADE 是等腰直角三角形， ABAC，ADAE， BAD+DAC90，DAC+CAE90， BADCAE， ABDACE（SAS）， BDCE，ABDACE， CGFCBG+ACB45+CBG， ABG+CBF45， ACF+CBF45， CGF+ACF45+CBF+ACF90， CFB90， 即 BDCE， 故答案为：BDCE，BDCE； （2）ABCADE，ACBAED， ABCADE， BACDAE， BADCAE， ABDACE， ABDACE， BGCABD+BACBFC+ACE， BFCBAC， BAC+ABC+ACB180， BFC180， 即为最小度数角， （3）由旋转得，MNMP，NMP90， MNP 是等腰直角三角形， MNPNPM45， 将NPM 绕 M 点顺时针旋转 90得OPM（N 与 O重合）， 连接 OP， PMOPMO， MOMO，OPOP， OMO45， 当 OP 有最小，即 OP最小，即垂线段最短，当 OPy 轴时，OP最小， 由OOP45，OPO90， OPOM3，P（0，3），N（0，3）， N（0，3），OP 最小值为 3