1、2021 年山西省太原市中考数学三模试卷年山西省太原市中考数学三模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分）分）. 1在3，2，1，4 中，绝对值最小的数是（ ） A4 B3 C2 D1 2下列运算正确的是（ ） A（a+b）2a2+b2 B（a2）a3a6 C（2x2）38x6 D4a2（2a）22a2 3从国家航天局获悉，根据“祝融号”火星车发回遥测数据确认，5 月 15 日 7 时 18 分，天问一号着陆巡 视器成功着陆于火星南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆成功如果从火星表面发出的光需要 经过 20min 才能到达地球 （光速为
2、300000km/s） ， 那么用科学记数法表示此时火星与地球间的距离为 （ ） A3.6108km B3.6107km C6106km D6107km 4如图，点 D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 的中点，连接 DE若B50，A60，则AED 的 度数等于（ ） A50 B60 C70 D80 5如图，已知 BC 是圆柱底面的直径，AB 是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点 A，C 嵌有一圈路径最短的 金属丝，现将圆柱侧面沿 AB 剪开，所得的圆柱侧面展开图是（ ） A B C D 6二元一次方程组的解是（ ） A B C D 7某十字路口交通信号灯时间的设置是红灯亮 50s，绿灯亮 45
3、s，黄灯亮 10s当一人驾车通过该路口时， 他遇到红灯的概率是（ ） A B C D 8如图，在ABC 中，ACB90，B30，AB4，将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到ABC，当 点 C落在边 AB 上时，线段 CC的长为（ ） A B1 C D2 9如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞门洞内的地面宽度为 8m，两侧距地面 4m 高处各有一盏 灯，两灯间的水平距离为 6m，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（ ） A B8 C D7.5 10如图，OC 为O 的半径，AB 与O 切于点 A，与射线 OC 交于点 B若B30，OC4，则图中 阴影部分的面积为（ ） A16 B8 C16 D8
4、 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）将答案直接写在答题卡相应位置。分）将答案直接写在答题卡相应位置。 11分解因式 4x（x+1）（x+1）2的结果是 12如图是一组有规律排列的图案，它们是由边长为 1 的正方形组成，第（1）个图案有边长为 1 的小正方 形 3 个，第（2）个图案有边长为 1 的小正方形 6 个，第（3）个图案有边长为 1 的小正方形 9 个，依 此规律，则第（n）个图案中，边长为 1 的小正方形有 个 13如图，反比例函数 y（x0）和一次函数 ymx+n 的图象在第一象限交于点 A，若点 A 的纵坐标是
5、 2，则关于 x 的不等式 mx+n的解集是 14有三把钥匙（编号分别是 1，2，3）与三把锁（编号分别是 A，B，C），每把钥匙只能打开其中一把锁， 每把锁只有一把钥匙能打开如果从三把钥匙中随机抽取两把，那么能一次性（即不能试）打开 A 锁与 B 锁的概率是 15如图，在ABC 中，C90，AC2，BC6点 D 是在边 BC 上的动点，则BD+AD 的最小值 是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分）解答时应写出必要的文字说明推理过程或演算步骤。分）解答时应写出必要的文字说明推理过程或演算步骤。 16（1）计算：（） 1 +（12）（6） （2）解方程
6、： 17如图，对AOB 进行以下操作： 以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 C，点 D； 分别以 C，D 两点为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点 P； 作射线 OP 请解答下列问题： （1）作线段 OP 的垂直平分线，分别交 OA，OB 于点 E，点 F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不 写作法） （2）在（1）所作的图中，求证：OEOF 18如图，小明在自己家中（点 A 处）分别测得正对面大楼最高处点 C 的仰角为 60，大楼底部点 D 的俯 角为 15已知两楼 AB，CD 之间的距离 BD 为 60m，求楼高 DC （参考数据：sin150.26，cos
7、150.97，tan150.27，1.73） 19某公司欲招聘一名营销经理，经过激烈的角逐后，对最后进入的三名候选人甲、乙、丙先进行了笔试 和面试，又组织 100 名员工对三人的营销策略演讲进行了民主投票他们笔试与面试的成绩及民主投票 的得票情况（没有弃权票，每位员工只能投一人，一票记 1 分）统计如图 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 65 70 95 面试 90 80 75 （1）如果根据总成绩（笔试、面试成绩与投票得分的和）确定个人成绩，那么被录用的是 ； （2）根据实际需要，公司将笔试、面试、民主投票三项得分按 2：5：3 的比例确定个人成绩，那么谁将 被录用？如果是按 3：2
8、：5 的比例确定个人成绩，那么结果又如何呢； （3）结合以上的录用结果，谈谈你的看法 20某公司为了宣传销售一种新产品，在某地先后举办了 30 场产品促销会已知该产品每台成本为 10 万 元，设第 x 场产品的销售量为 y（台）在销售过程中获得以下信息： 信息 1：销售量 y 与销售场次 x 之间满足关系式 yx+50 信息 2：每场销售单价 p（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，浮动价与销售场 次 x 成正比 x（场） 3 10 p（万元） 10.6 12 经过统计得到如表数据： （1）求每场的基本价及 p 与 x 之间的函数关系式； （2）在这 30 场产品促销会上，哪
9、一场获得的利润最大，并求出最大利润 21阅读下列材料，完成相应的任务 小明读了“一元二次方程的几何解法”一文，了解了巴比伦泥版中的解法、欧几里得几何原本中的 方法、卡莱尔的方法等卡莱尔的结论是：如果关于 x 的方程 x2+bx+c0 有两个实数根，则以 A（0，1） 和 B（b，c）为直径端点的P 与 x 轴交点的横坐标就是该方程的两个根小明摘录了证明这个结论的 部分过程 证明：不妨设 b0，c0如图，以 AB 为直径作P，设P 与 x 轴交于 C，D 两点，与 y 轴交于点 E连接 BE，PC，PD，PE过点 P 分别作 PMy 轴于点 M，PNx 轴于点 N AB 为P 的直径， AEB9
10、0 EOD90， AEB+EOD180 BEx 轴 A，B 两点的坐标分别为（0，1），（b，c）， AEc1，BEb 在 RtABE 中，由勾股定理得 AB 在PAE 中，PAPE，PMy 轴于点 M， AMAE（c1） MOAM+OA（c+1） PAPB， PM 是ABE 的中位线 PMBE（b）b PMy 轴于点 M，PNx 轴于点 N，EOD90， 四边形 OMPN 是矩形 ONMPb，PNMO（c+1） 在PCD 中，PCPD，PNCD， NCND（依据） 在 RtPNC 中，由勾股定理得：CN 批注：求出线段 OC 和 OD 的长就能证明该结论 任务： （1）依据： ； （2）根据
11、小明的批注完成解答过程； （3）用上述结论求方程 x2+3x40 的根请在图示的平面直角坐标系中画出对应的圆，并直接写出它 与 x 轴的交点坐标 22综合与实践 在数学实践课上，老师让同学们在折叠矩形纸片的过程中提出问题并解答 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB6，BC12，点 E 在 BC 边上，点 F 在 AB 边上沿直线 EF 折叠矩形 纸片，点 B 落在点 B处 问题一： （1）如图 1，当点 F 与点 A 重合时，连接 CB，若BEC 是直角三角形，则线段 BE 的长 为 ； 问题二： （2）如图 2，将纸片展平，点 H 在边 DC 上，点 G 在边 BC 上，沿直线 GH 折叠矩
12、形纸片，点 C 落在点 C处，GC与 EB恰好交于 AD 边的中点 OGC交 EF 于点 M，GH 分别交 EF，EB于点 P，点 N当 BG EC，BEF30时，求四边形 OMPN 的面积； 问题三： （3）如图 3，当点 F 与点 A 重合时，延长 EB与边 AD 交于点 C，沿直线 EH 折叠纸片（点 H 在边 CD 上），点 C 与点 C恰好重合再次沿平行于 AD 的直线折叠纸片，点 E 落在 AD 上的点 E处，折痕分别 交 AE 于点 P，交 EH 于点 Q， 将纸片展平并连接 EE，CP，CQ，EE交 PQ 于点 K请判断四边形 EPCQ 的形状，并说明理由 23综合与探究 如图
13、，抛物线 yx2+4x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C点 B 关于直 线 AC 的对称点为点 D，点 E 的坐标为（0，5） （1）求 A，B，C 三点的坐标； （2）如图 1，连接 BC，在直线 DE 上是否存在点 M，使得CMAABC？若存在，请求出点 M 的坐 标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，点 G 在 x 轴下方的抛物线上，过点 G 作 GFx 轴交直线 DE 于点 F，过点 F 作 FHAC 于点 H，连接 DG 交 AC 于点 N，当 FG+FH 最大时，求 DN：NG 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共
14、10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分）分）. 1在3，2，1，4 中，绝对值最小的数是（ ） A4 B3 C2 D1 解：|3|3，|2|2，|1|1，|4|4， 1234， 在3，2，1，4 中，绝对值最小的数是 1， 故选：D 2下列运算正确的是（ ） A（a+b）2a2+b2 B（a2）a3a6 C（2x2）38x6 D4a2（2a）22a2 解：A（a+b）2a2+2ab+b2，故本选项不符合题意； B（a2）a3a5，故本选项不符合题意； C（2x2）38x6，故本选项符合题意； D4a2（2a）2 4a24a2 0，故本选项不符合题意； 故选：C 3从国家航天局获
15、悉，根据“祝融号”火星车发回遥测数据确认，5 月 15 日 7 时 18 分，天问一号着陆巡 视器成功着陆于火星南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆成功如果从火星表面发出的光需要 经过 20min 才能到达地球 （光速为 300000km/s） ， 那么用科学记数法表示此时火星与地球间的距离为 （ ） A3.6108km B3.6107km C6106km D6107km 解：20603000003600000003.6108km 即用科学记数法表示此时火星与地球间的距离为 3.6108（km） 故选：A 4如图，点 D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 的中点，连接 DE若B50，A6
16、0，则AED 的 度数等于（ ） A50 B60 C70 D80 解：B50，A60， ACB180AB180605070， 点 D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 的中点， DEBC， AEDACB70， 故选：C 5如图，已知 BC 是圆柱底面的直径，AB 是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点 A，C 嵌有一圈路径最短的 金属丝，现将圆柱侧面沿 AB 剪开，所得的圆柱侧面展开图是（ ） A B C D 解：因圆柱的展开面为长方形，AC 展开应该是两直线，且有公共点 C 故选：B 6二元一次方程组的解是（ ） A B C D 解：， +，得 11x33， 解得：x3， 把 x3 代入，得 9
17、+2y13， 解得：y2， 所以方程组的解是， 故选：C 7某十字路口交通信号灯时间的设置是红灯亮 50s，绿灯亮 45s，黄灯亮 10s当一人驾车通过该路口时， 他遇到红灯的概率是（ ） A B C D 解：十字路口交通信号灯时间的设置是红灯亮 50s，绿灯亮 45s，黄灯亮 10s， 遇到红灯的概率是 故选：B 8如图，在ABC 中，ACB90，B30，AB4，将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到ABC，当 点 C落在边 AB 上时，线段 CC的长为（ ） A B1 C D2 解：ACB90，B30，AB4， AC2，CAC60， 将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到ABC， ACAC2， C
18、AC为等边三角形， CCAC2， 故选：D 9如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞门洞内的地面宽度为 8m，两侧距地面 4m 高处各有一盏 灯，两灯间的水平距离为 6m，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（ ） A B8 C D7.5 解：建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知各点的坐标，A（4，0），B（4，0），D（3，4） 设抛物线的解析式为：yax2+c（a0），把 B（4，0），D（3，4）代入，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：yx2+， 则 C（0，） 这个门洞内部顶端离地面的距离为m， 故选：A 10如图，OC 为O 的半径，AB 与O 切于点 A，与射线 OC 交
19、于点 B若B30，OC4，则图中 阴影部分的面积为（ ） A16 B8 C16 D8 解：连接 OA， AB 与O 切于点 A， OAB90， OC4， OAOC4， B30， O60，ABOA4， 阴影部分的面积SAOBS扇形AOC44 8 ， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）将答案直接写在答题卡相应位置。分）将答案直接写在答题卡相应位置。 11分解因式 4x（x+1）（x+1）2的结果是 （x+1）（3x1） 解：4x（x+1）（x+1）2 （x+1）4x（x+1） （x+1）（4xx1） （x+1）（3x1
20、） 故答案为：（x+1）（3x1） 12如图是一组有规律排列的图案，它们是由边长为 1 的正方形组成，第（1）个图案有边长为 1 的小正方 形 3 个，第（2）个图案有边长为 1 的小正方形 6 个，第（3）个图案有边长为 1 的小正方形 9 个，依 此规律，则第（n）个图案中，边长为 1 的小正方形有 3n 个 解：第（1）个图案有边长为 1 的小正方形的个数为：331， 第（2）个图案有边长为 1 的小正方形的个数为：632， 第（3）个图案有边长为 1 的小正方形的个数为：933， 第（4）个图案有边长为 1 的小正方形的个数为：1234， 第（n）个图案有边长为 1 的小正方形的个数为
21、：3n 故答案为：3n 13如图，反比例函数 y（x0）和一次函数 ymx+n 的图象在第一象限交于点 A，若点 A 的纵坐标是 2，则关于 x 的不等式 mx+n的解集是 0 x3 解：反比例函数 y（x0）经过点 A，点 A 的纵坐标是 2， 2， x3， A（3，2）， 由图象可知，不等式 mx+n的解集是 0 x3， 故答案为 0 x3 14有三把钥匙（编号分别是 1，2，3）与三把锁（编号分别是 A，B，C），每把钥匙只能打开其中一把锁， 每把锁只有一把钥匙能打开如果从三把钥匙中随机抽取两把，那么能一次性（即不能试）打开 A 锁与 B 锁的概率是 解：列表得： A B 1 2 3 由
22、表可知所有可能的结果有 6 种，能一次性（即不能试）打开 A 锁与 B 锁的有 1 种， 所以一次打开 A 锁与 B 锁的概率 故答案为： 15如图，在ABC 中，C90，AC2，BC6点 D 是在边 BC 上的动点，则BD+AD 的最小值是 4+ 解：过 B 点作 MBAD 交于 AD 的延长线于点 M， C90， MDBDsinMBD， MBDDAC， 当 sinCAD时，MDBD， 此时BD+ADMD+ADAM，取最小值， AC2，sinCAD， AD，CD， BD6， BD+AD4+， 故答案为：4+ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分）解答时
23、应写出必要的文字说明推理过程或演算步骤。分）解答时应写出必要的文字说明推理过程或演算步骤。 16（1）计算：（） 1 +（12）（6） （2）解方程： 解：（1）（） 1 +（12）（6） 321+4 2； （2） 两边同时乘以 2（x2）得：2（x+2）3x+1 解得：x3， 检验：当 x3 时，2（x2）0， 原分式方程的解为 x3 17如图，对AOB 进行以下操作： 以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 C，点 D； 分别以 C，D 两点为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点 P； 作射线 OP 请解答下列问题： （1）作线段 OP 的垂直平分线，分别交 OA
24、，OB 于点 E，点 F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不 写作法） （2）在（1）所作的图中，求证：OEOF 【解答】（1）解：如图，直线 EF 即为所求 （2）证明：OP 平分AOB， AOPBOP， EFOP， OTEOTF90， EOT+OET90，FOT+OFT90， OETOFT， OEOF 18如图，小明在自己家中（点 A 处）分别测得正对面大楼最高处点 C 的仰角为 60，大楼底部点 D 的俯 角为 15已知两楼 AB，CD 之间的距离 BD 为 60m，求楼高 DC （参考数据：sin150.26，cos150.97，tan150.27，1.73） 解：如图，过 A 作 A
25、ECD 于 E， ABBD，CDBD， 四边形 ABDE 是矩形， DEAB60m， 在 RtAED 中，EDAEtanEAD600.2716.2（m）， 在 RtACE 中，CEAEtanCAE60601.73103.8（m）， CDDE+CE103.8+16.2120（m） 答：楼 CD 的高为 120m 19某公司欲招聘一名营销经理，经过激烈的角逐后，对最后进入的三名候选人甲、乙、丙先进行了笔试 和面试，又组织 100 名员工对三人的营销策略演讲进行了民主投票他们笔试与面试的成绩及民主投票 的得票情况（没有弃权票，每位员工只能投一人，一票记 1 分）统计如图 测试项目 测试成绩/分 甲
26、乙 丙 笔试 65 70 95 面试 90 80 75 （1）如果根据总成绩（笔试、面试成绩与投票得分的和）确定个人成绩，那么被录用的是 丙 ； （2）根据实际需要，公司将笔试、面试、民主投票三项得分按 2：5：3 的比例确定个人成绩，那么谁将 被录用？如果是按 3：2：5 的比例确定个人成绩，那么结果又如何呢； （3）结合以上的录用结果，谈谈你的看法 解：（1）甲民主评议得分：100135%35（分）， 乙民主评议得分：100140%40（分）， 丙民主评议得分：100125%25（分）， 甲的成绩：65+90+35190（分）， 乙的成绩：70+80+40190（分）， 丙的成绩：95+7
27、5+25195（分） 所以丙将被录用，因为丙的成绩最好； 故答案为：丙； （2）将笔试、面试、民主投票三项得分按 2：5：3 的比例确定个人成绩， 甲的成绩：65+90+3568.5（分）， 乙的成绩：70+80+4066（分）， 丙的成绩：95+75+2564（分） 所以甲将被录用； 按 3：2：5 的比例确定个人成绩， 甲的成绩：65+90+3555（分）， 乙的成绩：70+80+4057（分）， 丙的成绩：95+75+2556（分） 所以乙将被录用； （3）不同的权重影响个人成绩，导致录取结果发生变化（答案不唯一） 20某公司为了宣传销售一种新产品，在某地先后举办了 30 场产品促销会已
28、知该产品每台成本为 10 万 元，设第 x 场产品的销售量为 y（台）在销售过程中获得以下信息： 信息 1：销售量 y 与销售场次 x 之间满足关系式 yx+50 信息 2：每场销售单价 p（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，浮动价与销售场 次 x 成正比 x（场） 3 10 p（万元） 10.6 12 经过统计得到如表数据： （1）求每场的基本价及 p 与 x 之间的函数关系式； （2）在这 30 场产品促销会上，哪一场获得的利润最大，并求出最大利润 解：（1）设基本价为 b 万元，p 与 x 之间的函数关系式为 pax+b， 根据题意，得， 解得， 每场的基本价为 10
29、 万元，p 与 x 之间的函数关系式为 px+10（1x30 的整数）； （2）设每场获得利润为 w 万元， 根据题意，得 w（x+1010）（x+50） +10 x+125， 0， 当 x25 时，w 取得最大值，最大值为 125， 第 25 场的利润最大，最大利润为 125 万元 21阅读下列材料，完成相应的任务 小明读了“一元二次方程的几何解法”一文，了解了巴比伦泥版中的解法、欧几里得几何原本中的 方法、卡莱尔的方法等卡莱尔的结论是：如果关于 x 的方程 x2+bx+c0 有两个实数根，则以 A（0，1） 和 B（b，c）为直径端点的P 与 x 轴交点的横坐标就是该方程的两个根小明摘录了
30、证明这个结论的 部分过程 证明：不妨设 b0，c0如图，以 AB 为直径作P，设P 与 x 轴交于 C，D 两点，与 y 轴交于点 E连接 BE，PC，PD，PE过点 P 分别作 PMy 轴于点 M，PNx 轴于点 N AB 为P 的直径， AEB90 EOD90， AEB+EOD180 BEx 轴 A，B 两点的坐标分别为（0，1），（b，c）， AEc1，BEb 在 RtABE 中，由勾股定理得 AB 在PAE 中，PAPE，PMy 轴于点 M， AMAE（c1） MOAM+OA（c+1） PAPB， PM 是ABE 的中位线 PMBE（b）b PMy 轴于点 M，PNx 轴于点 N，EO
31、D90， 四边形 OMPN 是矩形 ONMPb，PNMO（c+1） 在PCD 中，PCPD，PNCD， NCND（依据） 在 RtPNC 中，由勾股定理得：CN 批注：求出线段 OC 和 OD 的长就能证明该结论 任务： （1）依据： 等腰三角形的三线合一的性质 ； （2）根据小明的批注完成解答过程； （3）用上述结论求方程 x2+3x40 的根请在图示的平面直角坐标系中画出对应的圆，并直接写出它 与 x 轴的交点坐标 解：（1）依据是：等腰三角形的三线合一的性质 故答案为：等腰三角形的三线合一的性质 （2）PM，CN， OC，OD+， 即点 C，点 D 的横坐标是 x2+bx+c0 的两个实
32、数根 （3）如图，P 即为所求，P 与 x 轴的交点 C，D 的坐标分别为（4，0），（1，0） 故方程 x2+3x40 的根为 x4 或 1 22综合与实践 在数学实践课上，老师让同学们在折叠矩形纸片的过程中提出问题并解答 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB6，BC12，点 E 在 BC 边上，点 F 在 AB 边上沿直线 EF 折叠矩形 纸片，点 B 落在点 B处 问题一： （1）如图 1，当点 F 与点 A 重合时，连接 CB，若BEC 是直角三角形，则线段 BE 的长为 6 或 3 3 ； 问题二： （2）如图 2，将纸片展平，点 H 在边 DC 上，点 G 在边 BC 上，沿直线
33、GH 折叠矩形纸片，点 C 落在点 C处，GC与 EB恰好交于 AD 边的中点 OGC交 EF 于点 M，GH 分别交 EF，EB于点 P，点 N当 BG EC，BEF30时，求四边形 OMPN 的面积； 问题三： （3）如图 3，当点 F 与点 A 重合时，延长 EB与边 AD 交于点 C，沿直线 EH 折叠纸片（点 H 在边 CD 上），点 C 与点 C恰好重合再次沿平行于 AD 的直线折叠纸片，点 E 落在 AD 上的点 E处，折痕分别 交 AE 于点 P，交 EH 于点 Q， 将纸片展平并连接 EE，CP，CQ，EE交 PQ 于点 K请判断四边形 EPCQ 的形状，并说明理由 解：（1
34、）当EBC90时，则 A、B、C 三点共线， 在 RtABC 中，由勾股定理得 AC6， CBECBA， ， ， BEBE3， 当CEB90时，点 B落在 AD 上，此时 BEBE6， 当ECB90时，不符合题意， BE6 或 33， 故答案为：6 或 33； （2）如图，过点 O 作 OQBC 于点 Q， 则OQB90， 四边形 ABCD 是矩形，点 O 是 AD 的中点， AB90，ADBC，ADBC，AO， 四边形 ABQO 是矩形， AB6，BC12， OQAB6，BQAO， BQCQ6， ECBG， BQBGCQCE， GQOE， OQ 是 GE 的垂直平分线， OGOE， FBE
35、与FBE 关于直线 EF 对称，FEB30， FBEFBE， FEBFEB30， OEGFEB+FEB60， OGE 是等边三角形，OGEOEG60， GCH 与GCH 关于直线 GH 对称， OGHHGE， HGEFEB， PGPE， 点 P 在 GE 的垂直平分线上， 点 P 是OGE 的三条角平分线的交点，也是三条边的垂直平分线的交点， 线段 OQ、EM、GN 将OGE 的面积六等分， S四边形OMPN2SOPM OGEOGQ， 在 RtOGQ 中，tan， GQ2， S四边形OMPN 4， （3）结论：四边形 EPCQ 是矩形，理由如下： 如图 3， 设 CE 与 PQ 交于点 M，
36、由折叠的性质可知：PQ 是 EE的垂直平分线，PQAD， ， APPE，CMME， ABE 与ABE 关于直线 AE 对称， ABEABE， AEBAEB， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， DAEAEB， DAEAEB， ACEC， APPE， CPAE， CPE90， 同理可得：CEQQEC，MQEQEC， QECMQE， MEMQ， CMME， CMMQ， MCQMQC， 在EQC中，MCQ+MQC+MQE+QEM180， MQE+MQC90， EQC90， BEB+CEC180， AEB+QEC90， PEQ90， CPEPEQEQC90， 四边形 CPEQ 是矩形 23综合与探
37、究 如图，抛物线 yx2+4x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C点 B 关于直 线 AC 的对称点为点 D，点 E 的坐标为（0，5） （1）求 A，B，C 三点的坐标； （2）如图 1，连接 BC，在直线 DE 上是否存在点 M，使得CMAABC？若存在，请求出点 M 的坐 标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，点 G 在 x 轴下方的抛物线上，过点 G 作 GFx 轴交直线 DE 于点 F，过点 F 作 FHAC 于点 H，连接 DG 交 AC 于点 N，当 FG+FH 最大时，求 DN：NG 解：（1）当 y0 时，x2+4x+30
38、 时， x11，x23， 点 A 在点 B 的左侧， 点 A（3，0），点 B（1，0）， 当 x0 时，y3， 点 C（0，3）， 故点 A（3，0），点 B（1，0），点 C（0，3）； （2）如图，过点 C 作 CMAB 于 M， MCACAB， A（3，0），C（0，3）； OAOC3，AC3 CAO45， B 关于直线 AC 的对称点为点 D， 点 D（3，2）， 设直线 DE 的解析式为 ykx+b， ， ， 直线 DE 的解析式为 yx+5， M（2，3）， MC2AB， 在ACB 和CAM 中， ， ACBCAM（SAS）， 存在点 M，使得CMAABC，此时 M（2，3）； （3）设 FG 交 AC 于点 I，设点 G（m，m2+4m+3），则 I（m，m+3），F（m，m+5）， FGm+5（m2+4m+3）m23m+2，FIm+5（m+3）2， FIHAIG45， FH， FG+FH 最大时，只要 FG 最大即可， FGm23m+2， 当 m时，FG 最大为， GI， 直线 ACDE， ， DN：NG8：9
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