1、第一章 集合与常用逻辑用语 (满分：150 分 时间：120 分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1下列表示正确的是( ) A所有实数R B整数集Z C D1有理数 2集合 Ax|1x2，Bx|x1 Bx|x1 Cx|1x2 Dx|1x2 3满足1X 1,2,3,4的集合 X 有( ) A4 个 B5 个 C6 个 D7 个 4命题“对任意 xR，都有 x21”的否定是( ) A对任意 xR，都有 x21 B不存在 xR，使得 x21 C存在 xR，使得 x21 D.存在 xR，使得 x21 5命题“xR
2、，x3x210”的否定是( ) AxR，x3x210 DxR，x3x210 6. “a1”是“函数 yax22x1 与 x 轴只有一个交点”的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 7a2b2的一个充分条件是( ) Aab Bab Cab Da2，b1 8下列命题中，真命题是( ) A若 x，yR 且 xy2，则 x，y 至少有一个大于 1 BxR,2xx2 Cab0 的充要条件是a b1 DxR，x220 9一元二次方程 ax24x30 (a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) Aa0 Ca1 10已知集合 Ax|x2，Bx|x2m，且
3、ARB，那么 m 的值可以是( ) A1 B2 C3 D4 11若集合 Ax|2a1x3a5，Bx|5x16，则能使 AB 成立的所有 a 组成的 集合为( ) Aa|2a7 Ba|6a7 Ca|a7 D 12满足“闭合开关 K1”是“灯泡 R 亮”的充要条件的电路图是( ) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 13设全集 UR，集合 Ax|x0，Bx|x1，则 A(UB)_. 14命题“1x2，使 x2a0”是真命题，则 a 的取值范围是_ 15 设集合 Ax|0 x1， Bx|0 x3， 那么“mA”是“mB”的_条件(填 “充分不必要”“必
4、要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 16定义集合运算：ABz|zxy(xy)，xA，yB设集合 A0,1，B2,3，则 集合 AB 的所有元素之和为_ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否 定： (1)p：对任意的 xR，x2x10 都成立； (2)p：xR，x22x50. 18 (本小题满分 12 分)已知 Ax|2x3， Bx|3x3， 求RA， R(AB)， (RA)B. 19(本小题满分 12 分)判断下列各题中的条件 p 是结论 q 的什
5、么条件 (1)条件 p：a，bR，ab0，结论 q：ab0； (2)条件 p：A B，结论 q：ABB. 20(本小题满分 12 分)已知集合 Ax|1x3，集合 Bx|2mx1m (1)当 m1 时，求 AB； (2)若 AB，求实数 m 的取值范围 21(本小题满分 12 分)已知集合 Ax|2x4，Bx|ax3a且 B. (1)若 xA 是 xB 的充分条件，求 a 的取值范围； (2)若 AB，求 a 的取值范围 22(本小题满分 12 分)已知 x，y 都是非零实数，且 xy，求证：1 x 1 y的充要条件是 xy0. 【参考答案】 (满分：150 分 时间：120 分钟) 一、选择
6、题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1D 选项 A 不正确，因为符号“ ”已包含“所有”“全体”的含义，因此不用再加 “所有”；选项 B 不正确，Z 表示整数集，不能加花括号；显然选项 C 不正确，选项 D 正 确 2B 由 Ax|1x2，Bx|x0”故选 C. 6. B 当 a1 时，函数 yax22x1x22x1 与 x 轴只有一个交点；但若函数 y ax22x1 与 x 轴只有一个交点，则 a1 或 a0，所以“a1”是“函数 yax2 2x1 与 x 轴只有一个交点”的充分不必要条件 7D A 中，当 a0，b2
7、 时，a20，b24，不能推出 a2b2；B 中，当 a1，b 1 时，a2b2，不能推出 a2b2；C 中，当 ab 时，a2b2，不能推出 a2b2；D 中，a2 4，b21，能推出 a2b2，故选 D. 8A 当 x2 时，2xx2，故 B 错误；当 ab0 时，满足 ab0，但a b1 不成立， 故 C 错误；xR，x220，故xR，x220 错误，故选 A. 9C 方程有一个正根和一个负根时，根据韦达定理知3 a0，即 a0，a1 可以推出 a 0，但 a0 不一定推出 a1，故选 C. 10A 根据补集的概念，RBx|x2m 又ARB，2m2.解得 m1，故 m 的值可以是 1.
8、11C 当 3a52a1，即 a6 时，AB； 当 3a52a1，即 a6 时，A， 要使 AB，需有 3a516， 2a15， 解得 2a7.综上可知，a7. 12C 由题图 A，闭合开关 K1或者闭合开关 K2都可以使灯泡 R 亮；反之，若要使灯泡 R 亮，不一定非要闭合开关 K1，因此“闭合开关 K1”是“灯泡 R 亮”的充分不必要条件由 题图 B，闭合开关 K1而不闭合开关 K2，灯泡 R 不亮；反之，若要使灯泡 R 亮，则开关 K1 必须闭合因此“闭合开关 K1”是“灯泡 R 亮”的必要不充分条件由题图 C，闭合开关 K1可使灯泡 R 亮；反之，若要使灯泡 R 亮，开关 K1一定是闭
9、合的因此“闭合开关 K1” 是“灯泡 R 亮”的充要条件 由题图 D， 闭合开关 K1但不闭合开关 K2， 灯泡 R 不亮； 反之， 灯泡 R 亮也可不闭合开关 K1， 只要闭合开关 K2即可 因此“闭合开关 K1”是“灯泡 R 亮” 的既不充分也不必要条件 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 13x|x1 Bx|x1，UBx|x1，则 A(UB)x|x1 14a|a1 命题 p：ax2在 1x2 上恒成立，yx2在 1x2 上的最小值为 1，a 1. 15充分不必要 由于 Ax|0 x1，所以 A B，所以“mA”是“mB”的充分不必 要条件
10、1618 当 x0 时，y2、3，对应的 z0；当 x1 时，y2、3，对应的 z6、12. 即 AB0,6,12故集合 AB 的所有元素之和为 18. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17解解 (1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题； 又由于“任意”的否定为“存在一个”， 因此，p：存在一个 xR，使 x2x10 成立， 即“xR，使 x2x10 成立”； (2)由于“xR”表示存在一个实数 x， 即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题； 又由于“存在一个”的否定为“任意一个”， 因此，p：对任意一个
11、 x 都有 x22x50，即“xR，x22x50” 18解解 结合数轴，由图可知RAx|x2 或 x3， 又ABx|2x3A，R(AB)RAx|x2 或 x3， (RA)Bx|3x2 或 x3 19解解 (1)因为 a，bR，ab0， 所以 a，b 至少有一个大于 0，所以 pq. 反之，若 ab0，可推出 a，b 同号 但推不出 ab0，即 qp. 综上所述，p 既不是 q 的充分条件，也不是必要条件 (2)因为 A BABB，所以 pq. 而当 ABB 时，AB，即 qp， 所以 p 为 q 的充分不必要条件 20解解 (1)当 m1 时，Bx|2x2，ABx|2x3 (2)由 AB，知
12、1m2m， 2m1， 1m3， 解得 m2， 即实数 m 的取值范围为m|m2 21解解 (1)xA 是 xB 的充分条件，AB， a2， 3a4， 解得 a 的取值范围为4 3a2. (2)由 Bx|ax3a且 B，a0. 若 AB，a4 或 3a2，所以 a 的取值范围为 0a2 3或 a4. 22证明证明 法一：充分性：由 xy0 及 xy，得 x xy y xy，即 1 x 1 y. 必要性：由1 x 1 y，得 1 x 1 y0，即 yx xy 0. 因为 xy，所以 yx0，所以 xy0. 所以1 x 1 y的充要条件是 xy0. 法二：1 x 1 y 1 x 1 y0 yx xy 0. 由条件 xyyx0，故由yx xy 0 xy0. 所以1 x 1 yxy0，即 1 x 1 y的充要条件是 xy0.
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