1、第第 7 7 章章 三角函数三角函数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中只有一项符合题目要求) 1.已知 为第二象限角，且 cos 3 5，则 tan 的值为( ) A.4 3 B.3 4 C.3 4 D.4 3 答案 A 解析 是第二象限角，sin 1cos24 5，tan sin cos 4 3.故选 A. 2.英国浪漫主义诗人 Shelley(雪莱)在西风颂结尾写道“If Winter comes，can Spring be far behind？”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示
2、季节变迁的 24 节气.它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道， 可近似地看作圆)分为 24 等份，每等份为一个节气.2020 年 12 月 21 日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立 春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为( ) A. 4 B. 3 C. 3 D. 4 答案 A 解析 由题意可得每一等份为2 24 12， 从冬至到次年立春经历了 3 等份， 即 123 4.故选 A. 3.设 cos() 3 2 3 2 ，那么 sin(2)的值为( ) A. 3 2 B.1 2 C.1 2 D. 3 2 答案 C 解析 cos()cos 3 2 ， 故 cos 3 2 ， 又 bc
3、B.cba C.cab D.bca 答案 D 解析 atan 5 tan 50，csin 5 sin 51，c0ac.bca.故选 D. 8.为了得到函数 ycos 2x 4 的图象，只需将函数 ysin 2x 的图象( ) A.向右平移3 4 个单位长度 B.向右平移3 8 个单位长度 C.向左平移3 4 个单位长度 D.向左平移3 8 个单位长度 答案 D 解析 将函数 ysin 2xcos 2x 2 的图象向左平移3 8 个单位长度，可得 y cos 2x3 4 2 cos 2x 4 的图象，故选 D. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个
4、选 项中有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的不 得分) 9.下列命题中正确的是( ) A.若角 是第二象限角，则角 2可能是第三象限角 B.cos 3 2 cos 5 2 0 C.若 tan 0，则 为第二象限角 D.锐角 终边上一点坐标为 P(cos 2，sin 2)，则 2 答案 ACD 解析 对于 A，角 是第二象限角，则角 2为第一象限角或第三象限角，故 A 正 确； 对于 B，cos 3 2 cos 5 2 sin sin 2sin ，故 B 不正确； 对于 C，同时满足 tan 0，则 为第二象限角，故 C 正确； 对于 D，因为锐角 终边上一点
5、坐标为 P(cos 2，sin 2)，由三角函数定义可得 tan sin 2 cos 2tan 2tan(2)，又因为 0 2，所以 2，故 D 正确. 故选 ACD. 10.下列结论正确的有( ) A.sin 6 cos 3 B.cos 5 6 sin 2 3 0 C.sin2(15 )cos2(75 )1 D.sin2(15 )sin2(75 )1 答案 ABD 解析 A 项：sin 6 sin 2 3 cos 3 cos 3 ，A 正确； B 项：因为 cos 5 6 cos 2 3 sin 3 sin 2 3 sin 2 3 ， 所以 cos 5 6 sin 2 3 0，B 正确； C
6、 项：因为 sin(15 )sin90 （75 ） cos(75 )，所以 sin2(15 ) cos2(75 )2cos2(75 )1，C 错误； D 项：sin2(15 )sin2(75 )cos2(75 )sin2(75 )1，D 正确.故选 ABD. 11.出生在美索不达米亚的天文学家阿尔 巴塔尼大约公元 920 年左右给出了一个 关于垂直高度为 h 的日晷及其投影长度 s 的公式：shsin（90 ） sin ，即等价于 现在的 shcot ，我们称 ycot x 为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正 确的是( ) A.函数 ycot x 的最小正周期为 2 B.函数 ycot
7、x 关于(，0)对称 C.函数 ycot x 在区间(0，)上单调递减 D.函数 ytan x 的图象与函数 ycot x 的图象关于直线 x 2对称 答案 BC 解析 ycot xcos x sin x 1 tan x，画出函数图象，如图所示： 故函数的最小正周期为 ，关于(，0)对称，在区间(0，)上单调递减， 且函数 ytan x 的图象与函数 ycot x 的图象不关于直线 x 2对称.故选 BC. 12.已知函数 f(x)sin(3x) 2 2 的图象关于直线 x 4对称，则( ) A.函数 f x 12 为奇函数 B.函数 f(x)在 12， 3 上单调递增 C.若|f(x1)f(
8、x2)|2，则|x1x2|的最小值为 3 D.函数 f(x)的图象向右平移 4个单位长度得到函数 ycos 3x 的图象 答案 AC 解析 因为直线 x 4是 f(x)sin(3x) 2 2 的对称轴， 所以 3 4 2k(kZ)， 则 4k(kZ). 又 2 2，所以 4，则 f(x)sin 3x 4 . 对于 A，f x 12 sin 3 x 12 4 sin 3x，因为 sin(3x)sin 3x，所以 f x 12 为奇函数，故 A 正确； 对于 B，由 22k3x 4 22k(kZ)，得 12 2k 3 x0，0，0 2，则 _，sin _(本题第一空 2 分，第二空 3 分). 答
9、案 2 3 5 解析 由图知 A2， T2 t 2t ， 所以 2 T 2， f(x)2sin(2x)， 又 f 2 2sin()6 5，所以 sin 3 5. 15.已知函数 f(x)sin x 3 (01).若函数 f(x)的周期是 4，则函数|f(x)|的单调 递增区间为_. 答案 2k2 3 ，2k 3 (kZ) 解析 函数 f(x)的周期是 4，T2 4， 1 2，f(x)sin 1 2x 3 ，|f(x)|的周 期 为 2. 由 0 1 2 x 3 2 ， 得 2 3 x0)，将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针 方向旋转 2后与单位圆交于点 Q，过 Q 作 x 轴的垂线交 x
10、轴于 M. (1) 求 sin ，tan ； (2)求MOQ 的面积 S. 解 (1)由已知可得 3 5 2 y2P1， yP0，yP4 5，sin 4 5 ，cos 3 5， tan sin cos 4 5 3 5 4 3. (2)sin 4 5 ，cos 3 5，xQcos 2 sin 4 5，yQsin 2 cos 3 5 ， MOQ 的面积 S1 2|xQ| |yQ| 1 2 4 5 3 5 6 25. 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)2sin 2x 3 1. (1)画出函数在一个周期上的图象； (2)将函数 yf(x)的图象向右平移 6个单位长度，再向下平移 1 个单
11、位长度，得到 函数 yg(x)的图象，求 yg x 12 在 0，3 4 上的值域. 解 (1)(五点法作图)列表： 2x 3 0 2 3 2 2 x 6 12 3 7 12 5 6 f( ) x 1 3 1 1 1 描点，连线，可得图象如图， (2)g(x)f x 6 12sin 2 x 6 3 112sin 2x， 则 yg x 12 2sin 2x 6 .因为 x 0，3 4 ，所以 2x 6 6， 4 3 ， 所以 sin 2x 6 3 2 ，1 ， 从而 g x 12 在 0，3 4 上的值域为 3，2. 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)sin x，xR.现有如下两种
12、图象变换方案： 方案 1：将函数 f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将 所得图象向左平移 6个单位长度； 方案 2：将函数 f(x)的图象向左平移 3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐 标变为原来的一半，纵坐标不变. 请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数 g(x)的解析式，并解决如下问 题： (1)画出函数 g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象； (2)请你研究函数 g(x)的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的 结论. 解 方案 1： 将函数 f(x)sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半， 纵坐标 不变得到 ysin 2x
13、的图象，再将 ysin 2x 的图象向左平移 6个单位长度得到 ysin 2 x 6 sin 2x 3 的图象， 所以 g(x)sin 2x 3 . 方案 2： 将函数 f(x)sin x 的图象向左平移 3个单位长度得到 ysin x 3 的图象， 再将 ysin x 3 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到 ysin 2x 3 的图象，所以 g(x)sin 2x 3 ， 所以无论在何种方案下所得的函数都是 g(x)sin 2x 3 ， (1)如图是函数 g(x)sin 2x 3 在0，这一周期上的图象： (2)函数 g(x)sin 2x 3 的定义域：R；值域：1，1；周期
14、：T2 2 ； 奇偶性：因为 g(0)sin 3 3 2 0， 1，所以 g(x)不具有奇偶性. 单调性：令 22k2x 3 22k(kZ)， 解得5 12kx 12k(kZ)， 即函数的单调递增区间为 5 12k， 12k (kZ)； 同理可得函数的单调递减区间为 12k， 7 12k (kZ). 21.(本小题满分 12 分)弹簧振子的振动是简谐振动.某个弹簧振子在完成一次全振 动的过程中，时间 t(单位：s)与位移 y(单位：mm)之间的对应数据记录如下表： t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.6
15、0 y 20.0 17.8 10.1 0 10.0 17.7 20.0 17.7 10.0 0 10.1 17.8 20.0 (1)试根据这些数据确定这个振子的位移 y(单位：mm)关于时间 t(单位：s)的函数 解析式； (2)画出该函数在 t0，0.6的函数图象； (3)在整个振动过程中，求位移为 10 mm 时 t 的取值集合. 解 (1)设函数解析式为 yAsin(t)， 其中 A0，0，t0， 由表格可知 A20，T0.6，则 2 T 2 0.6 10 3 ， 即 y20sin 10 3 t ， 由函数图象过点(0，20)，则2020sin ，即 sin 1，可取 2， 则这个振子的
16、位移关于时间的函数解析式为 y20sin 10 3 t 2 ，t0. (2)列表： t 0 0.15 0.3 0.45 0.6 10 3 t 2 2 0 2 3 2 y 20 0 20 0 20 由表格数据知 y20sin 10 3 t 2 ，t0，0.6的图象所下图所示. (3)由题意得 20sin 10 3 t 2 10， 即 sin 10 3 t 2 1 2， 则10 3 t 2 62k1，k1Z 或 10 3 t 2 5 6 2k2，k2Z， 化简得 t1 5 3 5k1，k1Z 或 t 2 5 3 5k2，k2Z， 又 t0，0.6，则 t 为 0.2，0.4， 所以在整个振动过程中
17、，位移为 10 mm 时 t 的取值集合为0.2，0.4. 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)Asin(x)B A0，0，| | 0)的最小正周期为2 3 ，当 x 0， 3 时，方 程 f(nx)m 恰有两个不同的解，求实数 m 的取值范围. 解 (1)设 f(x)的最小正周期为 T，则 T11 6 6 2，由 T2 得 1. 又由 BA3， BA1，解得 A2， B1. 令 5 6 22k(kZ)， ， 即5 6 22k(kZ)，解得 32k(kZ). |0，n3. 令 t3x 3，x 0， 3 ， t 3， 2 3 ， 由 2sin t1m，得 sin tm1 2 .ysin t 的图象如图. 若m1 2 sin t 在 3， 2 3 上有两个不同的解， 则m1 2 3 2 ，1 ，即 3 2 m1 2 1， 解得 31m3，方程 f(nx)m 在 x 0， 3 时恰有两个不同的解时， m)31，3 ，故实数 m 的取值范围是)31，3 .
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