1、第五章第五章 三角函数三角函数 章末复习课章末复习课 一、同角三角函数的基本关系和诱导公式 1(1)两个基本关系式 sin2cos21 及sin cos tan ；(2)诱导公式：可概括为 k 2 (kZ) 的各三角函数值的化简公式记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限； 2化简三角函数式的常用方法有：(1)直接应用公式；(2)切化弦；(3)异角化同角；(4)特殊值 与特殊角的三角函数互化；(5)通分、约分；(6)配方去根号 3求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角 4掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养 例 1 函数 f(x)1 5sin
2、x 3 cos x 6 的最大值为( ) A.6 5 B1 C. 3 5 D. 1 5 答案 A 解析 f(x)1 5sin x 3 cos x 6 1 5sin x 3 cos 6x 1 5sin x 3 sin x 3 6 5sin x 3 ， 故函数有最大值6 5. 反思感悟 任意角的三角函数的定义及诱导公式是高考考点，应用定义时，注意三角函数值 仅与终边位置有关，与终边上的点的位置无关，应用诱导公式时要弄清三角函数值在各个象 限内的符号主要考查角度：(1)角的概念及其表示；(2)三角函数的定义及其应用；(3)扇形的 弧长及面积公式；(4)三角函数的诱导公式 跟踪训练 1 已知 sin
3、cos 1 8，且 5 4 0，且 5 4 3 2 可知 sin 0，cos sin ， 所以 cos sin 12sin cos 3 2 . 二、三角函数的图象与性质 1三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将 x 看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧 2函数 yAsin(x)的图象 (1)“五点法”作图；(2)图象伸缩、平移变换 3掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养 例 2 (1)已知函数 f(x)sin x 6 ，其中 x 3，a ，若 f(x)的值域是 1 2，1 ，则实数 a 的取值范围是_ 答案 3， 解析 x 3，
4、a ， x 6 6，a 6 . 当 x 6 6， 2 时，f(x)的值域为 1 2，1 ， 结合函数的图象知 2a 6 7 6 ， 3a. (2)函数 ysin x 4 的图象的对称轴为_，对称中心为_ 答案 x3 4 k，kZ 4k，0 ，kZ 解析 由 x 4 2k，kZ， 得 x3 4 k，kZ. 由 x 4k，kZ， 得 x 4k，kZ. 故函数 ysin x 4 的图象的对称轴为 x3 4 k，kZ，对称中心为 4k，0 ，kZ. 反思感悟 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现，主 要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨
5、论三角函 数的性质，高考中三角函数是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、 奇偶性、对称性、周期性等有关性质主要考查角度：(1)三角函数的性质；(2)三角函数图象 的变换；(3)求函数 yAsin(x)的解析式；(4)函数 yAsin(x)的图象与性质 跟踪训练 2 已知函数 f(x)2sin 2x 6 a1(其中 a 为常数) (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 x 0， 2 时，f(x)的最大值为 4，求 a 的值 解 (1)由 22k2x 6 22k，kZ，解得 3kx 6k，kZ，所以函数 f(x) 的单调递增区间为 3k， 6k (kZ)；由 22k2x 6 3
6、 2 2k，kZ，解得 6 kx2 3 k，kZ，所以函数 f(x)的单调递减区间为 6k， 2 3 k (kZ) (2)因为 0 x 2，所以 62x 6 7 6 ， 所以1 2sin 2x 6 1， 所以 f(x)的最大值为 2a14，所以 a1. 三、三角函数的图象变换问题 1由函数 ysin x 的图象得到 ysin(x)(0)的图象有两种途径：先平移再伸缩；先伸 缩再平移，这两种途径的区别是平移的单位长度不同，其余参数不受影响，若相应变换的函 数名称不同时，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩 2掌握三角函数图象变换的规则，重点提升逻辑推理和数学运算素养 例 3 已知
7、函数 f(x)4sin x 4 cos x 在 x 4处取得最值，其中 (0,2) (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)将函数 f(x)的图象向左平移 36个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)的图象若 为锐角，且 g()4 3 2，求 cos 的值 解 (1)f(x)4sin x 4 cos x 4 2 2 sin x 2 2 cos x cos x 2 2sin xcos x2 2cos2x 2sin 2x 2cos 2x 2 2sin 2x 4 2. 函数 f(x)在 x 4处取得最值， 2 4 4k 2，kZ， 解得 2k3
8、2，kZ. 又 (0,2)，3 2， f(x)2sin 3x 4 2，最小正周期 T2 3 . (2)将函数 f(x)的图象向左平移 36个单位长度，得到函数 y2sin 3 x 36 4 2 2sin 3x 6 2的图象， 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍， 纵坐标不变， 得到函数 y2sin x 6 2 的图象， 即 g(x)2sin x 6 2. 为锐角，g()2sin 6 24 3 2， sin 6 2 3， cos 6 1sin2 6 5 3 ， cos cos 6 6 3 2 cos 6 1 2sin 6 3 2 5 3 1 2 2 3 152 6 . 反思感悟 函数
9、 yAsin(x)h 的解题技巧 对于 yAsin(x)h，应明确 A， 决定“形变”，h 决定“位变”，A 影响值域， 影响周期，A， 影响单调性针对 x 的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容 易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别 跟踪训练 3 把函数 f(x)2cos(x)(0,0)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 纵坐标不变， 然后再向左平移 6个单位长度， 得到一个最小正周期为 2 的奇函数 g(x)， 求 和 的值 解 依题意得 f(x)第一次变换得到的函数解析式为 m(x)2cos 2x ， 则函数 g(x)2cos x 2 12 .
10、因为函数 g(x)的最小正周期为 2，所以 2， 则 g(x)2cos x 6 . 又因为函数 g(x)为奇函数，所以 6k 2，kZ， 又 00)个单位长度，得到 yg(x)的图象，若 yg(x)的图 象关于点 6，0 对称，求当 m 取最小值时，函数 yg(x)的单调递增区间 解 (1)f 6 cos 3 6 cos 6 6 cos 6cos 3 3 4 . (2)f(x)sin x 6 cos x 6 1 2sin 2x 3 . 将 yf(x)的图象向左平移 m(m0)个单位长度， 得到 yg(x)1 2sin 2x 32m . yg(x)的图象关于点 6，0 对称， sin 2 6 3
11、2m 0， 2 3 2mk，kZ，mk 2 3，kZ， m0，当 k1 时，m 有最小值 6. 此时，g(x)1 2sin 2x2 3 ， 由 22k2x 2 3 22k，kZ， 得 x 7 12k， 12k ，kZ. 函数 g(x)的单调递增区间是 7 12k， 12k ，kZ. 1若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A. 6 B. 3 C3 D. 3 答案 D 解析 如图，等边三角形 ABC 是半径为 r 的圆 O 的内接三角形，则线段 AB 所对的圆心角 AOB2 3 . 过点 O 作 OMAB，垂足为 M. 在 RtAOM 中，AOr，AOM 3， AM 3
12、 2 r，AB 3r，l 3r， 由弧长公式得 l r 3r r 3. 2设 56，cos 2a，则 sin 4等于( ) A. 1a 2 B. 1a 2 C 1a 2 D 1a 2 答案 D 解析 56， 5 4 40， 2 2 的部分图象如图所示，将 f(x)的图象向左平移 6个单 位长度后的解析式为( ) Ay2sin 2x 6 By2sin 2x Cy2sin 2x 6 Dy2sin 2x 3 答案 B 解析 根据函数 f(x)2sin(x)的部分图象知，3 4T 5 12 3 3 4 ，解得 T，2 T 2，根据五点法画正弦函数的图象，知当 x5 12时，2 5 12 2，解得 3，f(x) 2sin 2x 3 ，将 f(x)的图象向左平移 6个单位长度后，得 y2sin 2 x 6 3 2sin 2x. 4若 tan 2x 6 1，则 x 的取值范围是_ 答案 x 6 k 2 x5 24 k 2 ，kZ 解析 由题意可得 2k2x 6 4k，kZ，解得 6 k 2 x5 24 k 2 ，kZ.
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